1、Tobit模型估計方法與應(yīng)用（二）周華林 李雪松2012-10-25 10:12:04來源：經(jīng)濟學動態(tài)(京)2012年5期第105119頁三、Tobit模型的估計：非聯(lián)立方程模型1.Tobit模型的MLE。1974年之前的文獻對Tobit模型的估計都是采用了MLE，這種方法的特點是估計過程比較復(fù)雜，計算相當繁瑣，而且需要選擇一個合理的初始值，但是用這種方法估計出來的結(jié)果具有較好的性質(zhì)，估計值的有效性較好。Tobin(1958)采用MLE，并給出選擇初始值的方法，Heckman(1974)將Tobit模型擴展成聯(lián)立(simultaneous)系統(tǒng)方程，沿襲了Tobin(1958)及Gronau(

2、1974)的MLE。Tobin(1958)關(guān)注了被解釋變量有下限、上限或者存在極限值這類問題的研究，后來人們把具有這種特征的問題研究的模型稱為Tobit模型。Tobin認為受限因變量的重點主要有兩個方面，一是受限因變量和別的變量之間的關(guān)系，另一是這種關(guān)系的假設(shè)檢驗問題。在這樣的問題的研究中，解釋變量不僅影響受限變量的概率，也影響非受限因變量的規(guī)模大小。對于這類問題，如果不考慮非受限因變量的解釋，而是只考慮受限因變量或是非受限因變量的概率問題，那么Probit分析就能提供一個合適的統(tǒng)計模型；如果不關(guān)注觀測值的限制性，只是要解釋某些變量，多元回歸分析也是一種合適的統(tǒng)計技術(shù)。不過，當因變量的信息是有

3、用的時候，丟失這些信息顯然會使得研究喪失效率。Tobin以不同家庭的不同行為選擇問題為例，建立了如下受限因變量模型。假設(shè)W是受限因變量，具有下限L：根據(jù)一階條件公式，帶入初始值運用牛頓迭代法計算，這就是著名的“得分法”，迭代直到a的值的變化非常小時，得到的估計值就是受限因變量模型的估計值。Tobin選擇的初始值是函數(shù)-Z(x)/Q(x)的線性近似值，也可以說是lnQ(x)的二次方程的近似值。為了研究這類模型的特點，Tobin用1952年和1953年的數(shù)據(jù)對耐用品的支出問題進行了分析，目的是探求耐用品支出與年齡及流動性資產(chǎn)持有之間的關(guān)系。2.Tobit模型的Heckman兩步法估計。1974年以

4、后對Tobit模型的估計方法不再以MLE為核心進行突破，而是對Heckman兩步法不斷擴充和改進，主要是因為Heckman兩步法計算比較簡單，而且估計的結(jié)果是一致的，也無須考慮初值的問題。但是兩步法的估計效率不如MLE，且這種估計方法要求兩個方程的解釋變量不能完全相同。Heckman(1976)介紹了兩步法的推導(dǎo)過程，并證明了兩步法的估計性質(zhì)，以及應(yīng)用兩步法需要注意的問題。Amemiya(1974)將Tobit模型擴展到多變量模型，推導(dǎo)了模型估計方法。Heckman(1976)對樣本選擇、截斷、受限因變量等統(tǒng)計模型做了一個概括性的分析，擴展了Gronau(1974)和Lewis(1974)等的

5、研究成果，證明了文中所提到的估計方法的應(yīng)用環(huán)境、估計值的性質(zhì)等。Heckman指出審查(censored)數(shù)據(jù)模型和截斷(truncated)的區(qū)別在于截斷數(shù)據(jù)不能使用有用的數(shù)據(jù)估計有完整數(shù)據(jù)的觀測值的概率，但是審查數(shù)據(jù)可以。受限因變量模型需要考慮選擇性偏差的影響，樣本選擇性偏差問題的研究最初起源于Gronau(1974)和Lewis(1974)關(guān)于工資選擇偏差問題的研究，把未出現(xiàn)在工資方程中的額外的變量引起的工資率的變化稱為選擇性偏差。如勞動工資方程中，婚姻狀態(tài)、小孩數(shù)量等雖然不是工資率的直接解釋變量，但這些因素影響了工作選擇的決定，因而通過限制性條件的方式對受限變量產(chǎn)生了選擇性偏差。在實證

