1、最新資料推薦導數在研究函數中的應用編稿；周尚達審稿：張揚責編：嚴春梅目標認知學習目標：1會從幾何直觀了解函數單調性和導數的關系；能利用導數研究函數的單調性，會求函數的單調區(qū)間（多項式函數一般不超過三次）.2了解函數在某點取得極值的必要條件( 導數在極值點兩端異號) 和充分條件（）；會用導數求函數的極大值、極小值（多項式函數一般不超過三次）.3會求閉區(qū)間上函數的最大值、最小值（多項式函數一般不超過三次）.重點：利用導數判斷函數的單調性；會求一些函數的極值與最值。難點：函數極值與最值的區(qū)別與聯(lián)系.利用導數在解決函數問題時有關字母討論的問題.學習策略：理解導函數的符號與函數單調性之間的必然關系。數形

2、結合，體會函數極值與最值的含義。緊緊抓住導函數為0 的點，討論函數的單調區(qū)間、極值和最值。知識要點梳理知識點一：函數的單調性(一 ) 導數的符號與函數的單調性：一般地，設函數在某個區(qū)間內有導數，則在這個區(qū)間上，若，則在這個區(qū)間上為增函數；若，則在這個區(qū)間上為減函數；若恒有，則在這一區(qū)間上為常函數.反之，若在某區(qū)間上單調遞增，則在該區(qū)間上有恒成立（但不恒等于0）；若在某區(qū)間上單調遞減，則在該區(qū)間上有恒成立（但不恒等于0）注意：1因為導數的幾何意義是曲線切線的斜率，故當在某區(qū)間上，即切線斜率為正時，函數1最新資料推薦在這個區(qū)間上為增函數；當在某區(qū)間上，即切線斜率為負時，函數在這個區(qū)間上為減函數；即

3、導函數的正負決定了原函數的增減。2若在某區(qū)間上有有限個點使，在其余點恒有，則仍為增函數（減函數的情形完全類似）。即在某區(qū)間上，在這個區(qū)間上為增函數；在這個區(qū)間上為減函數，但反之不成立。在某區(qū)間上為增函數在該區(qū)間；在某區(qū)間上為減函數在該區(qū)間。在區(qū)間(a,b)內，（或）是在區(qū)間 (a，b)內單調遞增（或減）的充分不必要條件！例如：而 f(x) 在 R 上遞增 .3只有在某區(qū)間內恒有，這個函數在這個區(qū)間上才為常數函數.4注意導函數圖象與原函數圖象間關系.（二）利用導數求函數單調性的基本步驟：1.確定函數的定義域；2.求導數；3.在定義域內解不等式，解出相應的 x 的范圍；當時，在相應區(qū)間上為增函數；

4、當時在相應區(qū)間上為減函數.或者令，求出它在定義域內的一切實數根。把這些實數根和函數的間斷點（即的無定義點）的橫坐標按從小到大的順序排列起來，然后用這些點把函數的定義2最新資料推薦區(qū)間分成若干個小區(qū)間，判斷在各個小區(qū)間內的符號。4. 寫出的單調區(qū)間 .注意：1求函數單調區(qū)間時，要注意單調區(qū)間一定是函數定義域的子集。2求單調區(qū)間常常通過列表的方法進行求解，使解題思路步驟更加清晰、明確。知識點二：函數的極值（一）函數的極值的定義一般地，設函數在點及其附近有定義，（ 1）若對于附近的所有點， 都有，則是函數的一個極大值，記作；（ 2）若對附近的所有點，都有，則是函數的一個極小值，記作.極大值與極小值統(tǒng)

5、稱極值.在定義中，取得極值的點稱為極值點，極值點是自變量的值，極值指的是函數值.注意： 由函數的極值定義可知：（ 1）在函數的極值定義中，一定要明確函數y=f(x) 在 x=x0 及其附近有定義，否則無從比較 .（ 2）函數的極值是就函數在某一點附近的小區(qū)間而言的，是一個局部概念；在函數的整個定義域內可能有多個極值，也可能無極值 .由定義，極值只是某個點的函數值與它附近點的函數值比較是最大或最小，并不意味著它在函數的整個的定義域內最大或最小.（3）極大值與極小值之間無確定的大小關系.即一個函數的極大值未必大于極小值.極小值不一定是整個定義區(qū)間上的最小值.（ 4）函數的極值點一定出現在區(qū)間的內部

