1、第二講 導(dǎo)數(shù)與微分方程一、 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容 1、 實(shí)際引例（牛頓冷卻模型）警察上午9點(diǎn)鐘發(fā)現(xiàn)一被謀殺者，并測(cè)得尸體溫度為32.4，一小時(shí)以后，尸體的溫度變?yōu)?1.7，尸體所在房間的溫度是20。如果人的正常體溫為36.5，并知道熱物體冷卻速度與自身溫度與外界溫度之差成正比，試推斷謀殺時(shí)間。 解 設(shè)T為尸體溫度，t為時(shí)間（十進(jìn)制，如10.5代表10點(diǎn)30分）,溫度的變化率（）比例常數(shù)為K解題關(guān)鍵熱物體冷卻速度與自身溫度與外界溫度之差成正比。 即 =k*(T-20). 該方程就為微分方程，那么如何求解喃？以下為MATLAB求解過(guò)程： T=dsolve(DT=k*(T-20),T(9)=32.4) %T（9

2、）表示在9點(diǎn)時(shí)的溫度為32.4 ans = (62*exp(k*t)/(5*exp(9*k) + 20由于10點(diǎn)室溫為31.7，帶入后可求K,命令如下： 先輸入 solve(),然后把上面得到的表達(dá)式復(fù)制進(jìn)去 (62*exp(k*t)/(5*exp(9*k) + 20 k=solve(62*exp(k*10)/(5*exp(9*k) + 20=31.7) （帶入t=10,T=31.7) k=-0. T=(62*exp(k*t)/(5*exp(9*k) + 20T=20./exp(0.*t)+20 T=vpa(T,6) (保留幾位數(shù))T =20.9192/exp(0.*t) + 20.0t=so

3、lve(20.9192/exp(0.*t) + 20.0=36.5)ans =4.0.*60=5.0354 即謀殺時(shí)間 凌晨4點(diǎn)5分左右 2、 引例子所涉及的知識(shí)點(diǎn)1、 首先要列出微分方程，簡(jiǎn)單的來(lái)說(shuō)出現(xiàn)了變化率（）。2、 如何求解微分方程。 dsolve(方程1，方程2方程n初始條件) 如求解=k*(T-20) dsolve(DT=k*(T-20),T(9)=32.4) （9點(diǎn)時(shí)的溫度為32.4）3、如何求解方程的未知數(shù)的值 solve(等式) 如求解（）的根 solve(x2-x-2=0) Ans=-1，24、 如何讓數(shù)據(jù)顯示指定位數(shù)，vpa(函數(shù)名，顯示的位數(shù)）T=20./exp(0.*

4、t)+20vpa(T，6)，顯示結(jié)果T=20.919/exp(0.*t) + 20.0三、過(guò)手練習(xí)1、理解以后自己從頭來(lái)解決引例。最后畫(huà)出該過(guò)程的函數(shù)圖像。（提示）畫(huà)圖時(shí)，請(qǐng)重新手打以下內(nèi)容，切勿復(fù)制 (1)先要給t定義域，linspace(4,10,60); (2)寫(xiě)出T的函數(shù)關(guān)系式。 (3）plot2、 微分方程求解（1） u(0)=1ans=tan(pi/4+t)4、 導(dǎo)數(shù)、積分的求法。1、 導(dǎo)數(shù)先要定義要用的字母 syms x y a diff(y,x,n) 其中y為待求導(dǎo)運(yùn)算的函數(shù)，x為求導(dǎo)變量，n為求導(dǎo)階次例1：求y=asinx對(duì)X求一階導(dǎo),二階導(dǎo)，以及對(duì)A求一階導(dǎo)。syms x,

5、a,y定義變量diff(a*sin(x),x,1)Ans=a*cos(x)對(duì)x求一階導(dǎo)數(shù)diff(a*sin(x),x,2)ans=-a*sin(x)對(duì)X求二階導(dǎo)數(shù)diff(a*sin(x),a,1)ans=sin(x)對(duì)a求導(dǎo)，把sinx當(dāng)做常數(shù)2、 積分 int(y,x,a,b)其中y為待求函數(shù)，x為積分變量，a,b為積分區(qū)域，若區(qū)間為,用字母inf，即-inf,+inf,詳見(jiàn)練習(xí)（7）例2：Syms x,a,y定義變量int(cos(x)ans=cos(x)過(guò)手練習(xí) （1） 求 y y” (2)y= （大家要習(xí)慣MATLAB表示法和熟悉寫(xiě)法的轉(zhuǎn)化） 答案（）(3). (4). int(x7/(x4+2) ans =1/4*x4-1/2*log(x4+2) ans = -exp(1/x)/x+exp(1/x) (5). (6). int(x2+x-6)/(x+3),x,3,4) ans = 3/2 ans =3(1/2)-1/3