1、一 動(dòng)量定理,動(dòng)量,牛頓運(yùn)動(dòng)定律 的微分形式,1 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理,沖量：力對時(shí)間的積分（矢量）,運(yùn)動(dòng)員在投擲標(biāo)槍時(shí)，伸直手臂，盡可能的延長手對標(biāo)槍的作用時(shí)間，以提高標(biāo)槍出手時(shí)的速度。,恒力的沖量,沖量是反映力對時(shí)間的累積效應(yīng),動(dòng)量定理 在給定的時(shí)間內(nèi)，外力作用在質(zhì)點(diǎn)上的沖量，等于質(zhì)點(diǎn)在此時(shí)間內(nèi)動(dòng)量的增量 .,分量形式,（1） 是方向和大小都可以變的力，物體的速度方 向逐點(diǎn)不同，但沖量 總等于始末動(dòng)量的矢量差 .,的方向一般不是的 方向，而是無窮個(gè)微分沖量 的矢量和的方向 .,（2）動(dòng)量為狀態(tài)量，沖量為過程量；但都是矢量 .,（3）動(dòng)量定理常應(yīng)用于碰撞 問題 .,圖示為一圓錐擺，質(zhì)量為 的小球在

2、水平面內(nèi)作勻速率圓周運(yùn)動(dòng)的周期為 。則小球轉(zhuǎn)一周內(nèi)，繩對質(zhì)點(diǎn)拉力的沖量大小為 ；方向是 。,豎直向上,由質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理,分析,若為單擺，情況相同嗎？,解 建立如圖坐標(biāo)系，由動(dòng)量定理得,例 1 一質(zhì)量為0.05kg、速率為10ms1的剛球，以與鋼板法線呈45角的方向撞擊在鋼板上，并以相同的速率和角度彈回來。設(shè)碰撞時(shí)間為0.05s。求在此時(shí)間內(nèi)鋼板所受到的平均沖力 。,法二：用矢量法,即鋼板所受到的平均沖力方向沿 軸反向。,例2 如圖所示，用傳送帶A輸送煤粉，料斗口在A上方高 h = 0.8m處，煤粉自料斗口自由落在傳送帶A上。設(shè)料斗口連續(xù)卸煤的流量為qm= 40 kg/s，傳送帶A以v = 3

3、m/s的水平速度勻速向右運(yùn)動(dòng)。求卸煤的過程中，煤粉對傳送帶A的平均作用力的大小和方向。（不計(jì)相對傳送帶靜止的煤粉質(zhì)量，取 g =10 m/s2）,解 煤粉下落h時(shí)的速度,取在時(shí)間 dt 內(nèi)落下的煤粉dm = qmdt 為研究對象，應(yīng)用動(dòng)量理，有,根據(jù)牛頓第三定律，煤粉對傳送帶A的平均作用力與此力大小相等而方向相反。,法一：建立直角坐標(biāo)系如圖所示，則dm 受到的平均沖力：,平均沖力,大?。?方向：與x 軸正方向成 53.1o,法二：畫出 的 矢量三角形如圖所示：,方向與圖中 的方向相反， =53.1o。,由圖可求得煤粉對傳送帶A的平均作用力 的大?。?根據(jù)牛頓第三定律，煤粉對傳送帶A的平均作用力

4、與此力大小相等而方向相反。,例3 一質(zhì)量均勻柔軟細(xì)繩鉛直地懸掛著，繩的下端剛好觸到水平桌面上，如果把繩的上端放開，繩將落向桌面。試證明：在繩下落的過程中，任意時(shí)刻作用于桌面的壓力，等于已落到桌面上的繩重量的3倍。,取 t t + dt 時(shí)間間隔內(nèi)落下的繩 dm=dy 為研究對象，由動(dòng)量定理得,證,設(shè)繩的線密度為 ，任意時(shí)刻 t，繩下落長度為y，此時(shí)繩的速度為,因繩作初速為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，即,dm柔繩對桌面的反作用力為,此時(shí)桌面對dm柔繩的作用力為,而已落到桌面上的柔繩的質(zhì)量為,故：柔繩作用于桌面的壓力,質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理 作用于系統(tǒng)的合外力的沖量等于系統(tǒng)動(dòng)量的增量。,因 ，故,內(nèi)力：質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各

5、質(zhì)點(diǎn)間的相 互作用。,2 質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理,外力：系統(tǒng)以外的其它物體對 系統(tǒng)內(nèi)任意一質(zhì)點(diǎn)的作用。,注意：內(nèi)力不改變質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)量!,推開前后系統(tǒng)動(dòng)量不變,例 4 一柔軟鏈條單位長度的質(zhì)量為 。鏈條放在桌上，桌上有一小孔，鏈條一端由小孔稍伸下，其余部分堆在小孔周圍。由于某種擾動(dòng)，鏈條因自身重量開始落下。求鏈條下落速度與落下距離之間的關(guān)系。（設(shè)鏈條與各處的摩擦均略去不計(jì)，且鏈條軟得可以自由伸開。）,解 以豎直懸掛的鏈條和桌面上的鏈條整體為一系統(tǒng)，建立如圖坐標(biāo),由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理得,則,則,兩邊同乘以 則,又,質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理,若質(zhì)點(diǎn)系所受的合外力為零 則系統(tǒng)的總動(dòng)量守恒，即 保持不變。,二 動(dòng)量守恒定律

