1、微專題 81 排列組合尋找合適的模型 在排列組合問題中，有一些問題如果直接從題目入手，處理起來比較繁瑣。但若找到解 決問題的合適模型，或?qū)栴}進(jìn)行等價(jià)的轉(zhuǎn)化。便可巧妙的解決問題 一、典型例題： 例 1：設(shè)集合由個(gè)元素構(gòu)成，即，則所有子集的個(gè)數(shù)為_An 12 , n Aa aaA 思路：可將組成子集的過程視為中的元素一個(gè)個(gè)進(jìn)行選擇，要不要進(jìn)入到這個(gè)子集當(dāng)中，A 所以第一步從開始，有兩種選擇，同樣后面的都有兩種選擇，所以總數(shù) 1 a 23 , n a aa 個(gè)2222n n N 個(gè) 答案： 2n 例 2：已知，且中有三個(gè)元素，若中的元素可構(gòu)成等差數(shù)列，1,2,3,40S ASAA 則這樣的集合共有

2、（ ）個(gè)A A. B. C. D. 460760380190 思路：設(shè)中構(gòu)成等差數(shù)列的元素為，則有，由此可得應(yīng)該同奇同偶，A, ,a b c2bac, a c 而當(dāng)同奇同偶時(shí)，則必存在中間項(xiàng)，所以問題轉(zhuǎn)變?yōu)橹恍柙谥袑ふ彝嫱紨?shù), a cb140 的情況。同為奇數(shù)的可能的情況為，同為偶數(shù)的可能的情況為，所以一共有, a c 2 20 C 2 20 C 種 2 20 2380C 答案：C 例 3：設(shè)集合，那么集合中滿足條件 12345 ,|1,0,1 ,1,2,3,4,5 i Ax x x x xxi A “”的元素個(gè)數(shù)為（ ） 12345 13xxxxx A. B. C. D. 6090120

3、130 思路：因?yàn)榛颍匀?，則在0 i x 1 i x 12345 13xxxxx 中至少有一個(gè)，且不多于個(gè)。所以可根據(jù)中含 0 的個(gè)數(shù)進(jìn)行分1,2,3,4,5 i x i 1 i x 3 i x 類討論。 五個(gè)數(shù)中有 2 個(gè) 0，則另外 3 個(gè)從中取，共有方法數(shù)為1, 1 23 15 2NC 五個(gè)數(shù)中有 3 個(gè) 0，則另外 2 個(gè)從中取，共有方法數(shù)為1, 1 32 25 2NC 五個(gè)數(shù)中有 4 個(gè) 0，則另外 1 個(gè)從中取，共有方法數(shù)為1, 1 4 35 2NC 所以共有種 23324 555 222130NCCC 答案：D 例 4：設(shè)集合，設(shè)的三元素子集中，三個(gè)元素的和分別為，1,2,3

4、,10A A 12 , n a aa 求的值 12n aaa 思路：的三元子集共有個(gè)，若按照題目敘述一個(gè)個(gè)相加，則計(jì)算過于繁瑣。所以不妨A 3 10 C 換個(gè)思路，考慮將這些子集中的各自加在一起，再進(jìn)行匯總。則需要統(tǒng)計(jì)這個(gè)1,2,10 3 10 C 子集中共含有多少個(gè)。以 1 為例，含 的子集可視為集合中有元素 1，剩下兩個(gè)元1,2,101 素從 9 個(gè)數(shù)中任取，不同的選取構(gòu)成不同的含 1 的子集，共有個(gè)，所以和為，同理， 2 9 C 2 9 1 C 含 2 的集合有，其和為，含 10 的集合有個(gè)，其和為所以 2 9 C 2 9 2C 2 9 C 2 9 10C 2 129 12101980

5、n aaaC 答案：1980 例 5：身高互不相同的 6 個(gè)人排成 2 橫行 3 縱列，在第一行的每個(gè)人都比他同列的身后的個(gè) 子矮，則所有不同的排法種數(shù)是多少 思路：雖然表面上是排隊(duì)問題，但分析實(shí)質(zhì)可發(fā)現(xiàn)，只需要將這六個(gè)人平均分成三組，并且 進(jìn)行排列，即可完成任務(wù)。至于高矮問題，在分組之后只需讓個(gè)子矮的站在前面即可。從而 將問題轉(zhuǎn)化為分組問題。則（種） 222 3 642 3 3 3 90 C C C NA A 答案：90 例 6：四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共 10 個(gè)點(diǎn)，則由這 10 點(diǎn)構(gòu)成的直線中，有（ ）對(duì)異面 直線 A. 450 B. 441 C. 432 D. 423 思路：首先要了解一

