1、2011年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)說明：評(píng)閱試卷時(shí)，請(qǐng)依據(jù)本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn).第一試，選擇題和填空題只設(shè)7分和0分兩檔；第二試各題，請(qǐng)按照本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的評(píng)分檔次給分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步驟正確，在評(píng)卷時(shí)請(qǐng)參照本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)劃分的檔次，給予相應(yīng)的分?jǐn)?shù).第一試一、選擇題：（本題滿分42分，每小題7分）1已知，則的值為 （ ）A1. B. C. D.【答】B.由可得，即，即，即，所以2已知的兩條高線的長(zhǎng)分別為5和20,若第三條高線的長(zhǎng)也是整數(shù)，則第三條高線長(zhǎng)的最大值為 （ ）A5. B6. C7. D8.【答】B.設(shè)的面積為S，所求的第三條高線的長(zhǎng)為h，則三邊長(zhǎng)分

2、別為顯然，于是由三邊關(guān)系，得 解得所以的最大整數(shù)值為6,即第三條高線的長(zhǎng)的最大值為6.3方程的解的個(gè)數(shù)為 （ ）A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)【答】C.當(dāng)時(shí)，方程為，即，解得，均滿足當(dāng)時(shí)，方程為，即，解得，滿足2011年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 第1頁（共8頁）綜上，原方程有3個(gè)解.4今有長(zhǎng)度分別為1，2，9的線段各一條，現(xiàn)從中選出若干條線段組成“線段組”，由這一組線段恰好可以拼接成一個(gè)正方形，則這樣的“線段組”的組數(shù)有 （ ）A5組. B7組. C9組. D11組.【答】C.顯然用這些線段去拼接成正方形，至少要7條當(dāng)用7條線段去拼接成正方形時(shí)，有3條邊每邊都用2條線段連接，

3、而另一條邊只用1條線段，其長(zhǎng)度恰好等于其它3條邊中每?jī)蓷l線段的長(zhǎng)度之和當(dāng)用8條線段去拼接成正方形時(shí)，則每邊用兩條線段相接，其長(zhǎng)度和相等又因?yàn)?，所以正方形的邊長(zhǎng)不大于由于； ； ； ； 所以，組成邊長(zhǎng)為7、8、10、11的正方形，各有一種方法；組成邊長(zhǎng)為9的正方形，有5種方法。故滿足條件的“線段組”的組數(shù)為14595如圖，菱形ABCD中，則（ ）A. B. C. D.【答】 D.過F作AB的垂線，垂足為H，又，從而FHE是等腰直角三角形，所以HEFH， 6已知，則的值為 （ ）A1. B. C2. D.【答】C.由已知等式得，所以于是，所以 ，即。代入，得，解得2011年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題

4、參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 第2頁（共8頁）所以 二、填空題：（本題滿分28分，每小題7分）1在ABC中，已知，則 【答】 。延長(zhǎng)AB到D，使BDBC，連線段CD，則，所以CACD。作于點(diǎn)E，則E為AD的中點(diǎn)，故，.在RtBCE中，所以，故 2二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為D，與x軸正方向從左至右依次交于A，B兩點(diǎn)，與y軸正方向交于C點(diǎn)，若ABD和OBC均為等腰直角三角形（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則 【答】 2由已知，得，過D作于點(diǎn)E，則，即，得，所以或又，所以又，即，得3能使是完全平方數(shù)的正整數(shù)n的值為 【答】 11.當(dāng)時(shí)，若它是完全平方數(shù)，則n必為偶數(shù)若，則；若，則；若，則；若，則。所以，當(dāng)時(shí)，都不是完全平方數(shù)當(dāng)

