1、平面幾何知識(shí)要點(diǎn)（一）【線段、角、直線】1. 過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線。2. 兩點(diǎn)之間線段最短。3. 過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線垂直。4. 直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂直線段最短。 垂直平分線，簡(jiǎn)稱“中垂線”。定義：經(jīng)過(guò)某一條線段的中點(diǎn)，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（中垂線）。 線段的垂直平分線可看作和線段兩端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合。 中垂線性質(zhì)：垂直平分線垂直且平分其所在線段。 垂直平分線定理: 垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等。逆定理：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。.三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，該點(diǎn)叫

2、外心，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。角1. 同角或等角的余角相等。2. 同角或等角的補(bǔ)角相等。3. 對(duì)頂角相等。 角的平分線性質(zhì) 角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點(diǎn)的集合定理1：角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。 定理2： 到一個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上。三角形各內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，該點(diǎn)叫內(nèi)心，它到三角形三邊距離相等。 【平行線】 平行線性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等。平行線性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。平行線性質(zhì)3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。平行線判定1：同位角相等，兩直線平行。平行線判定2：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行。平行線判定3：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。平行線

3、判定4：如果兩條直線都和第三條直線平行，這兩條直線也互相平行。平行公理：經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行。平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。 推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。平面幾何知識(shí)要點(diǎn)（二）【三角形】面積公式：1 已知三角形底a，高h(yuǎn)， 2 正三角形面積 S= (a為邊長(zhǎng)正三角形)3已知三角形三邊a,b,c，則 （海倫公式）其中： （周長(zhǎng)的一半）4已知三角形兩邊a，b及這兩邊夾角C，則。 5設(shè)三角形三邊分別為a、b、c，內(nèi)切圓半徑為r，則 6設(shè)三角形三邊分別為a、b、c，外接圓半徑為R，則記住

4、：已知正三角形邊長(zhǎng)為，其外接圓半徑為，內(nèi)切圓半徑為，則有： ， ， 內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180推論1 ：直角三角形的兩個(gè)銳角互余 推論2 ：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和 推論3 ：三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角全等三角形性質(zhì)：如果兩三角形全等，那么其對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角相等。其中對(duì)應(yīng)邊除了三角形的邊長(zhǎng)外，還包括對(duì)應(yīng)高，對(duì)應(yīng)中線，對(duì)角平分線。全等三角形判定定理： 邊邊邊公理：有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。（SSS）邊角邊公理：有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。（SAS）角邊角公理：有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。（ASA） 推論：有兩

5、角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。斜邊、直角邊公理：有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等。相似三角形性質(zhì)定理性質(zhì)定理1：相似三角形對(duì)應(yīng)高的比，對(duì)應(yīng)中線的比與對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比。性質(zhì)定理2：相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比。性質(zhì)定理3：相似三角形面積的比等于相似比的平方。相似三角形判定定理判定定理1：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似（ASA） 判定定理2：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似（SAS） 判定定理3 三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似（SSS）定理：如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似。定理：平

6、行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半。梯形中位線定理： 梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半 。平行線等分線段定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等 推論1：經(jīng)過(guò)梯形一腰的中點(diǎn)與底平行的直線，必平分另一腰 。 推論2：經(jīng)過(guò)三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線，必平分第三邊。定理：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊等腰三角形的性質(zhì)定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等。 推論1：等腰三

7、角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊 。 推論2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和高互相重合。（三線合一） 推論3：等邊三角形的各角都相等，并且每一個(gè)角都等于60 等腰三角形的判定定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（等角對(duì)等邊） 推論1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形 推論2：有一個(gè)角等于60的等腰三角形是等邊三角形直角三角形1勾股定理：直角三角形兩直角邊a、b的平方和、等于斜邊c的平方（） 逆命題：如果三角形的三邊長(zhǎng)有關(guān)系，那么這個(gè)三角形是直角三角形。勾股定理的逆定理可以判斷一個(gè)三角形為銳角或鈍角的一個(gè)簡(jiǎn)單的方法，其中c為最長(zhǎng)邊: 如果：，則ABC是直角三

