1、第四、五節(jié)定積分的換元法與分部積分法一、換元積分法二、分部積分法一、換元法1、第一換元法（湊微分法）p2pp1212x sin x2dx =2 sin x2dx2= -cos x2如：| 2000p 2= 1 - 1cos224 1x1 + ln xedx= 2(2 - 1)12、第二換元法定理假設(shè)（1） f ( x)在a, b上連續(xù)；(2)j(t)在,有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，單調(diào);（3）當(dāng)t 在區(qū)間a , b 上變化時(shí)，x = j (t ) 的值在a, b上變化，且j (a ) = a 、j (b ) = b ，bbf j (t )j (t )dt .f ( x)dx =則有aa當(dāng)a b 時(shí)，換元公式仍

2、成立.注意注(1)處理根號問題:ax + bax + bcx + d+ a2 ,- x2 ,- a2x2a2x2 （2）換元要換限，計(jì)算后不必回代 （3）開根號后要加絕對值(4)x = j(t)要在,上單調(diào),連續(xù),可導(dǎo)例1計(jì)算下列積分 dx4(1)1 +xx040t02解: 令 x = t x = t2 ,dx = 2tdt 2t2原式 =dt1 + t0+ - 22(1 t) 21 + t222=dt =2dt -dt1 + t000= 2t |2 -2ln(1 + t) |2=4-2ln300- 1x22(2)dxx1解: 令x = sect dx = sect tan tdtpp3p30

3、原式=3 tan2 tdt=(sect - 1)dt2= (tant - t) |003 - p=313 - 2 xdxx(3)計(jì)算0p2cos5 x sin xdx.（4）0例 2 當(dāng) f ( x)在-a, a上連續(xù)，且有aa= 2 f ( x)為偶函數(shù)，則f ( x)dxf ( x)dx ；-a0af ( x)dx = 0.f ( x) 為奇函數(shù)，則-a+ x cos x2 x21dx.例3計(jì)算1 +1 - x2-111dx +原式=dx解-1-1奇函數(shù)偶函數(shù)x2x2 (1 -1 - x2 )dx11=4dx = 41 +(1 -1 - x21 - (1 - x2 )001=1 - x2

4、)dx = 4 -40單位圓的面積= 4 - p.141 - x2 dx 0x cos x1 +1 - x22 x21 +1 - x2x3 sin6 x5如:+ 7 dx=0x+ 2x24-51ln( x +1 + x2 )dx=0-111(x +1 - x2 )2 dx=(1 + 2x1 - x2 )dx-1-1為奇函數(shù),積分為01=1dx =1= 2x |-1-1若 f ( x)在0,1上連續(xù)，證明例 4p2p2f (sin x)dx =（1f (cos x)dx ;）00p2ppxf (sin x)dx =（2f (sin x)dx .）00x sin xp0由此計(jì)算dx1 + cos2

5、 xx = p - t dx = -dt,（1）設(shè)證20f sin p - t dtp2= -f (sin x)dx2p02p2p2=f (cos t )dt=f (cos x)dx;00（2）設(shè) x = p - t dx = -dt,x = 0 t = p,x = p t = 0,p00xf (sin x)dx= -(p - t) f sin(p -t)dtpp= 0 (p - t) f (sin t)dt,pp= p0- 0 tf (sin t)dtf (sin t)dtppf (sin x)dx- 0xf (sin x)dx,= p0p2ppxf (sin x)dx =f (sin x)

6、dx.00p x sin xdx= pp sin xdx1 + cos2 x1 + cos2 x200p21pp= -arctan(cos x)= -pd (cos x)1 + cosx2002= - p (-p4pp2-)=.244二、分部積分公式設(shè)函數(shù)u( x)、v( x) 在區(qū)間a, b 上具有連續(xù)bbbudv =uv-vdu導(dǎo)數(shù)，則有.aaa定積分的分部積分公式b(uv) = b+(uv) dxuv,推導(dǎo)u vuv ,aabbb=u vdx +uvuv dx,aaabudv = uv bb-vdu.aaa例5:計(jì)算下列定積分12arcsin xdx.(1)0解xdx12120120=x

