1、,9.1 圓的方程,圓方程的標(biāo)準(zhǔn)式,圓,9,9.1 圓的方程,圓方程的標(biāo)準(zhǔn)式,9.1圓的方程,圓方程的一般式,則可得出圓方程的一般式：,9.1圓的方程,圓方程的一般式,綜合以上結(jié)果，得,9.1圓的方程,圓方程的一般式,備註：,(1)圓方程的一般式是一個(gè)關(guān)於 x、y 的二次方程，其中 x2 與 y2 的係數(shù)相等，且方程中不存在 x y 項(xiàng)。,(2)在利用上述公式求一般式之圓心和半徑時(shí)，,必須使 x2 與 y2 的係數(shù)都等於 1 。,例 9.1,9.1 圓的方程,解：,例 9.2,9.1 圓的方程,解：,例 9.3,9.1 圓的方程,解：,若某圓通過(guò) A(1, 1)、B(3, 5) 和 C(1,

2、3)三點(diǎn)，試求該圓的方程。,由於點(diǎn) A(1, 1)、B(3, 5) 及 C(1, 3)位於圓上，,由於點(diǎn) (1)、 (2) 及 (3) ，得 D = 4、 E = 4 及 E = 2 ，,例 9.5,9.1 圓的方程,解：,某圓的圓心位於直線(xiàn) y = x + 1上，且該圓通過(guò)點(diǎn) (5, 2)。 若該圓與直線(xiàn) y = 3 x 相切，試求圓方程。,例 9.5,9.1 圓的方程,解：,某圓的圓心位於直線(xiàn) y = x + 1上，且該圓通過(guò)點(diǎn) (5, 2)。 若該圓與直線(xiàn)y = 3 x 相切，試求圓方程。,例 9.5,9.1 圓的方程,解：,某圓的圓心位於直線(xiàn) y = x + 1上，且該圓通過(guò)點(diǎn) (5,

3、 2)。 若該圓與直線(xiàn)y = 3 x 相切，試求圓方程。,例 9.6,9.1 圓的方程,解：,若某圓與兩坐標(biāo)軸相切，且通過(guò)點(diǎn) (4, 2)，試求該圓可取的兩個(gè)方程。,圓可取的兩方程是,例 9.6,9.1 圓的方程,解：,若某圓與兩坐標(biāo)軸相切，且通過(guò)點(diǎn) (4, 2)，試求該圓可取的兩個(gè)方程。,9.2 直線(xiàn)與圓的交點(diǎn),9.2 直線(xiàn)與圓的交點(diǎn),沒(méi)有交點(diǎn),沒(méi)有交點(diǎn),一個(gè)交點(diǎn),9.2直線(xiàn)與圓的交點(diǎn),沒(méi)有交點(diǎn),一個(gè)交點(diǎn),二個(gè)交點(diǎn),設(shè)直線(xiàn) L 與圓 C 的方程為,9.2直線(xiàn)與圓的交點(diǎn),9.2直線(xiàn)與圓的交點(diǎn),則直線(xiàn)L 與圓 C 不相交。,9.2直線(xiàn)與圓的交點(diǎn),則直線(xiàn)L 與圓 C 相交於 (x1, y1)一點(diǎn)

4、(即 L 是 C 的切線(xiàn))。 注意 x = x1 是 () 唯一的根 。,則直線(xiàn) L 與圓 C 不相交。,9.2直線(xiàn)與圓的交點(diǎn),9.2直線(xiàn)與圓的交點(diǎn),則直線(xiàn)L 與圓 C 相交於 (x1, y1)和 (x, y ) 兩個(gè)相異點(diǎn)。 注意，x = x1 及 x = x是 () 的根。,則直線(xiàn)L 與圓 C 相交於 (x1, y1)一點(diǎn) (即 L 是 C 的切線(xiàn))。 注意 x = x1 是 () 唯一的根 。,則直線(xiàn) L 與圓 C 不相交。,解：,例 9.8,9.2 直線(xiàn)與圓的交點(diǎn),試求圓 x2 + y2 + 2y 9 = 0 與直線(xiàn) 2x y 6 = 0 的交點(diǎn)數(shù)目。,因此，圓與直線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)。,另解

5、：,例 9.8,9.2 直線(xiàn)與圓的交點(diǎn),試求圓 x2 + y2 + 2y 9 = 0 與直線(xiàn) 2x y 6 = 0 的交點(diǎn)數(shù)目。,從圓心到直線(xiàn) 2x y 6 = 0 的垂直距離,因此，直線(xiàn) 2x y 6 = 0 與圓形相交於兩個(gè)相異點(diǎn)。,9.3 圓的切線(xiàn),切線(xiàn)方程,1. 位於圓周上一點(diǎn)的切線(xiàn),9.3 圓的切線(xiàn),切線(xiàn)方程,9.3 圓的切線(xiàn),切線(xiàn)方程,解：,例 9.11,9.3 圓的切線(xiàn),試求圓 x2 + y2 2y + 8y 8 = 0 在點(diǎn) (5, 1) 的切線(xiàn)之方程。,所求的切線(xiàn)方程是,9.3 圓的切線(xiàn),2. 具有已知斜率的切線(xiàn),若要求出 L1 及 L2 的方程，我們可以考慮 (i) 判別式