8、角形； 如果，則ABC是銳角三角形；如果，則ABC是鈍角三角形。2直角三角形斜邊中線定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊長(zhǎng)的一半。逆命題：如果一個(gè)三角形一條邊的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形，且這條邊為直角三角形的斜邊。 3.在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，由此性質(zhì)可推出：含30的直角三角形三邊之比為1：2。 4.直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似。5.直角三角形的內(nèi)切圓半徑等于兩直角邊之和減去斜邊的差的一半，abcor即 也等于 ABCDabch6. 射影定理： 如果ABC是直角三角形,C=90，CDAB，則 如果

9、ABC，CDAB，則:ADCCDB對(duì)一般三角形的拓展：如圖，如果ADCACB，則： 7如果ADE=B 或 AED=C，或 C+DEB=180,或 B+CDE=180那么有：ADAC=AEAB8.如果DEBC , 那么有：ABCD9在ABC中，AD是A的平分線，那么：10內(nèi)、外角角平分線：DO平分AOB，EO平分COB， 可以推出：DOE=90,AOD+COE=90平面幾何知識(shí)要點(diǎn)（三）【四邊形及多邊形】面積公式： 平行四邊形面積=底高 矩形面積=長(zhǎng)寬 菱形面積=對(duì)角線乘積的一半 或 菱形面積=底高 梯形面積=中位線高 對(duì)角線相互垂直四邊形面積=對(duì)角線乘積的一半。平行四邊形：性質(zhì)定理1：平行四邊

10、形兩組對(duì)邊分別平行性質(zhì)定理2：平行四邊形兩組對(duì)角分別相等。性質(zhì)定理3：平行四邊形兩組對(duì)邊分別相等。推論：夾在兩條平行線間的平行線段相等；平行線間的距離處處相等。性質(zhì)定理4：平行四邊形的對(duì)角線互相平分。是中心對(duì)稱圖形判定定理1：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形判定定理2：兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形。判定定理3：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形。判定定理4：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。判定定理5：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形。矩形 性質(zhì)定理1：矩形對(duì)邊分別平行且相等； 性質(zhì)定理2：矩形的四個(gè)角都是直角。 性質(zhì)定理3：矩形對(duì)角線互相平分且相等性質(zhì)定理4：矩形既是中

11、心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形。判定定理1：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形判定定理2：有一個(gè)直角的平行四邊形；判定定理3：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形菱形 性質(zhì)定理1：菱形對(duì)邊平行，四條邊都相等。 性質(zhì)定理2：菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角。性質(zhì)定理3：菱形既是中心對(duì)稱圖形也是軸對(duì)稱圖形。 判定定理1：四邊都相等的四邊形是菱形。 判定定理2：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形； 判定定理3：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形。正方形 性質(zhì)定理1：正方形對(duì)邊平行，四邊相等； 性質(zhì)定理2：正方形的四個(gè)角都是直角； 性質(zhì)定理3：正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角

12、。 性質(zhì)定理3：正方形既是中心對(duì)稱圖形也是軸對(duì)稱圖形。判定定理1：有一個(gè)直角一組鄰邊相等的平行四邊形是正方形；判定定理2：一組鄰邊相等的矩形是正方形；判定定理3：一個(gè)角為直角的菱形是正方形。等腰梯形 性質(zhì)定理1：等腰梯形兩底互相平行，兩腰相等； 性質(zhì)定理2：等腰梯形在同一底上的兩個(gè)底角相等。 性質(zhì)定理3：等腰梯形的兩條對(duì)角線相等。 性質(zhì)定理4：等腰梯形是軸對(duì)稱圖形。判定定理1：腰相等的梯形是等腰梯形；判定定理2：在同一底上的兩個(gè)底角相等的梯形是等腰梯形。判定定理3：對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形。如果等腰梯形對(duì)角線相互垂直，則高與中位線相等。四邊形四邊中點(diǎn)連成的四邊形圖形：1 如果原四邊形對(duì)角線相