6、，區(qū)間的端點不能成為極值點.而使函數取得最大值、最小值的點可能在區(qū)間的內部，也可能在區(qū)間的端點.（二）求函數極值的的基本步驟：確定函數的定義域；求導數；求方程的根；3最新資料推薦檢查在方程根左右的值的符號，如果左正右負， 則 f(x) 在這個根處取得極大值；如果左負右正，則 f(x) 在這個根處取得極小值.(最好通過列表法)注意：可導函數的極值點一定是導函數為0 的點，但導數為0 的點不一定是極值點.即是可導函數在點取得極值的必要非充分條件.例如函數y=x 3，在 x=0 處，但x=0 不是函數的極值點 .可導函數在點取得極值的充要條件是且在兩側，的符號相異。知識點三：函數的最值（一）函數的最

7、大值與最小值定理若函數在閉區(qū)間上連續(xù)，則在上必有最大值和最小值；在開區(qū)間內連續(xù)的函數不一定有最大值與最小值.如.注意：函數的最值點必在函數的極值點或者區(qū)間的端點處取得。函數的極值可以有多個，但最值只有一個。（二）求函數最值的的基本步驟：若函數在閉區(qū)間有定義， 在開區(qū)間內有導數， 則求函數在上的最大值和最小值的步驟如下：（ 1）求函數在內的導數；（ 2）求方程在內的根；（3）求在內使的所有點的函數值和在閉區(qū)間端點處的函數值，；（ 4）比較上面所求的值，其中最大者為函數在閉區(qū)間上的最大值，最小者為函數在閉區(qū)間上的最小值 .4最新資料推薦注意：求函數的最值時，不需要對導數為 0 的點討論其是極大還是

8、極小值，只需將導數為 0 的點和端點的函數值進行比較即可。若在開區(qū)間內可導，且有唯一的極大（?。┲?，則這一極大（?。┲导礊樽畲螅ㄐ。┲?.（三）最值理論的應用解決有關函數最值的實際問題，導數的理論是有力的工具，基本解題思路為：（ 1）認知、立式：分析、認知實際問題中各個變量之間的聯(lián)系，引入變量，建立適當的函數關系；（ 2）探求最值：立足函數的定義域，探求函數的最值；（ 3）檢驗、作答：利用實際意義檢查（ 2）的結果，并回答所提出的問題，特殊地，如果所得函數在區(qū)間內只有一個點滿足，并且在點處有極大（?。┲担o實際問題又必有最大（小）值，那么上述極大（小）值便是最大（?。┲?規(guī)律方法指導1利用

9、導數討論函數的單調區(qū)間應注意的問題利用導數討論函數的單調區(qū)間， 首先要確定函數的定義域 D ，并且解決問題的過程中始終立足于定義域 D. 若由不等式確定的 x 的取值集合為A，由確定的 x 的取值范圍為 B ，則應有.如.在區(qū)間 (a,b)內，（或）是在區(qū)間 (a， b)內單調遞增（或減）的充分不必要條件！即在某區(qū)間上，在這個區(qū)間上為增函數；在這個區(qū)間上為減函數，但反之不成立。在某區(qū)間上為增函數在該區(qū)間；在某區(qū)間上為減函數在該區(qū)間。5最新資料推薦2最值與極值的區(qū)別與聯(lián)系函數的最大值和最小值是比較整個定義域上的函數值得出的（具有絕對性），是整個定義域上的整體性概念。最大值是函數在整個定義域上所有

10、函數值中的最大值；最小值是函數在整個定義域上所有函數值中的最小值.函數的極大值與極小值是比較極值點附近兩側的函數值而得出的（具有相對性） ，是局部的概念；極值可以有多個，最大 (小 )值若存在只有一個；極值只能在區(qū)間內取得，不能在區(qū)間端點取得；最大（?。┲悼赡苁悄硞€極大（?。┲担部赡苁菂^(qū)間端點處的函數值；有極值的函數不一定有最值，有最值的函數未必有極值，極值可能成為最值.經典例題透析類型一：利用導數解決函數的單調性問題1設函數的圖象與直線相切于點（ 1，11） .（ 1）求 a， b 的值；（ 2）討論函數的單調性 .思路點撥： 先求函數的表達式，再利用導數確定函數的單調區(qū)間.解析：（ 1）