6、部分Heckman用美國33-44歲女性的縱向(longitudinal)調(diào)查數(shù)據(jù)研究了女性工資率及工作時間的問題。Amemiya(1974)將截斷(truncated)因變量的單方程回歸模型擴展到多變量方程模型和聯(lián)立方程模型，提出了一個簡單的可計算的一致估計法。對這類模型的研究主要集中于三個方面：一是參數(shù)值及協(xié)方差的估計；二是考慮估計值的一致性及有效性；三是漸進分布的推導(dǎo)用于對估計值進行假設(shè)檢驗。對于多變量回歸方程模型，假設(shè)n維隨機變量：Amemiya為了解決上述三個核心問題，對多變量回歸模型作了如下假設(shè)：假設(shè)1：參數(shù)空間是緊致的并且是一個具有真實值的開鄰域。四、Tobit模型的估計：聯(lián)立方

7、程模型聯(lián)立方程Tobit模型估計方法與非聯(lián)立Tobit模型有較大的區(qū)別。這種模型估計涉及到兩個問題，一是如何判斷所建立的方程是否是聯(lián)立方程的問題。Lee(1978)明確提出了檢驗的方法。二是如何估計模型的問題，以往研究文獻提出了不同的估計方法，總體上來說這些估計方法都是將聯(lián)立方程估計方法與Heckman兩步法估計方法結(jié)合的結(jié)果，但是各文獻中具體估計方法之間是存在差異的。Amemiya(1978)建立了多變量聯(lián)立方程模型，模型基本結(jié)構(gòu)如下：與以往的受限因變量聯(lián)立方程模型不同，Amemiya的模型中考慮了只有部分因變量受限的聯(lián)立方程模型的估計方法、估計性質(zhì)以及識別條件的問題。Amemiya指出要識

8、別結(jié)構(gòu)式模型，需要作如下幾點假設(shè)：假設(shè)5：的每個主子式最小值是正的。Amemiya(1979)認為FMLE(完全極大似然法)求解Tobit模型太耗成本而且估計結(jié)果往往是最不可行的。Amemiya提出了求解聯(lián)立方程Tobit模型的一致性估計值的廣義最小二乘法(GLS)方法。作者在文中主要比較了普通最小二乘值、Nelson & Olson(1977)估計值、廣義最小二乘估計值、Heckman估計值等幾種估計值的方法以及估計值的效率的問題。Nelson & Olson(1977)的聯(lián)立方程模型的基本結(jié)構(gòu)如下：當審查或者截斷的兩方程模型含有內(nèi)生變量時，這種模型就具備了一般聯(lián)立方程模型的特征，文中計算估

9、計值以及漸進方差、協(xié)方差很直接，但是漸進方差、協(xié)方差的計算難度隨著方程個數(shù)的增加而增加。對于聯(lián)立方程Tobit模型，先計算簡化式再計算結(jié)構(gòu)式得到的參數(shù)估計值，比間接最小二乘估計法得到的估計值更有效。Lee(1976)主要關(guān)注了受限因變量模型的兩階段估計的問題，論文主要圍繞著兩個問題展開分析：一是尋找一致的初始估計值的問題；另一個問題是尋找估計模型的更簡單一些的估計方法。Lee提出用工具變量法估計模型，用全部樣本代替子樣本估計模型，這個方法在簡單的受限因變量模型中一方面可以獲得好的一致的初始值，計算也比較簡單，但是如果是復(fù)雜模型，該方法的計算量將非常大。包含內(nèi)生變量的迭代模型與非市場均衡模型是轉(zhuǎn)

10、換回歸模型的一種，Lee建議對后四種模型采用兩階段估計法。具有聯(lián)立結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)換回歸模型假定轉(zhuǎn)換取決于潛在條件：可以實現(xiàn)樣本分割。因變量是截斷數(shù)據(jù)的多變量聯(lián)立方程模型的估計方法，與Amemiya(1974)的間接最小二乘估計法不同，對每種類型模型采用兩階段最小二乘法進行估計，計算比較方便，也容易解決模型的過度識別問題，模型的識別條件沿用了Amemiya(1974)中的結(jié)論。Lee將這一方法用于分析工資率的問題，比較了兩階段最小二乘法與間接最小二乘法，發(fā)現(xiàn)用修正后的OLS估計簡化式方程的兩階段最小二乘法得到的估計值，比較恰當?shù)胤从沉烁饔绊懸蛩貙κ芟抟蜃兞康淖饔?。Lee(1978)研究了受限變量模型估

