1、微專題5求數列通項的方法與技巧2021新亮劍高考總復習第六章微專題 5 求數列通項的方法與技巧求數列的通項公式是數列的核心內容之一,有了通項公式便可求出數列的任意一 項以及前 n 項和,因此,求數列的通項公式往往是解題的突破口、關鍵點.下面我們一起探究求數列通項公式的方法.1. 已知前 n 項和 Sn,利用 an=Sn-Sn-1(n2)求通項已知前 n 項和求通項公式,解題時要特別注意三點:第一,要分類討論,分 n=1 和n2 兩種情形;第二,要掌握 an=Sn-Sn-1(n2)這一重要關系,否則無法解決此類問題;第三,要注意檢驗 n=1 是否滿足當 n2 時,an的通項公式.2例 1已知數列

2、an的前 n 項和 Sn=n2+2n+3,求 an.解析當 n=1 時,a1=S1=6,當 n2 時,an=Sn-Sn-1=2n+1.a =63,a =6, = 1, 1n2 + 1, 2.解析 探究若數列an是正項數列,且 1 + 2+ =n2+3n(nN*),則4an=4(n+1)2 .解析因為數列an是正項數列,且 1 + 2+ =n2+3n(nN*),所以當 n2 時, 1 + 2+ -1=(n-1)2+3(n-1)(nN*),兩式相減得 =2n+2,所以 an=4(n+1)2(n2).又 1 =4,a1=16,所以 a1 適合上式,所以 an=4(n+1)2.答案解析微點評：已知 S

3、n 求 an 的三個步驟:(1)先利用 a1=S1 求出 a1.(2)用 n-1 替換 Sn 中的 n 得到一個新的關系,利用 an=Sn-Sn-1(n2)便可求出當 n2 時 an 的表達式.(3)對 a1 進行檢驗,看是否符合當 n2 時 an 的表達式,若符合,則可以把數列的通項公式合寫;若不符合,則應該分 n=1 與 n2 兩段來寫. 【微點練】1. 已知 Sn 為數列an的前 n 項和,且 log2(Sn+1)=n+1,求 an.解析由 log2(Sn+1)=n+1,得 Sn+1=2n+1.當 n=1 時,a1=S1=3;當 n2 時,an=Sn-Sn-1=2n. 因為 a1=32,

4、 ,.所以數列an的通項公式為 an= 3, = 1,2 2解析-2(2-1), = 3-2 或 = 3-1,*, 2.若數列an滿足 a1cos 2+a2cos 4+ancos 2=n2,則 an= 2-1, = 3,*.333解析由 a cos 2=1,解得 a =-2.由 a cos 2+a cos 4+a cos 2=n2,1311323n3得當 n2 時,acos 2+a cos 4+acos2(-1)=(n-1)2,1323n-13兩式相減得 ancos 2=2n-1(n2).3所以當 n=3k-2 或 n=3k-1,kN*時,an=-2(2n-1);答案解析當 n=3k,kN*時

5、,an=2n-1.綜上所述,an= -2(2-1), = 3-2 或 = 3-1,*, 2-1, = 3,*.2. 構造法求通項例 2已知數列an的前 n 項和為 Sn,且 a1=2,an+1+2n=2Sn+2,求 an.解析an+1+2n=2Sn+2,當 n2 時,an+2(n-1)=2Sn-1+2,兩式相減得an+1-an+2=2an,即 3an=an+1+2,an+1-1=3(an-1)(n2),又 a2=2S1+2-21=4,滿足2 -1=3,數列an-1是以 1 為首項,3 為公比的等比數列,an-1=3n-1,即1 -1an=3n-1+1.解析微點評：對形如 an=kan-1+m(

6、k1)形式的遞推關系,常構造成na + -1=k -1+-1 的形式,轉化為等比數列間接求通項. 【微點練】1. 已知數列an滿足 a1=1,an+1=2an+3,求 an.解析設遞推公式 an+1=2an+3 可以轉化為 an+1-t=2(an-t),則 an+1=2an-t,解得 t=-3.故 an+1+3=2(an+3),令 bn=an+3,則 b1=a1+3=4,且 +1 = +1 +3=2, +3所以bn是以 4 為首項,2 為公比的等比數列,則 bn=42n-1=2n+1,所以 an=2n+1-3.9解析2. 已知數列an滿足 a1=1,3an+1+an-7=0,求數列an的通項公

7、式.解析由 3an+1+an-7=0 得 an+1=-1an+7,設 an+1+k=-1(an+k),比較333系數得-k-=7,解得 k=-7. - 7 是以 a1-7=1-7=-3為首項,-1為公比10解析33444443的等比數列,an-7=-3 - 1 -1, 即 a =7-3 - 1-1 .n4434 433. 累加法求通項對形如 an+1=an+f(n)的遞推關系,可用累加法求通項.例 3在數列an中,已知 a1=-2,an=an-1+2n-1(n2,且 nN*),求數列an的通項公式.解析a1=-2,a2-a1=3,a3-a2=5,an-an-1=2n-1,當 n2 時,an=(

8、a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1)+a1=-2+(3+5+2n-1)=-3+(1+3+5+2n-1)=n2-3.a1=-2 滿足上式,an=n2-3.解析微點評：合理利用數列的遞推公式,選用累加法求解是解答的關鍵. 11【微點練】已知數列an滿足 a1=1,若1- 1 =4n(nN*),則數列an的通項 an=314 -. +1解析因為 1- 1 =4n, +1所以當 n2 時, 1 = 1-1 +1-1+ 1- 1 + 1 -1 -1 -2211=4n-1+4n-2+4+1=1-4 =4 -1.1-43因為 a1也滿足上式,所以數列an的通項為 an= 3.4 -1答案解析4.

9、 累乘法求通項對形如 an+1=f(n)an 的遞推關系,可用累乘法求通項.例 4已知數列an的前 n 項和為 Sn,首項 a1=1,且滿足 3Sn=(n+2)an,則( + 1)an=2.解析當 n2 時,3Sn-1=(n+1)an-1,所以 3an=(n+2)an-(n+1)an-1,所以 -1=+1,-1所以當 n2 時,a= -1 -22 a=+1 -131 =(+1),n -1 -2 -311-1-2-312因為 a1 也滿足 an=(+1),所以 an=(+1)(nN*).22答案解析微點評：已知 a1 且 an+1=f(n)an,可用累乘法求 an. 【微點練】1.已知數列an滿足 a1=2,an+1=an,求 an.14解析3+1解析由題意知 +1 = ,+1當 n2 時,2 3 4 =123-1, =1,123 -12341a1=2,an= 2 (n2).33經檢驗,a1 滿足上式,an= 2 (nN*).32.已知數列an滿足 a2=6, +1 -=n(nN*),求數列an的通項公式.解析a2=6