11、的圖象與直線相切于點（ 1， 11） .，即解之得 a=1， b= 3.（ 2）由（ 1），得.令，解得 x 3 或 x 1.令，解得 1 x3.當 x（， 1）和 x（ 3， +）時，是增函數 .當 x（ 1， 3）時，是減函數 .總結升華： 利用導數求函數單調區(qū)間的基本步驟：6最新資料推薦 確定函數的定義域；求導數；在定義域內解不等式，解出相應的x 的范圍；當時，在相應區(qū)間上為增函數；當時在相應區(qū)間上為減函數.寫出的單調區(qū)間 .舉一反三：【變式 1】求函數的單調遞增區(qū)間.【答案】令，解得：或，故函數的單調遞增區(qū)間是，.【變式 2】當時，求證：函數是單調遞減函數.【答案】，故函數在上是單調遞

12、減函數.【變式 3】在下列所給區(qū)間中，使函數是增函數的區(qū)間為（） .AB CD【答案】 B ；7最新資料推薦解析：，若在某區(qū)間是增函數，只需在此區(qū)間大于等于0 （不恒等于0）即可 .只有當時恒成立 .只有 B 符合題意，2已知 a R，求函數的單調區(qū)間 .思路點撥： 已知函數解析式中含字母，需分類討論.解析：.（ 1）當 a=0 時，若 x 0，則；若 x 0，則.所以，當a=0 時，函數在區(qū)間（， 0）內為減函數，在區(qū)間（0， +）內為增函數.（ 2）當 a 0 時，由 2x+ax 2 0，解得或 x 0；由 2x+ax 2 0，解得.所以，當a0 時，函數在區(qū)間內為增函數，在區(qū)間內為減函數

13、，在區(qū)間（0， +）內為增函數.（ 3）當 a 0 時，由 2x+ax 2 0，解得；由 2x+ax 2 0，解得 x 0 或.所以，當a0 時，函數在區(qū)間（，0）內為減函數，在區(qū)間內為增函數，在區(qū)間內為減函數 .8最新資料推薦舉一反三：【變式 1】設恰有三個單調區(qū)間，試確定a 的取值范圍，并求其單調區(qū)間 .【答案】（ 1）當時，則恒成立，此時 f(x) 在 R 上為單調函數，只有一個單調區(qū)間為，不合題意；（ 2）當時，當時，函數有三個單調區(qū)間，增區(qū)間為：；減區(qū)間為：，.【變式 2】已知 f(x)=x2+1, g(x)=x 4+2x2+2 且 F(x)=g(x)-lf(x),試問：是否存在實數

14、l ，使 F(x) 在 (- ,-1) 上是減函數，且在 (-1,0) 上是增函數 .【答案】 假設存在實數 l 滿足題設 .F(x)=g(x)-lf(x)=(x4+2x2+2)-l(x2+1)=x 4-(l-2)x2+(2-l),F (x)=4x 3-2(l-2)x,令 4x3-2(l-2)x=0,（ 1）若 l 2，則 x=0.當 x (- ,0) 時， F (x) 0；當 x (0,+ ) 時， F (x) 0. F(x) 在(- ,0) 上單調遞減， 在(0,+ ) 上單調遞增，顯然不符合題設.（ 2）若 l 2，則 x=0 或，9最新資料推薦當時， F (x) 0；當時，F (x)

15、0；當時， F (x) 0；當時， F(x) 0. F(x) 的單調增區(qū)間是，單調減區(qū)間是，.要使 F(x) 在 (- ,-1) 上是減函數，且在(-1,0)上是增函數，則，即 l=4.故存在實數l=4 ，使 F(x) 在 (- ,-1)上是減函數， 且在 (-1,0)上是增函數 .類型二：利用導數解決函數的極值問題3求函數的極值 .解析：令，解得，或當 x 變化時，與的變化情況如下表：3(3 ， + )+00+極大值極小值在處取得極大值，在處取得極小值.總結升華： 利用導數求函數極值的的基本步驟：確定函數的定義域；10最新資料推薦求導數；求方程的根；列表，檢查在方程根左右的值的符號，如果左正

16、右負，則f(x) 在這個根處取得極大值；如果左負右正，則f(x)在這個根處取得極小值.舉一反三：【變式 1】函數的定義域為區(qū)間（a， b），導函數在（ a， b）內的圖如圖所示，則函數在（ a， b）內的極小值有（）A 1 個B 2 個C 3 個D 4 個【答案】 由極小值的定義，只有點B 是函數的極小值點，故選A?！咀兪?2】求函數的極值 .【答案】令，解得或當 x 變化時，與的變化情況如下表：1(1 ， + )+00+極大值極小值在處取得極大值，在處取得極小值.11最新資料推薦4.已知函數在處取得極值，求函數以及的極大值和極小值.思路點撥：先求函數的表達式，再求極值.解析：依題意，即，令，