6、個(gè)結(jié)論，就是在一個(gè)三棱錐中存在 3 對(duì)異面直線，而不共面的四個(gè)點(diǎn)便 可構(gòu)成一個(gè)三棱錐，尋找不共面的四點(diǎn)只需用總數(shù)減去共面的四點(diǎn)即可。所以將問題轉(zhuǎn)化為 尋找這 10 個(gè)點(diǎn)中共面四點(diǎn)的情況。首先 4 個(gè)面上共面的情況共有，每條棱與對(duì) 4 6 460C 棱中點(diǎn)共面情況共有 6 種，連結(jié)中點(diǎn)所成的中位線中有 3 對(duì)平行關(guān)系，所以共面，所以四點(diǎn) 共面的情況共有種，所以四點(diǎn)不共面的情況有種，從而異面 4 6 46369C 4 10 69141C 直線的對(duì)數(shù)為種141 3423N 答案：D 小煉有話說 ：要熟悉異面直線問題的轉(zhuǎn)化：即異面三棱錐四點(diǎn)不共面四點(diǎn)共面，從 而將所考慮的問題簡(jiǎn)單化 例 7：設(shè)是整數(shù)集

7、的一個(gè)非空子集，對(duì)于，如果且，那么稱是AkA1kA 1kA k 集合的一個(gè)“孤立元” ，給定，則的 3 個(gè)元素構(gòu)成的所有集合中，A1,2,3,4,5,6,7,8S S 其元素都是“孤立元”的集合個(gè)數(shù)是（ ） A. B. C. D. 6152025 思路：首先要理解“，則且” ，意味著“獨(dú)立元”不含相鄰的數(shù)，kA1kA 1kA 元素均為獨(dú)立元，則說明 3 個(gè)元素彼此不相鄰，從而將問題轉(zhuǎn)化為不相鄰取元素問題，利用 插空法可得：種 3 6 20C 答案：C 例 8：圓周上有 20 個(gè)點(diǎn)，過任意兩點(diǎn)連接一條弦，這些弦在圓內(nèi)的交點(diǎn)最多有多少個(gè) 思路：本題可從另一個(gè)角度考慮交點(diǎn)的來源，一個(gè)交點(diǎn)由兩條弦構(gòu)成

8、，也就用去圓上 4 個(gè)點(diǎn)， 而這四個(gè)點(diǎn)可以構(gòu)成一個(gè)四邊形，在這個(gè)四邊形中，只有對(duì)角線的交點(diǎn)是在圓內(nèi)，其余均在 圓上，所以有多少個(gè)四邊形就會(huì)有多少個(gè)對(duì)角線的交點(diǎn)，從而把交點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)可 組成多少個(gè)四邊形的問題，所以共有個(gè) 4 20 4845C 答案：個(gè) 4845 例 9：一個(gè)含有 10 項(xiàng)的數(shù)列滿足：，則符 n a 1101 0,5,1,(1,2,9) kk aaaak 合這樣條件的數(shù)列有（ ）個(gè) n a A. 30 B. 35 C. 36 D. 40 思路：以為入手點(diǎn)可得：，即可視為在數(shù)軸上，向左或向右移 1 1 kk aa 1 1 kk aa k a 動(dòng)一個(gè)單位即可得到，則問題轉(zhuǎn)化為

9、從開始，點(diǎn)向左或向右移動(dòng)，總共 9 次達(dá)到 1k a 1 0a ，所以在這 9 步中，有且只有 2 步向左移動(dòng) 1 個(gè)單位，7 步向右移動(dòng) 1 個(gè)單位。所以 10 5a 不同的走法共有種，即構(gòu)成 36 種不同的數(shù)列 2 9 36C 答案：36 種 例 10：方程的正整數(shù)解有多少組？非負(fù)整數(shù)解有多少組？10 xyzw 思路：本題可將 10 理解為 10 個(gè) 1 相加，而相當(dāng)于四個(gè)盒子，每個(gè)盒子里裝入了多, , ,x y z w 少個(gè) 1，則這個(gè)變量的值就為多少。從而將問題轉(zhuǎn)化為相同元素分組的模型，可以使用擋板 法得：種；非負(fù)整數(shù)解相當(dāng)于允許盒子里為空，而擋板法適用于盒子非空的情況， 3 9 84

10、C 所以考慮進(jìn)行化歸：，則 10111114xyzwxyzw 這四個(gè)盒子非空即可。所以使用擋板法得：種1,1,1,1xyzw 3 13 286C 答案：正整數(shù)解有 84 種，非負(fù)整數(shù)解有 286 種 二、歷年好題精選 1、在航天員進(jìn)行的一項(xiàng)太空實(shí)驗(yàn)中，要先后實(shí)施 6 個(gè)程序，其中程序 A 只能出現(xiàn)在第一步 或最后一步，程序 B 和 C 在實(shí)施時(shí)必須相鄰，則在該實(shí)驗(yàn)中程序順序的編排方法共有（ ） A144 種 B96 種 C48 種 D34 種 2、現(xiàn)有 16 張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各 4 張從中任取 3 張，要求 這 3 張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多 1 張不同

