1、第三章 3.3導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,3.3.2利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值(一),1.了解函數(shù)極值的概念，能從幾何方面直觀理解函數(shù)的極值 與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系. 2.掌握函數(shù)極值的判定及求法. 3.掌握函數(shù)在某一點(diǎn)取得極值的條件.,學(xué)習(xí)目標(biāo),題型探究,問(wèn)題導(dǎo)學(xué),內(nèi)容索引,當(dāng)堂訓(xùn)練,問(wèn)題導(dǎo)學(xué),知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)極值的概念,思考1,函數(shù)在點(diǎn)xa處的函數(shù)值與這點(diǎn)附近的函數(shù)值有什么大小關(guān)系？,函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示.,函數(shù)在點(diǎn)xa處的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)xa附近的其他點(diǎn)的函數(shù)值都小.,答案,思考2,f(a)為多少？在點(diǎn)xa附近，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有什么規(guī)律？,答案,f(a)0，在點(diǎn)xa附近的左側(cè)f(x)0.,思考3,函數(shù)在點(diǎn)

2、xb處的情況呢？,答案,函數(shù)在點(diǎn)xb處的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)xb附近的其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，f(b)0，且在點(diǎn)xb附近的左側(cè)f(x)0，右側(cè)f(x)0.,梳理 已知函數(shù)yf(x)及其定義域內(nèi)一點(diǎn)x0，對(duì)于存在一個(gè)包含x0的開(kāi)區(qū)間內(nèi)的所有點(diǎn)x，如果都有f(x)f(x0)，則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處取 ，記作y極小值f(x0)，并把x0稱為函數(shù)f(x)的一個(gè) . 與 統(tǒng)稱為極值. 與 統(tǒng)稱為極值點(diǎn).,極大值,極大值點(diǎn),極小值,極小值點(diǎn),極大值,極小值,極大值點(diǎn),極小值點(diǎn),知識(shí)點(diǎn)二求函數(shù)yf(x)的極值的方法,解方程f(x)0.當(dāng)f(x0)0時(shí)： (1)如果在x0附近的左側(cè)f(x) 0，右側(cè)f(x)

3、 0，那么f(x0)是極大值； (2)如果在x0附近的左側(cè)f(x) 0，右側(cè)f(x) 0，那么f(x0)是極小值.,題型探究,類型一求函數(shù)的極值和極值點(diǎn),解答,例1求下列函數(shù)的極值： (1)f(x)2x33x212x1；,函數(shù)f(x)2x33x212x1的定義域?yàn)镽， f(x)6x26x126(x2)(x1)， 解方程6(x2)(x1)0，得x12，x21. 當(dāng)x變化時(shí)，f(x)與f(x)的變化情況如下表：,所以當(dāng)x2時(shí)，f(x)取極大值21； 當(dāng)x1時(shí)，f(x)取極小值6.,解答,令f(x)0，得x1. 當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：,因此當(dāng)x1時(shí)，f(x)有極小值3，無(wú)極

4、大值.,求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的步驟 (1)確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)數(shù)f(x). (2)求方程f(x)0的根. (3)利用f(x)與f(x)隨x的變化情況表，根據(jù)極值點(diǎn)左右兩側(cè)單調(diào)性的變化情況求極值. 特別提醒：在判斷f(x)的符號(hào)時(shí)，借助圖象也可判斷f(x)各因式的符號(hào)，還可用特殊值法判斷.,反思與感悟,跟蹤訓(xùn)練1已知函數(shù)f(x)ex(axb)x24x，曲線yf(x)在點(diǎn)(0，f(0)處的切線方程為y4x4. (1)求a，b的值；,因?yàn)閒(x)ex(axb)aex2x4 ex(axab)2x4， 所以f(0)ab44， 又f(0)b4， 由可得ab4.,解答,(2)討論f(x)的單調(diào)性，并求

5、f(x)的極大值.,解答,f(x)ex(4x4)x24x， f(x)ex(4x8)2x44ex(x2)2(x2) (x2)(4ex2). 解f(x)0，得x12，x2ln 2， 當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：,f(x)在(，2)，(ln 2，)上單調(diào)遞增， 在(2，ln 2)上單調(diào)遞減. 當(dāng)x2時(shí)，函數(shù)f(x)取得極大值， 極大值為f(2)4(1e2).,類型二已知函數(shù)極值求參數(shù),例2已知f(x)x33ax2bxa2在x1時(shí)有極值0，求常數(shù)a，b的值.,解答,因?yàn)閒(x)在x1時(shí)有極值0， 且f(x)3x26axb，,當(dāng)a1，b3時(shí)，f(x)3x26x33(x1)20， 所以