17、得 x=-1 或 x=1，當 x 變化時，與的變化情況如下表：1(1 ， + )+00+極大值極小值在處取得極大值，在處取得極小值.總結升華： 利用“在處取得極值，則必有導數”是本題的破題關鍵.舉一反三：【變式 1】已知函數f(x)=x3+ax2+bx+a2在 x=1 處有極值 10，求 a,b 的值 .【答案】依題意得方程組解得.當 a=-3,b=3 時，令得 x=1.12最新資料推薦x(- ,1)1(1,+)+0+無極值顯然 a=-3, b=3不合題意，舍去 .當 a=4, b=-112時， f (x)=3x+8x-11=(x-1)(3x+11)令得或 x=1.x1（ 1，+）+0-0+極

18、大值極小值f(x)在 x=1 處有極小值10，合題意， a=4, b=-11.【變式 2】已知函數，當且僅當時，取得極值，并且極大值比極小值大4.（ 1）求常數的值；（ 2）求的極值 .【答案】，令得方程在處取得極值或為上述方程的根，即當時，（不符合題意）當時，當 x 變化時，與的變化情況如下表：1(1 ， +)13最新資料推薦+00+極大值極小值在處取得極大值，在處取得極小值.由題意得， 整理得，又聯(lián)立，解得，由表知道：，當時，當 x 變化時，與的變化情況如下表：當 x 變化時，與的變化情況如下表：1(1 ， + )-0+0-極小值極大值在處取得極小值，在處取得極大值.由題意得， 整理得，又

19、聯(lián)立，解得，綜上可得：（），或，（）當，時，當，時，【變式 3】已知函數，其中 a R.14最新資料推薦（ 1）當 a=1 時，求曲線在點處的切線方程；（ 2）當 a 0 時，求函數的單調區(qū)間與極值.【答案】（ 1）當 a=1 時，又，.所以，曲線在點處的切線方程為，即 6x+25y 32=0.（ 2）.由于 a 0，令，得到 x1=a，以下分兩種情況討論.當 a 0 時，當 x 變化時，的變化情況如下表：x（， a）a00極大值極小值所以在區(qū)間（， a），內為增函數，在區(qū)間內為減函數 .函數在處取得極小值且.函數在 x=a 處取得極大值，且.當 a 0 時，當 x 變化時，的變化情況如下表：

20、15最新資料推薦x）00極小值極大值所以在區(qū)間，內為減函數，在區(qū)間內為增函數 .函數在處取得極小值且.函數在 x=a 處取得極大值，且.類型三：利用導數解決函數的最值問題5求函數在 0 ， 2 上的最大值和最小值.解析：，令，化簡為x2+x 2=0.解得 x= 2（舍去）或x=1.，又因為，所以為函數在 0 ， 2 上的最小值，為函數在 0 ，2 上的最大值 .總結升華：函數在閉區(qū)間上連續(xù)，則在上必有最大值和最小值，且最值一定在極值16最新資料推薦點或端點處取得，因此，利用導數求函數在閉區(qū)間最值的一般步驟可簡化為：（ 1）求；（ 2）令，解出在上的點，求出其相應的函數值；（ 3）求兩個區(qū)間端點

21、所對應的函數值；（4）比較這些函數值的大小，最大的是函數的最大值，最小的是函數的最小值 .若在開區(qū)間內可導，且有唯一的極大（?。┲担瑒t這一極大（?。┲导礊樽畲螅ㄐ。┲?.舉一反三：【變式 1】求函數 f(x)=3x-x3 在閉區(qū)間的最大值和最小值 .【答案】 f (x)=3-3x2, 令 f (x)=0,則 x=-1或 x=1.又 f(-1)=-2, f(1)=2, f(x)=2, f(x)min=-18.max【變式 2】 f(x)=x3-3x 2+2 在區(qū)間 -1,1上的最大值是（）(A)-2(B)0(C)2(D)4【答案】 f (x)=3x 2-6x=3x(x-2)又 f(-1)=-2

