1、；點(diǎn)到直線的距離公式的七種推導(dǎo)方法已知點(diǎn)P( x0 , y0 ) 直線 l : AxByC0( A0, B0) 求點(diǎn) P 到直線 l 的距離。（因?yàn)樘厥庵本€很容易求距離，這里只討論一般直線）一、定義法證：根據(jù)定義， 點(diǎn) P 到直線 l 的距離是點(diǎn)P 到直線 l 的垂線段的長(zhǎng)，如圖1，設(shè)點(diǎn) P 到直線 l的垂線為l ，垂足為 Q，由 l l 可知 l 的斜率y PlBQl 為 Axy y0B ( x x0 )圖1l 的方程：A與 l 聯(lián)立方程組解得交點(diǎn)Q( B2x0ABy0AC, A2 y0ABx0BC )A2B2A2B22B2 x0 ABy0ACx)2(A2 y0ABx0BCy )2| PQ

2、|(A2B20A2B20(A2 x0ABy0AC ) 2(B2 y0ABx0BC ) 2A2B2A2B2A2 ( Ax0By0C )2B2 ( Ax0 By0C )2( Ax0By0C ) 2( A2B2 ) 2( A2B2 )2A2B2| Ax0 By0C |PQ |A2B2二、 函數(shù)法證：點(diǎn) P 到直線 l上任意一點(diǎn)的距離的最小值就是點(diǎn)P 到直線 l的距離。 在 l 上取任意點(diǎn)Q ( x, y) 用兩點(diǎn)的距離公式有，為了利用條件 AxByC0 上式變形一下，配湊系數(shù)處理得：.；( A2B2 )( xA2 (xx0 ) 2 A(xx0 ) A( xx0 )x0 ) 2( y y0 ) 2 B

3、2 ( y y0 )2A2 ( y y0 )2B2 ( x x0 )2B( yy)2 A( yy )B( xx0)200B( yy0 )2( Ax0By0C)2 (Ax By C 0)( x x )2( y y)2| Ax0 By0C |00A2B2當(dāng) 且 僅 當(dāng) A( yy0 ) B（ xx0） 時(shí) 取 等 號(hào) 所 以 最 小 值 就 是| Ax0By0 C |dA2B2三、不等式法證：點(diǎn) P 到直線 l 上任意一點(diǎn) Q( x, y) 的距離的最小值就是點(diǎn)P到 直 線l的 距 離 。 由 柯 西 不 等 式 ：( A2B2 )( xx0 ) 2( yy0 ) 2 A(xx0 )B( yy0

4、)2( Ax0By0C )2Ax By C 0,( x x0 )2( y y0 ) 2| Ax0By0C |A2B2當(dāng) 且 僅 當(dāng) A( yy0 )B（ x x0） 時(shí) 取 等 號(hào) 所 以 最 小 值 就 是d| Ax0 By0C |A2B2四、轉(zhuǎn)化法yPllyPP 作 PMMQQM證：設(shè)直線 l 的傾斜角為過(guò)點(diǎn)xx y 軸 交 l于M ( x1 , y1 ) 顯 然 x1x0 所 以圖2圖 3y1Ax0C| PM | | y0Ax0CAx0By0CbB| |B|易得 MPQ（圖 2）或 MPQ 1800（圖 3）在 兩 種 情 況 下 都 有tan 2MPQtan2A2所 以B2cosMPQ

5、1| B |1tan2A2B2.；Ax0 By0 C| B | Ax0 By0 C | PQ | | PM | cos MPQ |B2A2B2BA2五、三角形法證： P 作 PM y 軸交 l 于 M，過(guò)點(diǎn) P 作 PN x 軸交（圖 4）由解法三知| PM | | Ax0By0C |；同理得| PN | | Ax0By0BA在 Rt MPN中， PQ是斜邊上的高| PM | | PN | Ax0By0C | PQ | PN |2A2B2| PM |2y PNl 于 NMQxl圖4C |六、參數(shù)方程法l xx0t cos:t sin 交直線 l 于點(diǎn) Q。 ( 如圖證：過(guò)點(diǎn) P( x0 , y

6、0 ) 作直線yy01)由 直 線 參 數(shù) 方 程 的 幾 何 意 義 知 | t | | PQ | ， 將l 代 入l 得Ax0At cosBy0Bt sinC0整理后得 | t | |Ax0 By0 C|.(1)AcosB sin當(dāng) l l 時(shí)，我們討論與 l 的傾斜角的關(guān)系：tanA0,不妨令 A0,B0,B0 ）有當(dāng)B900 （圖 3）.；得到的結(jié)果和上述形式相同，將此結(jié)果代入得| t | Ax0By0C | Ax0By0C |yPQA2B2A2B2n|B2|A2A2B2lx七、向量法圖五證：如圖五， 設(shè)直線 l : AxByC0( A0, B0) 的一個(gè)n(1, B )，Q直線上任意

7、一點(diǎn)， 則 PQ( x1x0 , y1y0 ) 。從而法向量A點(diǎn) P 到直線的距離為：| n PQ | xxB ( yy ) | A( x1x0 ) B( y1y0 ) |10A10d| n |B2A2B21A2P點(diǎn)在直線 l 上 ,Ax1By1C| Ax1By1Ax0By0 | Ax0By0C |0, 從而 dA2B2A2B2附：方案一：設(shè)點(diǎn)P到直線 l 的垂線段為，垂足yPQ為，由 l 可知，直線RP(x0 ,y0)的斜dQPQPQQB率為 A（ A 0），根據(jù)點(diǎn)斜式寫(xiě)出直oSxl線 PQ的方程，并由 l 與 PQ的方程求出點(diǎn) Q的坐標(biāo)；由此根據(jù)兩點(diǎn)距離公式求出 PQ，得到點(diǎn) P到直線 l 的距離為 d王新敞方案二：設(shè)0， 0，這時(shí) l 與 x 軸、 y 軸都相交，過(guò)點(diǎn)PAB作 x 軸的平行線，交l 于點(diǎn) R(x1 , y0 ) ；作 y 軸的平行線，交l 于點(diǎn)S( x0 , y2 ) ，.；A1 x1By0C0By0CAx0C由 Ax0By2C0 得 x1