11、計在住房需求中的應(yīng)用問題，這篇文章的主要目的有兩個：一是推薦一個獲得某類受限變量模型的較好的初始估計值的方法，另一個是證明這種模型和估計技術(shù)如何被用于研究住房需求問題。在實證部分，Lee(1978)將需求面的參與主體分成租房者和買房者兩大類，分析中低收入者住房需求問題。政府對公共住房的政策分兩個方面，公共住房及FHA補貼的貸款是對供給面的調(diào)控，住房補貼及轉(zhuǎn)移支付是對需求面調(diào)控。中低收入者住房需求問題的分析要研究的實際上是兩個問題，第一個問題是購買或是租住的選擇問題，第二個問題是支出多少的問題，對這類問題分析的關(guān)鍵在于確定模型是聯(lián)立方程還是非聯(lián)立方程，并選擇恰當?shù)墓烙嫹椒?。Lee(1978)用購

12、房支出量、租房支出量、選擇買房還是租房作為因變量，以家庭支柱者(年齡、種族、性別)、家庭背景(移動、家庭持久收入、家庭規(guī)模)、區(qū)域性變量(城市規(guī)模、距離中心城區(qū)的距離)、房屋的相對價格作為解釋變量。Lee(1978)指出檢驗?zāi)Ｐ褪欠袷锹?lián)立方程的統(tǒng)計量是似然比率Lee(1978)認為在一般情況下，受限因變量使用Heckman兩步法在一般情況下可以得到一致估計量，在這個估計量的基礎(chǔ)上，得到的兩步法極大似然估計(2SML)值是漸進有效的。買方或者租房的問題不同于以往樣本選擇模型，因為要考慮模型是否存在聯(lián)立性的問題。理論證明和實踐結(jié)果都表明，2SML法在標準誤以及解釋波動方面的效果很好，經(jīng)驗結(jié)論與經(jīng)濟

13、理論也很吻合。Lee(1979)介紹了具有離散和連續(xù)內(nèi)生變量的一般聯(lián)立方程的統(tǒng)計模型，這種模型可以被看成是轉(zhuǎn)換聯(lián)立方程模型的新形式，建議使用一些簡單的二階段方法估計模型，并證明了這些估計值的一致性問題。Lee(1979)的聯(lián)立方程不同于Tobin(1958)、Heckman(1974)、Nelson(1976)的受限因變量模型，主要區(qū)別在于Lee(1979)的方程中考慮了選擇方程中含有內(nèi)生變量的情況。模型基本結(jié)構(gòu)為：該系統(tǒng)方程中的誤差項序列相互獨立，具有0均值和協(xié)方差矩陣。2SML得到的估計值是一致的，協(xié)方差矩陣也可通過方程之間的關(guān)系式估計出來。Lee(1999)分析了動態(tài)Tobit模型、具有

14、自回歸條件異方差(ARCH)或者廣義條件異方差(GARCH)的擾動項的Tobit模型在時間序列中的仿真(simulation)估計問題。激勵Lee研究這類問題的經(jīng)濟活動，如政府對商品、金融股票、外幣市場的干預(yù)活動，防止價格跌得低于某個水平，或者漲得高于某個水平，變量的動態(tài)行為也可能受限。對這類模型的估計，Lerman & Manski(1981)建議使用仿真(simulation)極大似然估計(SML)，McFadden(1989)建議使用仿真矩估計法(MSM)，Hajivassiliou & McFadden(1990)建議用仿真得分法(simulation scores)、Gouriero

15、ux & Monfort(1993)建議采用仿真?zhèn)螛O大似然法(pseudo-maximum likelihood)，McFadden(1989)提出了SML估計值(SMLE)。基本模型如下；Lee(1999)詳細介紹了似然仿真法(likelihood simulation)在Tobit ARCH(p)、Tobit GARCH(p，q)及動態(tài)Tobit模型估計中的應(yīng)用，也分析了方差遞減以及在似然仿真中可能出現(xiàn)的數(shù)值下溢的問題，用蒙特卡洛(Mente Carlo)實驗驗證了SL法在這三種估計模型中的效果。似然仿真中的方差遞減技術(shù)可用于具有重建性質(zhì)的模型中，而長時間的序列樣本中可能出現(xiàn)似然仿真中的數(shù)值下溢問題，用公式避免數(shù)值下溢問題。Lee的研究結(jié)果表明，對于動態(tài)自回歸Tobit模型，SMLE方法比Laroque & Salnie(1993)推薦的SPML方法要準確和好得多，用SL方法估計的SML