22、；f(1)=0所以當 x 0 時， f(x)，令 f (x)=0可得 x 0 或 2（ 2 舍去）。；f(0)=2；取得最大值為2，選 C【變式 3】設函數求的最小值 ;【答案】 函數 f （x）的定義域為（0， 1）令17最新資料推薦當時，,在區(qū)間是減函數；當時，,在區(qū)間是增函數 .在時取得最小值且最小值為類型四：導數在研究函數中的應用6設函數 f(x)=ax3+bx+c(a 0) 為奇函數， 其圖象在點 (1 ，f(1)處的切線與直線x-6y-7=0垂直，導函數的最小值為 -12( ) 求 a,b,c的值；( ) 求函數 f(x) 的單調遞增區(qū)間，并求函數f(x)在 -1,3上的最大值和最

23、小值.解析：( ) f(x)為奇函數，f(-x)=-f(x)即 -ax 3-bx+c=-ax 3-bx-c ， c=0的最小值為 -12 ， b=-12 且又直線 x-6y-7=0的斜率為因此， a=2,a=2,b=-12,c=0( )f(x)=2x3-12x ，列表如下：x+0-0+極大極小所以函數f(x) 的單調增區(qū)間是f(-1)=10， f(3)=18f(x)在 -1,3上的最大值是f(3)=18 ，最小值是18最新資料推薦舉一反三：【變式 1】已知，函數在 -1 ， 1 上有最大值1，最小值，求常數a,b 的值 .【答案】 f (x)=3x 2-3ax=3x(x-a).令 f (x)=

24、0 得 x=0 或 x=a.x-1(-1,0)0(0,a)a(a,1)1+0-0+極小值極大值 b函數 f(x)最大值只可能在x=0 或 x=1 處獲得。由， ， f(0)-f(1) 0, 即 f(0)=b 是 f(x) 最大值 b=1函數 f(x)最小值只可能在x=-1 或 x=a 處獲得 .， a-2 0, a(a+2)+1 0. f(a)-f(-1) 0，即是最小值，19最新資料推薦綜上， b=1.【變式 2】已知是二次函數，不等式的解集是且在區(qū)間上的最大值是12。（ I ）求的解析式；（ II ）是否存在實數使得方程在區(qū)間內有且只有兩個不等的實數根？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說

25、明理由。解析：（ I ）是二次函數，且的解集是可設在區(qū)間上的最大值是由已知，得（ II ）方程等價于方程設則當時，是減函數；當時，是增函數。方程在區(qū)間內分別有惟一實數根，而在區(qū)間內沒有實數根，20最新資料推薦所以存在惟一的自然數使得方程在區(qū)間內有且只有兩個不同的實數根。7設函數 f(x) (x 1)ln(x 1) ，若對所有的x 0，都有 f(x) ax 成立，求實數 a 的取值范圍解法一： 令 g(x) (x 1)ln(x 1) ax，對函數 g(x) 求導數： g(x) ln(x 1) 1 a令 g(x) 0，解得 xea 1 1，(i) 當 a 1 時，對所有 x 0，g (x) 0，所

26、以 g(x) 在 0 ， ) 上是增函數，又 g(0) 0，所以對 x 0，都有 g(x) g(0) ，即當 a 1 時，對于所有x 0，都有 f(x)ax(ii)當 a 1 時，對于 0x ea1 1， g(x) 0，所以 g(x) 在 (0 ， ea 1 1)是減函數，又 g(0) 0，所以對 0 x ea 11，都有 g(x) g(0) ，即當 a 1 時，對所有的 x 0，都有 f(x) ax 成立綜上， a 的取值范圍是（， 1 解法二： 令 g(x) (x 1)ln(x 1) ax，于是不等式 f(x) ax 成立即為 g(x) g(0) 成立對函數 g(x) 求導數： g(x) ln(x 1) 1 a令 g(x) 0，解得 xea 1 1，當 x e a 1 1 時， g(x) 0，g(x) 為增函數，當 1 x ea1 1， g(x) 0，g(x) 為減函數，所以要對所有 x0 都有 g(x) g(0) 充要條件為 ea 1 1 0由此得 a 1，即 a 的取值范圍是（，1 舉一反三：【變式 1】已知函數f(x)=ax3+x2+1，若 f(x)在（ 0， 1）上是增函數，求實數a 的取值范圍 .【答案】 f (x)=3ax 2+2x， f(x) 在（ 0，1）上是增函數， x（ 0，