11、取法的種數(shù)為 （ ） A. 232 B. 252 C.472 D. 484 3、在 1，2，3，4，5 這五個(gè)數(shù)字所組成的允許有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，其各個(gè)數(shù)字之和為 9 的三位數(shù)共有（ ） A. 16 個(gè) B. 18 個(gè) C.19 個(gè) D.21 個(gè) 4、把座位號(hào)為 1、2、3、4、5 的五張電影票全部分給甲、乙、丙、丁四個(gè)人，每人至少一 張，且分給同一人的多張票必須連號(hào)，那么不同的分法種數(shù)為（ ） A96 B240 C48 D40 5、某班組織文藝晚會(huì)，準(zhǔn)備從等 8 個(gè)節(jié)目中選出 4 個(gè)節(jié)目演出，要求：兩個(gè)節(jié)目,A B,A B 至少有一個(gè)選中，且同時(shí)選中時(shí)，它們的演出順序不能相鄰，那么不同演出

12、順序的和數(shù),A B 為（ ） A1860 B1320 C1140 D1020 6、某班一天中有節(jié)課，上午節(jié)課，下午節(jié)課，要排出此班一天中語文、數(shù)學(xué)、英語、633 物理、體育、藝術(shù)堂課的課程表，要求數(shù)學(xué)課排在上午，藝術(shù)課排在下午，不同排法種數(shù)6 為（ ） A B C D 72216320720 7、用 0、1、2、3、4 這五個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中恰有一個(gè)偶數(shù)數(shù)字夾在兩 個(gè)奇數(shù)數(shù)字之間的五位數(shù)的個(gè)數(shù)是（ ） A48 B36 C28 D12 8、某賓館安排 A、B、C、D、E 五人入住 3 個(gè)房間，每個(gè)房間至少住 1 人，且 A、B 不能住同 一房間，則不同的安排方法有（ ）種 A24

13、 B 48 C96 D114 9、 （2014 重慶八中一月考，2）要從名男生和名女生中選出人組成啦啦隊(duì)，若按性別1056 分層抽樣且甲男生擔(dān)任隊(duì)長(zhǎng)，則不同的抽樣方法數(shù)是 A B C D 2 5 3 9C C 2 5 3 10C C 2 5 3 10A A 2 5 4 10C C 10、 （2015，廣東文） ，若集合： ，, , ,|04,04,04, , , ,Ep q r spsqsrsp q r sN ，用表示集合中的, , ,|04,04, , , ,Ft u v wtuvwt u v wN card XX 元素個(gè)數(shù)，則（ ） card Ecard F A. B. C. D. 501

14、00150200 11、 （2014，浙江）在 8 張獎(jiǎng)券中有一、二、三等獎(jiǎng)各 1 張，其余 5 張無獎(jiǎng)將這 8 張獎(jiǎng)券 分配給 4 個(gè)人，每人 2 張，不同的獲獎(jiǎng)情況有_種 12、 （2014，安徽）從正方體六個(gè)面的對(duì)角線中任取兩條作為一對(duì)，其中所成的 角為 60的共有( ) A24 對(duì) B30 對(duì) C48 對(duì) D60 對(duì) 13、 （2014，重慶）某次聯(lián)歡會(huì)要安排 3 個(gè)歌舞類節(jié)目、2 個(gè)小品類節(jié)目和 1 個(gè)相 聲類節(jié)目的演出順序，則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是() A72 B120 C144 D168 14、 （2014，廣東）設(shè)集合，那么集 12345 ,|1,0,1 ,1,2,3,4,

15、5 i Ax x x x xxi 合中滿足條件“”的元素個(gè)數(shù)為（ ）A 12345 13xxxxx A. B. C. D. 6090144168 15、 （2016，哈爾濱六中上學(xué)期期末考試）高一學(xué)習(xí)雷鋒志愿小組共有16人，其 中一班、二班、三班、四班各4人，現(xiàn)在從中任選3人，要求這三人不能是同一 個(gè)班級(jí)的學(xué)生，且在三班至多選1人，不同的選取法的種數(shù)為 ( ) A. B. C. D. 484472252232 16、集合的 4 元子集中，任意兩個(gè)元素差的絕對(duì)值都1,2,3,20S 1234 ,Ta a a a 不為 1，這樣的 4 元子集的個(gè)數(shù)有_個(gè)T 習(xí)題答案：習(xí)題答案： 1、答案：B 解析

