1、第8章 廣義函數(shù)與基本解,8.1 基本空間 8.1.1 引言 偏微分方程的古典理論對(duì)解的光滑性要求過(guò)高，這不僅 僅常常不合實(shí)際問(wèn)題的要求，而且影響理論的進(jìn)一步發(fā)展。 我們希望對(duì)一般的方程及定解問(wèn)題統(tǒng)一地?cái)U(kuò)充解地概念。這 首先需要擴(kuò)充函數(shù)地概念。 Fourier變換是求解偏微分方程諸多問(wèn)題的有力工具。但 是能做此變換的函數(shù)是不多的。我們希望擴(kuò)廣它的使用范圍，從而需要擴(kuò)充函數(shù)的概念。 當(dāng)物理學(xué)家Dirac為了量子力學(xué)的需要引入函數(shù) 時(shí)， 數(shù)學(xué)和物理的緊密關(guān)系便出現(xiàn)了裂痕。,第8章 廣義函數(shù)與基本解,物理學(xué)家原本定義的 函數(shù)是這樣的“函數(shù)”： 。,第8章 廣義函數(shù)與基本解,物理學(xué)家在20世紀(jì)30年代

2、就廣泛使用 函數(shù)討論問(wèn)題，并獲得相當(dāng)?shù)某晒ΑＶ钡?0世紀(jì)40年代末，Schwarz等人建立了廣義函數(shù)基礎(chǔ)理論，才為這類奇異“函數(shù)”建立了嚴(yán)格的 數(shù)學(xué)理論。僅從以上三個(gè)方面看，擴(kuò)充函數(shù)概念是很有必要的。下面我們給出廣義函數(shù)的定義。,第8章 廣義函數(shù)與基本解,8.1 基本空間 8.1.1 引言,第8章 廣義函數(shù)與基本解,記號(hào),第8章 廣義函數(shù)與基本解,1.2 基本空間 和 首先考慮的基本空間是 即具有緊支集的無(wú)限次可微函數(shù) 組成的空間。所謂一個(gè)函數(shù) f(x) 的支集，是指集合 的閉包，記作 在 中定義收斂概念如下：,第8章 廣義函數(shù)與基本解,第8章 廣義函數(shù)與基本解,第8章 廣義函數(shù)與基本解,第8

3、章 廣義函數(shù)與基本解,附注 易知 中的收斂性比 中的收斂性強(qiáng)，反之未必對(duì)。例如可取為例8.1.1中的函數(shù)，并定義 易證 。,第8章 廣義函數(shù)與基本解,1.3 基本空間 若定義在 上的函數(shù) 滿足條件 則稱它是速減函數(shù)。易證，條件 (ii)與下述任一個(gè)條件等價(jià)：,第8章 廣義函數(shù)與基本解,第8章 廣義函數(shù)與基本解,第8章 廣義函數(shù)與基本解,基本空間上的Fourier 變換,第8章 廣義函數(shù)與基本解,Fourier變換的性質(zhì),第8章 廣義函數(shù)與基本解,一般地，對(duì)任一多重指標(biāo) 有,第8章 廣義函數(shù)與基本解,第8章 廣義函數(shù)與基本解,第8章 廣義函數(shù)與基本解,由此，可以導(dǎo)出分?jǐn)?shù)指數(shù)的Sobolev空間。

4、Parselval等式的重要性可見(jiàn)一斑。,第8章 廣義函數(shù)與基本解,8 .2 廣義函數(shù)空間 8.2.1 概念與例子 依次把基本空間 和 上的線形連續(xù)泛函叫作 廣義函數(shù) , 廣義函數(shù)和 廣義函數(shù)，它們各自的全體分別組成 和 廣義函數(shù)空間。有時(shí)我們分別簡(jiǎn)稱為廣函和廣函空間。廣義函數(shù)又叫作分布，廣義函數(shù)空間又叫分布空間。,第8章 廣義函數(shù)與基本解,第8章 廣義函數(shù)與基本解,第8章 廣義函數(shù)與基本解,第8章 廣義函數(shù)與基本解,8.2.2 廣義函數(shù)的收斂性,第8章 廣義函數(shù)與基本解,第8章 廣義函數(shù)與基本解,第8章 廣義函數(shù)與基本解,8.2.3 自變量的變換,第8章 廣義函數(shù)與基本解,第8章 廣義函數(shù)與

5、基本解,第8章 廣義函數(shù)與基本解,8.2.4 廣義函數(shù)的微商與乘子,第8章 廣義函數(shù)與基本解,廣義函數(shù)微商的性質(zhì)：,第8章 廣義函數(shù)與基本解,第8章 廣義函數(shù)與基本解,第8章 廣義函數(shù)與基本解,第8章 廣義函數(shù)與基本解,第8章 廣義函數(shù)與基本解,8.2.5 廣義函數(shù)的支集 一個(gè)廣義函數(shù)逐點(diǎn)的值是沒(méi)有意義的，但是我們有,第8章 廣義函數(shù)與基本解,第8章 廣義函數(shù)與基本解,第8章 廣義函數(shù)與基本解,第8章 廣義函數(shù)與基本解,8.2.6 廣義函數(shù)的卷積 為了給出廣義函數(shù)卷積的合理定義，先從常義函數(shù),第8章 廣義函數(shù)與基本解,于是，若使廣函卷積是 常以函數(shù)卷積的合理推廣，應(yīng)把兩個(gè)廣函f與g的卷積定義為

6、,第8章 廣義函數(shù)與基本解,第8章 廣義函數(shù)與基本解,廣函卷積的可交換性,第8章 廣義函數(shù)與基本解,第8章 廣義函數(shù)與基本解,第8章 廣義函數(shù)與基本解,廣函卷積的性質(zhì)：,第8章 廣義函數(shù)與基本解,8.2.7,第8章 廣義函數(shù)與基本解,廣義函數(shù)Fourier變換的性質(zhì)：,第8章 廣義函數(shù)與基本解,第8章 廣義函數(shù)與基本解,第8章 廣義函數(shù)與基本解,8.3 基本解 8.3.1 基本解的概念 P(D) 的基本解也叫做方程 P(D)U=0 的基本解。基本解不唯一， 因?yàn)橐粋€(gè)基本解加上方程P(D)U=0的任一個(gè)解也滿足方程(8.3.1)，故 通常只要求得一個(gè)具有奇性的基本解即可（即把滿足齊次方程的線性 疊加部分去掉）。,第8章 廣義函數(shù)與基本解,3,第8章 廣義函數(shù)與基本解,第8章 廣義函數(shù)與基本解,8.3.2,第8章 廣義函數(shù)與基本解,現(xiàn)在看Cauchy問(wèn)題,第8章 廣義函數(shù)與基本解,第8章 廣義函數(shù)與基本解,8.3.3,第8章 廣義函數(shù)與基本解,的基本解。,第8章 廣義函數(shù)與基本解,