1、,學(xué)案2 等 差 數(shù) 列,考點1,考點2,考點3,返回目錄,考 綱 解 讀,等差數(shù)列知識在高考中屬必考內(nèi)容,通常直接考查等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式的題目為容易題,一般以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，而與其他知識（函數(shù)、不等式、解析幾何等）相結(jié)合的綜合題一般為解答題，難度不大為中檔題.近幾年主要考查等差數(shù)列通項公式、求和公式的綜合題，難度較小.,考 向 預(yù) 測,返回目錄,1.等差數(shù)列的概念 一般地，如果一個數(shù)列從 等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列. 2.通項公式 an= ，推廣：an=am+ ,第2項起，每一項與前一,項的差都,a1+（n-1）d,（n-m）d,返回目錄,變式:a1=a

2、n+ ;d= . 由此聯(lián)想到點列(n,an)所在直線的方 . 3.等差中項 若a,b,c成等差數(shù)列,則稱b為 , 且b= ,a,b,c成等差數(shù)列是2b=a+c的 條件 . 4.前n項和Sn= = . 變式：,（1-n）d,y=dx+（a1-d）,a與c的等差中項,充要,返回目錄,5.等差數(shù)列an的一些常見性質(zhì) （1）若m+n=p+q（m，n，p，qN*）, 則 . （2）項數(shù)成等差數(shù)列，則相應(yīng)的項也成等差數(shù)列，即ak，ak+m，ak+2m，（k，mN*）成等差數(shù)列. （3）設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項和，則Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，構(gòu)成的數(shù)列是 數(shù)列.,等差,am+an=ap+aq,

3、返回目錄,2010年高考大綱全國卷記等差數(shù)列an的前n項和為Sn,設(shè)S3=12,且2a1,a2,a3+1成等比數(shù)列,求Sn.,考點1 基本量計算,返回目錄,【分析】在等差數(shù)列中有五個重要的量a1，an，d，n，Sn，只要已知任意三個，就可求出其他兩個.其中a1和d是兩個最重要的量，通常要先求出a1和d.,返回目錄,方程思想是解決數(shù)列問題的基本思想，通過公差列方程（組）來求解基本量是數(shù)列中最基本的方法，同時在解題中也要注意數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用.,返回目錄,2009年高考江蘇卷設(shè)an是公差不為零的等差數(shù)列，Sn為其前n項和，滿足a22+a32=a42+a52，S7=7. （1）求數(shù)列an的通項公式及前n

4、項和Sn； （2）試求所有的正整數(shù)m,使得 為數(shù)列Sn中的項.,返回目錄,【解析】(1)由題意,設(shè)等差數(shù)列an的通項公式為 an=a1+(n-1)d,d0. 由a22+a32=a42+a52知2a1+5d=0. 又因為S7=7,所以a1+3d=1. 由可得a1=-5,d=2. 所以數(shù)列an的通項公式an=2n-7,Sn=na1+ d=n2-6n.,返回目錄,(2)因為 為數(shù)列Sn中的項，故 為整數(shù). 又由(1)知am+2為奇數(shù),所以am+2=2m-3=1,即m=1或2. 經(jīng)檢驗,符合題意的正整數(shù)m不存在.,返回目錄,(1)2010年高考大綱全國卷如果等差數(shù)列an中,a3+a4+a5=12，那么

5、a1+a2+a7=( ) A.14 B.21 C.28 D.35 (2)設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn,若S3=9,S6=36,則a7+a8+a9=( ) A.63 B.45 C.36 D.27,【分析】由等差數(shù)列性質(zhì)求解，更簡單.,考點2 等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用,返回目錄,返回目錄,解法二：由等差數(shù)列的性質(zhì)知： S6-S3=36-9=27, d=27-9=18, a7+a8+a9=S3+2d=9+218=45. 故應(yīng)選B.,返回目錄,等差數(shù)列的簡單性質(zhì): 已知數(shù)列an是等差數(shù)列,Sn是其前n項和. (1)若m+n=p+q,則am+an=ap+aq. 特別:若m+n=2p,則am+an=2ap.