16、：相鄰則考慮使用整體法，程序有要求所以先確定的位置，共有 2 種選法，,B CAA 然后排剩下的元素，再排間的順序，所以總數(shù)為 4 4 A,B C 2 2 A 42 42 296NA A 2 2、答案：C 解析：考慮使用間接法，16 張卡片任取 3 張共有種，然后三張卡片同色則不符合要求， 3 16 C 共有種，然后若紅色卡片有 2 張則不符合要求，共有種，所以不同的取法種數(shù) 3 4 4 C 21 412 C C 為： 3321 164412 4472NCCC C 3 3、答案：A 解析：可按重復(fù)數(shù)字個(gè)數(shù)進(jìn)行分類討論，若沒有重復(fù)數(shù)字，則數(shù)字只能是或，三1,3,52,3,4 位數(shù)共有個(gè)；若有兩個(gè)

17、重復(fù)數(shù)字，則數(shù)字為和，三位數(shù)有個(gè)；若三 3 3 2A2,2,51,4,4 1 3 26C 個(gè)數(shù)字相同，則只有 333，所以 31 33 22119NAC 4 4、答案：A 解析：5 張票分給 4 個(gè)人，則必有一人拿兩張票，所以先確定哪個(gè)人有兩張票，共種選擇， 1 4 C 然后確定給哪兩張連號(hào)的票，共 4 種情況，剩下的票分給 3 人即可。所以 13 43 496NC A 5 5、答案：C 解析：由題可知可分為兩類：第一類只有一個(gè)選中，則還需從剩下 6 個(gè)里選出 3 個(gè)節(jié)目，,A B 然后全排列，所以不同的演出順序有；第二類，同時(shí)選中，則還需從剩下 6 個(gè) 134 264 C C A,A B 里

18、選出 2 個(gè)，然后不相鄰則進(jìn)行插空，所以不同演出順序有。綜上,A B 222 623 C A A 134222 264623 1140NC C AC A A 6 6、答案：B 解析：先排數(shù)學(xué)與藝術(shù)各有 3 種共 9 種，其余的 4 個(gè)科目全排列有種，所以 4 4 A 4 4 9216NA 7 7、答案：C 解析：根據(jù)題意，在 0，1，2，3，4 中有 3 個(gè)偶數(shù)，2 個(gè)奇數(shù)，可以分 3 種情況討論： （1）0 被奇數(shù)夾在中間，先考慮奇數(shù) 1、3 的順序，有 2 種情況；再將 1、0、3 看成一個(gè)整 體，與 2、4 全排列，有種情況；故 0 被奇數(shù)夾在中間時(shí)，有種情況；6 3 3 A 3 3 2

19、12A （2）2 被奇數(shù)夾在中間，先考慮奇數(shù) 1、3 的順序，有 2 種情況；再將 1、2、3 看成一個(gè)整 體，與 0、4 全排列，有種情況，其中 0 在首位的有 2 種情況，則有種排法；6 3 3 A624 故 2 被奇數(shù)夾在中間時(shí)，有種情況；248 （3）4 被奇數(shù)夾在中間時(shí)，同 2 被奇數(shù)夾在中間的情況，有 8 種情況， 則這樣的五位數(shù)共有 12+8+8=28 種. 8 8、答案：D 解析：由題可知，5 個(gè)人住三個(gè)房間，每個(gè)房間至少住一人，則有（3,1,1）和（2,2,1）兩 種，當(dāng)為（3,1,1）時(shí)，有種，A、B 住同一房間有種，故有60 3 3 3 5 AC18 3 3 1 3 AC

20、 種，當(dāng)為（2,2,1）時(shí)，有種，A、B 住同一房間有42186090 3 3 2 2 2 3 2 5 A A CC 種，故有種，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理共有種18 2 2 2 3 1 3 ACC9018724272114 9、答案：A 解析：由分層抽樣可得男生需要 4 名，女生需要 2 名，甲男生擔(dān)任隊(duì)長(zhǎng)，則還需要出 3 名男 生，所以 32 95 NC C 10、答案：D 解析：分別統(tǒng)計(jì)中元素的個(gè)數(shù)，在中，可取的值由的值決定，當(dāng)時(shí),E FE, ,p q rs4s 分別可選，所以有種，當(dāng)時(shí)；同理有種；當(dāng), ,p q r0,1,2,3 3 4643s , ,p q r 3 327 時(shí)；同理有種；當(dāng)時(shí)；同理有 種，所以共計(jì)2s , ,p q r 3 281s , ,p q r1 ；在中，可知一組，一組，按照的計(jì)算方式 182764100card E F, t u, v wE 可得和的選擇各有 10 種，所以。從而, t u, v w 10 10100card F 200card Ecard F 11、答案：60 解析：可按獲獎(jiǎng)人數(shù)進(jìn)行分類討論，若有 3 人，則一人獲得