7、 arcsin x-arcsin xdx1 - x201p12112+ d (1 - x2 )=1 - x2260+ =pp12+ 3 - 1.12=1 - x201221-x dx(2)e0e(3)sin(ln x)dx1例6設(shè)f(x)是以T(T 0)為周期的連續(xù)函數(shù), 證a+TTa有af (x)dx =f (x)dx0x+ 2pAF ( x) =sin tesin tdt，則F ( x)例：設(shè)xA 為正常數(shù)C 恒為零B 為負(fù)常數(shù)D 不為常數(shù)例7 : 設(shè)f(x) 在(-,+)連續(xù),且xf(x- t)tdt =e-x- 1, 求f(x)x0令x-t=u=x0f (x - t)tdt-u)(-d

8、u)解:f (u)(x0xxx=-=x- x - 1xf (u)duuf(u)due00xf (u)du = ex - 1兩邊對x求導(dǎo):0兩邊再對x求導(dǎo): f (x) = ex注：變上限求導(dǎo)的三種類型 :g(x)-直接利用公式(1)f(t)dt0g(x)g( x)g( x)f(t)(x - t)dt= xf (t)dt -(2)f (t)tdt000令x-t=u=g(x)(3)f(x - t)dt0x+)連續(xù),F(x)=例8: 設(shè)f(x)在(-,f(t)dt0證:若f(x)為奇(偶)函數(shù),則F(x)為偶(奇)函數(shù)證: 若f(-x) = -f(x),則F(-x) =0f (t)dt令t=-u-x

9、x=-f (-u)du = F(x)0注:xF(x) =f(t)dt, a 0,則F ( x)為非奇非偶函數(shù).若a三、小結(jié)定積分的換元法bbf j (t )j (t )dtf ( x)dx =aa幾個(gè)特殊積分、定積分的幾個(gè)等式定積分的分部積分公式bbbudv =-uvvdu.aaa（注意與不定積分分部積分法的區(qū)別）思考題指出求-2的解法.dx-2的解法中的錯(cuò)誤，并寫出正確- 1x2xt : 2p 3p ,令 x = sect,dx = tan t sec tdt,解33 p4412 dx-=sec t tan tdt- 1x2-2sec t tan txp2 3p .3 p4=dt=12p2

10、3思考題解答計(jì)算中第二步是錯(cuò)誤的.Q x = sect2p3pt 3,4 ,tan t 0,- 1 = tan t tan t.x2正確解法是 x = sec t2 dx 1sec t tan tdt3 p4-2sec t tan tpxx- 12 23dt= -p .3 p4= -12p2 3練 習(xí) 題一、填 空題：pp1、sin( x +)dx = ；p33p(1 - sinq )dq = 32、；0 23、2 - x 2 dx = ；012(arcsin x)2dx =4、；121 - x 2-x 3sin 2 x5+ 1 dx = .5、+ 2 x 2x 4-5二、計(jì) 算下列定積分：p

11、3 dx；sinjdxcosjdj ； 2 、321、1 + x 2x 201p2 cos x - cos3 xdxp13、； 4 、3p21 - x - 1-4p01 + cos 2xdx ； 6 、4 cos4 qdx ；5、2p2-11 - x 2 + x 31 + x 2 )dx；( x 27、-123max x , xdx8、；0dx （ l 為參數(shù)2x - lx9、）.01, 當(dāng)x 0時(shí)，1 + x三、設(shè) f ( x) =2f ( x - 1)dx .求 10, 當(dāng)x 0時(shí)，1 + e x四、設(shè) f ( x)在 a , b 上連續(xù)，bb=f (a + b - x)dx.f ( x)dx 證明 aa五、證 明：11-=xn (1 - x)m dx .mnx(1x)dx 00六、證明：aa= f ( x) +f (- x)dx,f ( x)dxp -a0dx4 并求.p41 + sin x-七、設(shè) f ( x)在 0 , 1 上連續(xù)，p2142pf ( cos x )dx =f ( cos x )dx.證明00練習(xí)題答案pp3一、1、0； 2、p - 4 ； 3、； 4 、； 5、0.3 23212 - 23 ； 3、