6、,力的瞬時(shí)作用規(guī)律,1）系統(tǒng)的動(dòng)量守恒是指系統(tǒng)的總動(dòng)量不變，系統(tǒng)內(nèi)任一物體的動(dòng)量是可變的，各物體的動(dòng)量必相 對于同一慣性參考系、必為同一時(shí)刻的動(dòng)量之和。,3）若某一方向合外力為零, 則此方向動(dòng)量守恒。,4）動(dòng)量守恒定律在微觀和高速范圍仍適用, 是自然界最普遍、最基本的定律之一。,2）守恒條件 合外力為零 當(dāng) 時(shí)，可略去外力的作用，近似認(rèn)為系統(tǒng)動(dòng)量守恒。例如在碰撞、打擊、爆炸等問題中。,我國長征系列火箭升空,解 對兩小球組成的系統(tǒng)，顯然動(dòng)量守恒：,x方向： (1),y方向： (2),解得,例4 光滑的水平桌面上，有一質(zhì)量為m、速度為 的小球A沿水平方向飛行，與一靜止的小球B碰撞后， A球的速度變

7、為 ，其方向與 方向成90，B球的質(zhì) 量為5m，它被撞后以速度 飛行， 的方向與 的夾角 為 =arcsin(3/5)角，求兩球相碰后速度 、 的大小。,例5 有一門質(zhì)量為 M（含炮彈）的大炮，在一固定的斜面上無摩擦地由靜止開始下滑。當(dāng)滑下 L 距離時(shí)，從炮內(nèi)沿水平方向射出一發(fā)質(zhì)量為 m 的炮彈。 欲使炮車在發(fā)射炮彈后的瞬間停止滑動(dòng)，炮彈對地的初速度應(yīng)是多少？（設(shè)斜面傾角為）,以炮車、炮彈為系統(tǒng)，在發(fā)射炮彈的過程中，由于內(nèi)力很大，外力可忽略，水平方向動(dòng)量守恒：,解 設(shè)炮車下滑 L 時(shí)速度為 ，由機(jī)械能守恒定律得,炮車在發(fā)射炮彈的過程中，受三個(gè)力的作用：重力Mg、斜面對炮車的支持力FN（方向垂直

8、于斜面）和子彈對炮車的沖力；因沖力很大，使斜面對炮車的支持力FN與沖力是同數(shù)量級的，不可忽略，所以子彈和炮車系統(tǒng)水平方向的動(dòng)量不守恒。,事實(shí)上，式(2)是完全錯(cuò)誤的！,解式(1)、(2)就得炮彈初速 v。,對嗎？,解式(1)、(3)就得,雖然以子彈和炮車為系統(tǒng)水平方向的動(dòng)量不守恒，但因重力遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于內(nèi)力（沖力）可以忽略，又 沿斜面方向沒有分量，所以可以沿斜面方向應(yīng)用動(dòng)量守恒定律：,例5 如圖所示，一輛質(zhì)量為M 的平頂小車靜止在 光滑的水平軌道上，今有一質(zhì)量為m 的小物體以水平 速度v0 滑向車頂。設(shè)物體與車頂之間的摩擦系數(shù)為 ， 求：(1) 從物體滑上車頂?shù)较鄬図旍o止需多少時(shí)間？ (2) 要物

9、體不滑下車頂，車長至少應(yīng)為多少？,解 ( M+m)：水平方向動(dòng)量守恒,式中v是相對靜止時(shí)的速度。 (1) 物體m：由動(dòng)量定理得,(2) 用牛頓第二定律得物體m的 加速度,設(shè)車長至少為S，則由 v2v02 = 2aS 得,對嗎？,聯(lián)立(1)(2)得,或用牛頓第二定律及勻變速直線運(yùn)動(dòng)方程求解。,上述結(jié)果顯然是錯(cuò)誤的。因?yàn)橛门ｎD定律求出的加速度a 是相對慣性系地面的，而速度v、v0 也是相對地面的，故由公式 v2v02 = 2aS 求出的S 當(dāng)然也應(yīng)是物體相對地面的運(yùn)動(dòng)距離，而不是相對非慣性系（小車）的運(yùn)動(dòng)距離。,法一：先求出小物體m 相對地面運(yùn)動(dòng)的距離S1,再求出小車M相對地面前進(jìn)的距離S2,車的

10、最小長度,和,和,法二：由于所求車的長度L即為物體與小車所組成系統(tǒng)的一對內(nèi)力摩擦力的相對位移，又因除摩擦力外，所有其他力（如：重力、支持力）均不作功，因此由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理知：,例7 質(zhì)量為m1=50kg的人站在一質(zhì)量為m2=350kg、長為L=5.6m的船尾，開始時(shí)船靜止，忽略水的阻力。試求當(dāng)人從船尾走到船頭時(shí)船移動(dòng)的距離。,人在船尾時(shí)：,解 水平方向不受力，質(zhì)心速度不變，即在人從船尾至船頭過程中系統(tǒng)質(zhì)心位置不變。設(shè)船的位移為x2,人在船頭時(shí)：,由相對運(yùn)動(dòng)的位移變換式,代入(1)式得,解法二 以人和船的系統(tǒng)為研究對象，因水平方向不受力，則系統(tǒng)水平方向的動(dòng)量守恒。設(shè)人對地的速度為 ，船對地的速度為 ，人對船的速度為 ，船的位移為x2；由動(dòng)量守恒定律,又,解 以人離開車的速度水平分量方向?yàn)檎嚨乃俣确较蜓刎?fù)方向。當(dāng)兩人同時(shí)跳下車時(shí)，對人和車這個(gè)系統(tǒng)而言，在水平方向上動(dòng)量守恒，因而有,例8 一輛停在直軌道上質(zhì)量為M 的平板車上站著兩個(gè)人，當(dāng)他們從車上沿同方向跳下后，車獲得了一