1、教材 (Text Book) 數(shù)值計算方法 韓樹里 編著 （復(fù)旦大學(xué)出版社）,參考書目 (Reference) Numerical Analysis (Seventh Edition) 數(shù)值分析 （第七版 影印版） Richard L. Burden & J. Douglas Faires （高等教育出版社） 現(xiàn)代數(shù)值分析 李慶揚、易大義、王能超 編著 （高等教育出版社）,計算方法的主要內(nèi)容 CH1、數(shù)值計算方法與誤差分析 CH2、非線性方程的數(shù)值解法 CH3、線性代數(shù)方程組的數(shù)值解法 CH4、插值與數(shù)值擬合 CH5、數(shù)值積分與數(shù)值微分 CH6、常微分方程初值問題的數(shù)值解法,CH1 數(shù)值計算方

2、法與誤差分析,1.1 數(shù)值計算方法的含義及特點,1.2 誤差來源,1.4 數(shù)值運算的誤差分析,1.3 近似數(shù)的誤差表示法（絕對誤差，相 對誤差，有效數(shù)字）,1.5 減少運算誤差的若干原則,1.1 計算方法的含義和特點,數(shù)學(xué) 模型,實際 問題,1、計算方法所處地位,2、計算方法的特點,1）面向計算機,2）有可靠的理論分析,3）有好的計算復(fù)雜性： 空間復(fù)雜性（節(jié)省存儲空間） 時間復(fù)雜性（節(jié)省計算時間）,1.2 誤差的來源,精確數(shù)-真值、近似數(shù)，誤差,從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型 模型誤差 /* Modeling Error */,通過測量得到模型中參數(shù)的值 觀測誤差 /* Measurement E

3、rror */,求近似解 方法誤差 (截斷誤差 /* Truncation Error */ ),機器字長有限 舍入誤差 /* Roundoff Error */,1.3 近似數(shù)的誤差表示法,一、 絕對誤差 /* absolute error */,其中x為精確值，x*為x的近似值。,，例如：,工程上常記為,二、 相對誤差 /* relative error */,x 的相對誤差上限 /* relative accuracy */ 定義為,注：從 的定義可見， 實際上被偷換成了 ，而后才考察其上限。那么這樣的偷換是否合法？ 嚴(yán)格的說法是， 與 是否反映了同一數(shù)量級的誤差？,x 的相對誤差定義為

4、：,三、有效數(shù)字 /* significant digits */,注：0.2300有4位有效數(shù)字，而0. 23只有2位有效。12300如果寫成0.123105，則表示只有3位有效數(shù)字。 數(shù)字末尾的0不可隨意省去！,( 4 位 ),四、有效數(shù)字與相對誤差的關(guān)系, 有效數(shù)字 相對誤差限,已知 x* 有 n 位有效數(shù)字，, 所以有效數(shù)字越多，相對誤差越小,則其相對誤差限為, 相對誤差限 有效數(shù)字,已知 x* 的相對誤差限可寫為 則,可見 x* 至少有 n 位有效數(shù)字。, 所以相對誤差越小，有效數(shù)字越多, 例 求 的近似值，使其相對誤差不超過0.1%。,取 n=4，,1.4 誤差的傳播,問題：對于

5、y = f (x)，若用 x* 近似取代 x。求y 的誤差,分析：e (y) = f (x*) f (x) e (x) = x* x,= f ( )(x* x),x* 與 x 非常接近時，可認(rèn)為 f ( ) f (x*) ，則有：,即：x*產(chǎn)生的誤差經(jīng)過 f 作用后被放大/縮小了| f (x*)|倍。,上一頁 下一頁 返回,|e (y)| | f (x*)|e (x)|,1、一元函數(shù)誤差的傳播公式,上一頁 下一頁 返回,3、多元函數(shù)的誤差傳播,2、相對誤差的傳播,例: 計算 y = ln x。若 x 20，則取 x 的幾位有效數(shù)字可保證 y 的相對誤差 0.1% ?,解：設(shè)截取 n 位有效數(shù)字

6、后得 x* x，則,于是 x 和 y 的相對誤差上限滿足近似關(guān)系, n 4,上一頁 下一頁 返回,1.5 減少運算誤差的若干原則,1 避免兩個相近數(shù)相減,3 防止大數(shù)吃掉小數(shù),2 避免絕對值太小的數(shù)做除數(shù),4 簡化計算步驟，減少運算次數(shù),5 有數(shù)值穩(wěn)定性，控制舍入誤差的傳播,1. 避免相近二數(shù)相減,例：a1 = 0.12345，a2 = 0.12346，各有5位有效數(shù)字。 而 a2 a1 = 0.00001，只剩下1位有效數(shù)字。, 幾種經(jīng)驗性避免方法：,當(dāng) | x | 1 時：,2. 避免小分母 : 分母小會造成浮點溢出 /* over flow */,3. 避免大數(shù)吃小數(shù),例2：用單精度計算 的根。,精確解為, 算法1：利用求根公式,例1：在5位十進制計算機上計算, 算法1：利用求根公式,在計算機內(nèi)，109存為0.11010，1存為0.1101。做加法時，兩加數(shù)的指數(shù)先向大指數(shù)對齊，再將浮點部分相加。即1 的指數(shù)部分須變?yōu)?010，則： 1 = 0.0000000001 1010，取單精度時就成為： 109+1=0.100000001010 +0.00000000 1010=0.10000000 1010,大數(shù)吃小數(shù),例 計算下列n次多項式：,解：方案一 直接計算,此時所需的乘法次數(shù)為