1、第六節(jié) 空間直線及其方程,直線方程的三種表示法：一般式、點向式、參數(shù)式；,主要內(nèi)容,空間直線的一般方程,直線的點向式方程,其中方向向量,已知點,直線的參數(shù)方程,兩直線的夾角公式 ；,直線與平面的夾角公式。,定義,空間直線可看成兩平面的交線,空間直線的一般方程,一、空間直線的一般方程,方向向量的定義：,如果一非零向量平行于一條已知直線，這個向量稱為這條直線的方向向量,二、空間直線的點向式方程與參數(shù)方程,注：,同一條直線的方向向量有無窮多個。有單位向量，還有一般的向量。,下面導出直線的點向式方程,直線的對稱式方程,令,方向向量的方向余弦稱為直線的方向余弦.,直線的參數(shù)方程,下面得出直線的參數(shù)方程,

2、在求直線上一點的坐標或交點時，利用直線的參數(shù)方程求解更加簡便,直線的對稱式方程,直線的一般方程,下面從對稱式方程得出直線的一般方程,從空間直線的一般方程到對稱式方程,先在直線上任取一點。再求直線的方向向量。,注：直線方程的表示形式均不唯一。,例1 用點向式方程表示直線,舉例說明如何將直線的一般方程轉(zhuǎn)化為 點向式方程。,方法一：用點向式表示直線方程 方法二：用消元法求直線方程,解,方法一：,點向式,下找所求直線的方向向量，由已知可知,于是點(-4,2,0)是所求直線上的一點。,先找直線上的一點，在直線方程中令z=0,用點向式寫出直線方程,方法二：,消元法求直線方程,將方程,分別消去x，y得到,于

3、是直線方程為,化簡整理得直線方程為,練 習,解,定義,直線,直線,兩直線的方向向量的夾角稱之.（銳角）,兩直線的夾角公式,三、兩直線的夾角,兩直線的位置關系：,/,直線,直線,例如，,解,從題意可得：兩直線的方向向量為,于是，代入兩直線的夾角公式,所以兩直線的夾角為,練 習,解,直線方程的三種表示法：一般式、點向式、參數(shù)式；,回顧,空間直線的一般方程,直線的點向式方程,其中方向向量,已知點,直線的參數(shù)方程,兩直線的夾角公式 ；,解,37頁 習題8-4,解,定義,直線和它在平面上的投影直線的夾角 稱為直線與平面的夾角,四、直線與平面的夾角,直線與平面的夾角公式,直線與平面的位置關系：,解,從題意

4、可得：已知平面的法向量就是所求直線的方向向量。,于是，直線的方程為,解,為所求夾角,練 習,五、綜合舉例,解,設所求直線的方向向量為,根據(jù)題意知,取,所求直線的方程,解,練 習,于是所求平面方程為,即,解,即求方程組,的解。,利用直線的參數(shù)方程求解更簡便,設,代入題中平面方程,代入?yún)?shù)方程中得：,于是所求交點坐標為,中得：,解,練 習,設,代入平面方程,綜上，投影坐標為,例6,方法一：點向式求直線方程。關鍵在于求出兩條直線的交點。用過A的直線與垂直已知平面的交點來求。,方法二：點向式求直線方程。假設交點坐標，解未知數(shù)的方法來求。,方法三：利用所求直線是由兩個平面的交線來求。這兩個平面分別是：1

5、、過已知點和已知直線的平面；2、過點A且垂直于已知直線的平面。,解,先作一過點A且與已知直線垂直的平面,再求已知直線與該平面的交點B,例6,方法一：點向式求直線方程。關鍵在于求出兩條直線的交點。用過A的直線與垂直已知平面的交點來求。,令,代入平面方程得,取所求直線的方向向量為,所求直線方程為,解,先求出直線上任意一點B的坐標,例6,方法二：點向式求直線方程。假設交點坐標，解未知數(shù)的方法來求。,取所求直線的方向向量為,所求直線方程為,解,例6,方法三：利用所求直線是由兩個平面的交線來求。這兩個平面分別是：1、過已知點和已知直線的平面；2、過點A且垂直于已知直線的平面。,下求過已知點和已知直線的平面。,練 習,練 習,方法一：用所求直線在A與直線1確定的平面上，同時也在A與直線2確定的平面上來求。即所求直線為兩平面的交線。,方法二：點向式求直線方程。假設兩個交點分別為B、C。利用交點與A共線來求。,解,設直線L的一般方程為,其中,下面研究方程,用平面束解題