6、 (2)am,a m+k,a m+2k,a m+3k,仍是等差數(shù)列,公差為kd. (3)數(shù)列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,也是等差數(shù)列. (4)S2n-1=(2n-1)an. (5)若n為偶數(shù),則S偶-S奇= d. 若n為奇數(shù),則S奇-S偶=a中(中間項). (6)數(shù)列can,c+an,pan+qbn也是等差數(shù)列,其中c,p,q均為常數(shù),bn是等差數(shù)列.,返回目錄,（1）等差數(shù)列an中, a15=33,a45=153,則d= . （2）等差數(shù)列an中，a1+a2+a3+a4+a5=20，則a3= . （3）若一個等差數(shù)列前3項的和為34，最后三項的和為 146，且所有項的和為390，則這

7、個數(shù)列的項數(shù)為 （ ） A.13 B.12 C.11 D.10,返回目錄,（1）由d= ，得d= =4. （2）由a1+a5=a2+a4=2a3，得5a3=20，所以a3=4. （3）因為a1+a2+a3=34，an-2+an-1+an=146， a1+a2+a3+an-2+an-1+an=146+34=180， 又因為a1+an=a2+an-1=a3+an-2， 所以3（a1+an）=180，從而a1+an=60， 所以Sn= ，即n=13.故應(yīng)選A.,返回目錄,在等差數(shù)列an中,已知a1=20,前n項和為Sn,且S10 =S15, 求當(dāng)n取何值時,Sn取得最大值,并求出它的最大值.,【分析

8、】 (1)由a1=20及S10=S15可求得d,進(jìn)而求得通項,由通項得到此數(shù)列前多少項為正,或利用Sn是關(guān)于n的二次函數(shù),利用二次函數(shù)求最值的方法求解.(2)利用等差數(shù)列的性質(zhì),判斷出數(shù)列從第幾項開始變號.,考點3 等差數(shù)列前n項和的最值,返回目錄,【解析】解法一：a1=20,S10=S15, 1020+ d=1520+ d, d=- . an=20+(n-1)(- )=- n+ . a13=0. 即當(dāng)a12時，an0，n14時，an0. 當(dāng)n=12或13時，Sn取得最大值，且最大值為 S12=S13=1220+ (- )=130.,返回目錄,解法二：同解法一求得d=- . Sn=20n+ (

9、- )=- n2+ n =- (n- )2+ . nN+,當(dāng)n=12或13時，Sn有最大值， 且最大值為S12=S13=130.,返回目錄,解法三：同解法一得d=- . 又由S10=S15，得a11+a12+a13+a14+a15=0. 5a13=0，即a13=0.當(dāng)n=12或13時,Sn有最大值, 且最大值 為S12=S13=130.,返回目錄,求等差數(shù)列前n項和的最值，常用的方法： （1）利用等差數(shù)列的單調(diào)性，求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項； （2）利用性質(zhì)求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項，便可求得和的最 值； （3）利用等差數(shù)列的前n項和Sn=An2+Bn（A，B為常 數(shù)） 為二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.,返

10、回目錄,在等差數(shù)列an中，a10,S9=S12,求數(shù)列前多少項和最小.,解法一：由S9=S12，得9a1+ d=12a1+ d,得 3a1=-30d，d=- a1.a10,d0, Sn=na1+ n（n-1）d= dn2- dn= (n- )2- d.d0,Sn有最小值. 又nN*,n=10或n=11時，Sn取最小值，最小值是-55d，即S10或S11最小且S10=S11=-55d.,返回目錄,解法二：由解法一知d=- a10,又a10, 數(shù)列an為遞增數(shù)列. a0, a1+（n-1）d0 an+10, a1+nd0 a1+(n-1)(- a1)0 1- (n-1)0 a1+n(- a1)0

11、1- n0 10n11, 數(shù)列的前10項均為負(fù)值，a11=0，從第12項起為正值. n=10或11時，Sn取最小值.,即,令,返回目錄,解法三：S9=S12，a10+a11+a12=0，3a11=0，a11=0. 又a10,數(shù)列為遞增數(shù)列. 因此數(shù)列的前10項均為負(fù)值，a11=0，從第12項起為正值. 當(dāng)n=10或11時，Sn取最小值.,返回目錄,1.深刻理解等差數(shù)列的定義，緊扣從“第二項起”和“差是同一常數(shù)”這兩點. 2.由五個量a1，d，n，an，Sn中的三個量可求出其余兩個量，要求選用公式要恰當(dāng)，要善于減少運算量，達(dá)到快速、準(zhǔn)確的目的. 3.已知三個或四個數(shù)成等差一類問題，要善于設(shè)元，目的仍在于減少運算量，如三個數(shù)成等差數(shù)列時，除了設(shè)a，a+d，a+2d外，還可設(shè)a-d，a，a+d；四個數(shù)成等差數(shù)列時，可設(shè)為a-3d，a-d，a+d，a+3d.,返回目錄,4.證明數(shù)列an是等差數(shù)列的兩種基本