5、時(shí)，若它是完全平方數(shù)，則為一奇數(shù)的平方。設(shè)（k為自然數(shù)），則由于和一奇一偶，所以，于是，故2011年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 第3頁（共8頁）4如圖，已知AB是O的直徑，弦CD與AB交于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作圓的切線與CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，如果，D為EF的中點(diǎn)，則AB 【答】 24. 設(shè)，則連AD，BC因?yàn)锳B為O的直徑，AF為O的切線，所以又因?yàn)镈為RtAEF的斜邊EF的中點(diǎn)， ， ， ， 在RtAEF中，由勾股定理得 ，即 設(shè)，由相交弦定理得 ，即， 又 ， 又， ，從而在RtACB中，由勾股定理得 ，即， 聯(lián)立，解得所以第二試 （A）一、（本題滿分20分）已知三個(gè)不同的實(shí)數(shù)滿足

6、，方程和有一個(gè)相同的實(shí)根，方程和也有一個(gè)相同的實(shí)根求的值解 依次將題設(shè)中所給的四個(gè)方程編號(hào)為，設(shè)是方程和方程的一個(gè)相同的實(shí)根，則 兩式相減，可解得5分設(shè)是方程和方程的一個(gè)相同的實(shí)根，則兩式相減，可解得。2011年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 第4頁（共8頁）所以 10分又方程的兩根之積等于1，于是也是方程的根，則。又 ，兩式相減，得 15分若，則方程無實(shí)根，所以，故于是 又，解得 20分二（本題滿分25分）如圖，在四邊形ABCD中，已知，對(duì)角線交于點(diǎn)，且，為的中點(diǎn)求證：（1）；（2）證明 （1）由已知得 ，從而四點(diǎn)共圓，為直徑，為該圓的圓心 5分作于點(diǎn)，知為的中點(diǎn)，所以，從而 1

7、0分（2）作于點(diǎn)，則又， ， 15分 RtRt， ，又，所以，故，所以 25分三（本題滿分25分）已知為正整數(shù)，設(shè)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)若，且（1）證明：；（2）求圖象經(jīng)過三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式解 （1）因?yàn)椋?，即由，?分又2011年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 第5頁（共8頁），從而有，即 10分（2）由，知是關(guān)于x的一元二次方程 的兩個(gè)不相等的正整數(shù)根，從而，解得。又為正整數(shù)，故或 15分當(dāng)時(shí)，方程為，沒有整數(shù)解當(dāng)時(shí)，方程為，兩根為綜合知： 20分設(shè)圖象經(jīng)過三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入得 ，解得所以，圖象經(jīng)過三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式為25分第二試 （B）一（本題滿分2

8、0分）題目和解答與（A）卷第一題相同. 二（本題滿分25分）如圖，在四邊形ABCD中，已知，對(duì)角線交于點(diǎn)，且求證：證明 由已知得 ，從而四點(diǎn)共圓，為直徑設(shè)為AC的中點(diǎn)，則為四邊形ABCD的外接圓的圓心5分作于點(diǎn)，則M為BD的中點(diǎn),所以，從而 10分作于點(diǎn)，則又， ， 15分 RtRt，又，所以，所以，所以2011年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 第6頁（共8頁）25分三（本題滿分25分）已知為正整數(shù)，設(shè)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)若，且）求圖象經(jīng)過三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式解 因?yàn)?，所?，即由，得5分又，從而有，即 10分又，故是關(guān)于x的一元二次方程 的兩個(gè)不相等的正整數(shù)根，從而，解得。又為正整數(shù)，故或 15分當(dāng)時(shí)，方程為，沒有整數(shù)解當(dāng)時(shí)，方程為，兩根為綜合知： 20分設(shè)圖象經(jīng)過三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入得 ，解得所以，圖象經(jīng)過三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式為 25分第二試 （C）一（本題滿分20分）題目和解答與（A）卷第一題相同. 二（本題滿分25分）如圖，已知為銳角內(nèi)一點(diǎn)，過分別作的垂線，垂足分別為，為的平分線，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)如果，求證：是的平分線2011年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 第7頁（共8頁）證明 如圖1，作于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)設(shè)，