6、f(x)在R上為增函數(shù)，無(wú)極值，故舍去. 當(dāng)a2，b9時(shí)，,f(x)3x212x93(x1)(x3)， 當(dāng)x(3，1)時(shí)，f(x)為減函數(shù)； 當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)為增函數(shù)， 所以f(x)在x1時(shí)取得極小值，因此a2，b9.,引申探究 若本例的條件改為“x3，x1是f(x)x33ax2bxa2的兩個(gè)極值點(diǎn)”，求常數(shù)a，b的值.,解答,反思與感悟,已知函數(shù)極值的情況，逆向應(yīng)用確定函數(shù)的解析式時(shí)，應(yīng)注意以下兩點(diǎn)： (1)根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0和極值兩個(gè)條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解. (2)因?yàn)閷?dǎo)數(shù)值為0不是此點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件，所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗(yàn)證根的合理性.,跟蹤訓(xùn)練2已知函數(shù)

7、f(x)ax3bx2cx在xx0處取得極大值5，其導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0)，(2,0)，如圖所示，求： (1)x0的值；,解答,由圖象可知，在區(qū)間(，1)上f(x)0，在區(qū)間(1,2)上f(x)0，在區(qū)間(2，)上f(x)0. 故f(x)在(，1)，(2，)上單調(diào)遞增，在(1,2)上單調(diào)遞減，因此f(x)在x1處取得極大值，所以x01.,(2)a，b，c的值.,f(x)3ax22bxc， 由f(1)0，f(2)0，f(1)5，,解答,類型三函數(shù)極值的綜合應(yīng)用,例3設(shè)函數(shù)f(x)x36x5，xR. (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；,解答,f(x)3x26，令f(x)0，,(2

8、)若關(guān)于x的方程f(x)a有三個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.,解答,由(1)的分析知，yf(x)的圖象的大致形狀及走向如圖 所示.,直線ya與yf(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)， 即方程f(x)a有三個(gè)不同的實(shí)根.,反思與感悟,利用導(dǎo)數(shù)可以判斷函數(shù)的單調(diào)性，研究函數(shù)的極值情況，并能在此基礎(chǔ)上畫出函數(shù)的大致圖象，從直觀上判斷函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)或兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，從而為研究方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題提供了方便.,解答,由f(x)x36x29x3， 可得f(x)3x212x9，,x2x3m， 則由題意可得x36x29x3x2x3m有三個(gè)不相等的實(shí)根，即g(x)x37x28xm的圖象與x軸有三個(gè)不同

9、的交點(diǎn). g(x)3x214x8(3x2)(x4)，,當(dāng)x變化時(shí)，g(x)，g(x)的變化情況如下表：,當(dāng)堂訓(xùn)練,1,2,3,4,5,1.如圖為yf(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，則下列判斷正確的是 f(x)在(3,1)上為增函數(shù)； x1是f(x)的極小值點(diǎn)； f(x)在(2,4)上為減函數(shù)，在(1,2)上是增函數(shù)； x2是f(x)的極小值點(diǎn). A. B. C. D.,答案,解析,1,2,3,4,5,當(dāng)x(3，1)時(shí)，f(x)0， 所以f(x)在(3，1)上為減函數(shù)，在(1,2)上為增函數(shù)，故不正確； x1是f(x)的極小值點(diǎn)，故正確； 當(dāng)x(2,4)時(shí)，f(x)0，f(x)是減函數(shù)，故正確； x2是f

10、(x)的極大值點(diǎn)，故不正確.,1,2,3,4,5,由f(x)x240，得x12，x22， 函數(shù)f(x)的極大值與極小值的和為f(2)f(2)8.,解析,答案,1,2,3,4,5,因?yàn)閒(x)3x22ax3， 則f(3)3(3)22a(3)30，所以a5.,3.函數(shù)f(x)x3ax23x9，已知f(x)在x3時(shí)取得極值，則a等于 A.2 B.3 C.4 D.5,答案,解析,1,2,3,4,5,f(x)3x22axa6， 因?yàn)閒(x)既有極大值又有極小值， 所以(2a)243(a6)0， 解得a6或a3.,4.已知f(x)x3ax2(a6)x1有極大值和極小值，則a的取值范圍為 A.12 D.a6,答案,解析,1,2,3,4,5,解答,1,2,3,4,5,(2)判斷f(x)的單調(diào)區(qū)間，并求極值.,解答,1,2,3,4,5,令f(x)0，解得x1. 當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：,1,2,3,4,5,f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)，遞