1、天津第五十四中學 靳春穎,第二十四章 圓,24.1.2 垂直于弦的直徑,探究活動,如圖，AB是O的一條弦，做直徑CD，使CDAB，垂足為E,O,A,B,C,E,D,線段： AE=BE,你能用一句話概括這些結(jié)論嗎？,垂徑定理 ： 垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧。,AE=BE,由 CD是直徑, CDAB,2、判斷下列圖形，能否使用垂徑定理？,注意：定理中的兩個條件（直徑，垂直于弦）缺一不可！,搶答,1、如圖，已知CD是O的直徑，弦AB CD于E，AB=8，則AE= , BE= , AD= ,AC= .,4,4,不可以,不可以,可以,可以,問題 ：你知道趙州橋嗎?它是1300多年前我國

2、隋代建造的石拱橋, 是我國古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶它的主橋是圓弧形,它的跨度(弧所對的弦的長)為37.4m, 拱高(弧的中點到弦的距離)為7.2m，你能求出趙洲橋主橋拱的半徑嗎？,趙州橋主橋拱的半徑是多少？,問題情境,問題 ：你知道趙州橋嗎?它是1300多年前我國隋代建造的石拱橋, 是我國古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶它的主橋是圓弧形,它的跨度(弧所對的弦的長)為37.4m, 拱高(弧的中點到弦的距離)為7.2m，你能求出趙洲橋主橋拱的半徑嗎？,趙州橋主橋拱的半徑是多少？,問題情境,B,A,18.7,7.2,R7.2,解得：R279（m）,解決求趙州橋拱半徑的問題,在RtOAD中，由勾股定理，得,即

3、 R2=18.72+（R7.2）2,趙州橋的主橋拱半徑約為27.9m.,OA2=AD2+OD2,7.2,18.7,R7.2,輔助線： 1.連半徑 2.作垂直于弦的半徑,已知：如圖，在以O(shè)為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C，D兩點。 求證：ACBD。,證明：過O作OEAB，垂足為E， 則AEBE，CEDE。 AECEBEDE。 所以，ACBD,E,實際上，往往只需從圓心作一條與弦垂直的線段.就可以利用垂徑定理來解決有關(guān)問題了.,例題,輔助線： 1.作過圓心垂直于弦的垂線,思考：平分弦（不是直徑）的直徑有什么性質(zhì)？,探究發(fā)現(xiàn),如圖:,AB是O的一條弦，直徑CD交AB于E，AE=BE,垂徑

4、定理的推論,平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條弧.,探究發(fā)現(xiàn),CD過圓心,CDAB于E,AE=BE,“不是直徑”這個條件能去掉嗎？如果不能，請舉出反例。,平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條弧.,垂徑定理的推論,思考,1如圖，在O中，弦AB的長為8cm，圓心O到弦AB中點E的距離為3cm，求O的半徑,O,A,B,解：連接OE、OA,答：O的半徑為5cm.,在Rt AOE 中,練習,E,AE=BE= AB= 8=4,OE AB,輔助線： 1.連半徑 2.作垂直于弦的半徑,練習,2.O的直徑為10cm，圓心O到弦AB的 距離為3cm，則弦AB的長是 。,8cm,輔助線：作半徑！,4半徑為2cm的圓中，過半徑中點且 垂直于這條半徑的弦長是 。,3半徑為4cm的O中，弦AB=4cm, 那么圓心O到弦AB的距離是 。,5. 如圖，AB為O的直徑，弦CDAB 于E，已知CD=12，BE=2，則O的直徑為 。,6. 如圖，AB為O的直徑，弦CDAB于E，已知CD=6，AE=9，則O的半徑為 。,A,B,C,D,O,E,比一比,垂徑定理的幾個基本圖形：,小結(jié):,1.垂徑定理及推論 2.解決有關(guān)弦的問題，經(jīng)常是過圓心作弦的垂線，或作垂直于弦的直徑，連結(jié)半徑等輔助線，為應用垂徑定理創(chuàng)造條件。,體會.分享,說出你這節(jié)課的收獲和體驗，讓大家與你一起分享！,課