6、或 (ii) 從圓心到切線(xiàn)的垂直距離及圓半徑。 讓我們通過(guò)以下的例題加以說(shuō)明。,解：,例 9.12,9.3 圓的切線(xiàn),已知一圓 x2 + y2 4x + 4y + 6 = 0。試求斜率為 1 的切線(xiàn)之方程。,設(shè)所求的切線(xiàn)方程為,若 (1) 代表一條切線(xiàn)，則,所求的切線(xiàn)方程是,另解：,9.3 圓的切線(xiàn),例 9.12,已知一圓 x2 + y2 4x + 4y + 6 = 0。試求斜率為 1 的切線(xiàn)之方程。,如圖 9.8 所示，設(shè)所求的切線(xiàn)方程為,9.3 圓的切線(xiàn),例 9.12,由於 (2) 代表一條切線(xiàn)，因此，(2) 與圓心 的距離等於圓半徑。,已知一圓 x2 + y2 4x + 4y + 6 =

7、 0。試求斜率為 1 的切線(xiàn)之方程。,9.3 圓的切線(xiàn),例 9.12,由於 (2) 代表一條切線(xiàn)，因此，(2) 與圓心 的距離等於圓半徑。,所求的切線(xiàn)方程是,已知一圓 x2 + y2 4x + 4y + 6 = 0。試求斜率為 1 的切線(xiàn)之方程。,9.3 圓的切線(xiàn),3. 從外點(diǎn)到圓的切線(xiàn),若要求出L1 及 L2 的方程，我們可以考慮前述的兩種方法 即利用(i) 判別式 () = 0 或 (ii) 從圓心到切線(xiàn)的垂直距離 (d) =圓的半徑 (r) 。,9.3 圓的切線(xiàn),3. 從外點(diǎn)到圓的切線(xiàn),從外點(diǎn)到圓的切線(xiàn)之長(zhǎng)度,9.3 圓的切線(xiàn),從外點(diǎn)到圓的切線(xiàn)之長(zhǎng)度,9.3 圓的切線(xiàn),解：,例 9.14

8、,9.3 圓的切線(xiàn),試求從點(diǎn)(1, 2)到圓 4x2 + 4 y2 6x + 8y + 3 = 0 的切線(xiàn)之長(zhǎng)度。,切線(xiàn)的長(zhǎng)度,9.4 圓族,同心圓族,當(dāng) r 值變化時(shí)， S 代表一系列的圓 ，這些圓具有同樣的圓心 (h, k) 但有著不同的半徑。,9.4 圓族,同心圓族,當(dāng) r 值變化時(shí)， S 代表一系列的圓 ，這些圓具有同樣的圓心 (h, k) 但有著不同的半徑。,我們把 S 稱(chēng)為同心圓族。,9.4 圓族,通過(guò)直線(xiàn)與圓的交點(diǎn)之圓族,則存在著一通過(guò) P 和 Q 兩點(diǎn)的圓 S，其方程為：,注意，當(dāng) k 值變化時(shí)， S 代表通過(guò) L 與 C 的交點(diǎn)之圓族。,若直線(xiàn) L: Ax + By + C

9、= 0 與圓 C: x2 + y2 +Dx + Ey + F = 0 相交於 P(x1, y1) 和 Q(x2, y2) 兩點(diǎn)。,9.4 圓族,通過(guò)直線(xiàn)與圓的交點(diǎn)之圓族,則存在著一通過(guò) P 和 Q 兩點(diǎn)的圓 S，其方程為：,注意，當(dāng) k 值變化時(shí)， S 代表通過(guò) L 與 C 的交點(diǎn)之圓族。,若直線(xiàn) L: Ax + By + C = 0 與圓 C:x2 + y2 +Dx + Ey + F = 0 相交於 P(x1, y1) 和 Q(x2, y2) 兩點(diǎn)。,解：,例 9.16,9.4 圓族,y 軸上任意一點(diǎn) x 坐標(biāo)都是零,試求通過(guò) C: x2 + y2 2x 2y + 1 = 0 與直線(xiàn) L:

10、x + y = 1 的交點(diǎn)，且圓心位於 y 軸上符合以下條件的圓方程。,設(shè)所求的圓方程為,所求的圓方程是,9.4 圓族,通過(guò)兩圓的交點(diǎn)之圓族,9.4 圓族,通過(guò)兩圓的交點(diǎn)之圓族,如圖 9.28 所示，L 將通過(guò)兩圓 C1 與 C2 的公共弦 PQ。,9.4 圓族,通過(guò)兩圓的交點(diǎn)之圓族,如圖 9.28 所示，L 將通過(guò)兩圓 C1 與 C2 的公共弦 PQ。,9.4 圓族,通過(guò)兩圓的交點(diǎn)之圓族,9.4 圓族,通過(guò)兩圓的交點(diǎn)之圓族,9.4 圓族,通過(guò)兩圓的交點(diǎn)之圓族,9.4 圓族,通過(guò)兩圓的交點(diǎn)之圓族,解：,例 9.18,9.4 圓族,設(shè)所求的圓方程為,所求的圓方程是,解：,例 9.18,9.4 圓

11、族,例 9.2,解：,注意：半徑是圓心與圓周上任意一點(diǎn)的距離。 求出圓半徑後，我們便可通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)式去求圓方程。,9.1 圓的方程,例 9.2,解：,9.1 圓的方程,以 L : y = mx + c 這種形式來(lái)考慮切線(xiàn)方程。 以已知的斜率作為 m 值。 由於 L 與圓只相交於一點(diǎn)， 因此，把 L 代入圓方程後，便可得出一個(gè)二之方程，其判別式為零。 我們能否由此求出 c 的值呢？,例 9.12,9.3 圓的切線(xiàn),已知一圓 x2 + y2 - 4x + 4y + 6 = 0。試求斜率 為 1 的切線(xiàn)之方程。,解：,設(shè)所求的切線(xiàn)方程為,若(1)代表一條切線(xiàn)，則,所求的切線(xiàn)方程是,例 9.12,已知一圓 x2 + y2 - 4x + 4y + 6 = 0。試求斜率 為 1 的切線(xiàn)之方程。