13、等且垂直，那么四邊形中點(diǎn)連成的新四邊形為正方形；2 如果原四邊形對(duì)角線只相等不垂直，那么四邊形中點(diǎn)連成的新四邊形為菱形；3 如果原四邊形對(duì)角線垂直但不相等，那么四邊形中點(diǎn)連成的新四邊形為矩形；4 如果原四邊形對(duì)角線既不相等又非垂直，那么四邊形中點(diǎn)連成的新四邊形為平行四邊形。5 四邊形中點(diǎn)連接的圖形的面積是原四邊形面積的一半.其它定理和公式1定理：四邊形的內(nèi)角和等于360，四邊形的外角和等于360。 2多邊形內(nèi)角和定理: n邊形的內(nèi)角的和等于（n-2）180 推論：任意多邊的外角和等于3603n邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線，共有(n3)條，將n邊形分成了(n2)個(gè)三角形；n邊形一共有(n3)條對(duì)角

14、線。4正n邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于：常用輔助線 平面幾何知識(shí)要點(diǎn)（四）【圓、弧、弦】圓及圓的相關(guān)量的定義圓的定義：平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成的圖形叫做圓。定點(diǎn)稱為圓心，定長(zhǎng)稱為半徑。 弧、弦的定義：圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧。大于半圓的弧稱為優(yōu)弧，小于半圓的弧稱為劣弧。連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦。經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑。 圓、弧的表示方法: 圓- 弧- 弦心距定義：圓心到弦的距離叫做弦心距。 弦切角定義：頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角。圓心角定義：頂點(diǎn)在圓心上的角叫做圓心角。圓周角定義：頂點(diǎn)在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個(gè)交點(diǎn)的角叫做圓周角。圓心距

15、定義：兩圓圓心之間的距離叫做圓心距。連心線定義：過(guò)平面內(nèi)不重合的兩個(gè)圓的圓心的直線叫做這兩個(gè)圓的連心線。扇形定義: 在圓上，由2條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形。三角形的外接圓：過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，其圓心叫做三角形的外心。外接圓圓心是三角形各邊垂直平分線的交點(diǎn)，到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離相等。三角形的內(nèi)切圓：和三角形三邊都相切的圓叫做這個(gè)三角形的內(nèi)切圓，其圓心稱為內(nèi)心。內(nèi)切圓的圓心是三角形各內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，到三角形3邊距離相等。 圓的內(nèi)接正n邊形、圓的外切正n邊形定義：把圓分成n(n3)等分：依次連結(jié)各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形。經(jīng)過(guò)各分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的

16、交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)abcd圓的外切正n邊形。圓內(nèi)接四邊形面積：其中：圓的外切四邊形的兩組對(duì)邊的和相等：ABCDADBC公切線定義:和兩圓都相切的直線，叫做兩圓的公切線。ABCD 內(nèi)公切線定義：兩個(gè)不相交的圓在公切線兩旁時(shí)，這樣的公切線叫做內(nèi)公切線。外公切線定義：兩個(gè)不相交的圓在公切線的同旁時(shí)，這樣的公切線叫做外公切線。 右圖中：直線AB、CD就是兩圓的公切線，其中AB為外公切線，CD為內(nèi)公切線。 公切線長(zhǎng)計(jì)算公式：設(shè)半徑為R，半徑為r，兩圓的圓心距為 外公切線長(zhǎng)= 內(nèi)公切線長(zhǎng)= 當(dāng)兩圓相切時(shí)，無(wú)內(nèi)公切線長(zhǎng)。直線與圓有三種位置關(guān)系：1.無(wú)公共點(diǎn)為相離；2有2個(gè)公共點(diǎn)為相交；3圓與直線有唯一

17、公共點(diǎn)為相切，這條直線叫做圓的切線，這個(gè)唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)。兩圓之間有5種位置關(guān)系：1.無(wú)公共點(diǎn)的，一圓在另一圓之外叫外離，2在之內(nèi)叫內(nèi)含；3有唯一公共點(diǎn)的，一圓在另一圓之外叫外切，4在之內(nèi)叫內(nèi)切；5有2個(gè)公共點(diǎn)的叫相交。圓的基本性質(zhì): 1點(diǎn)P與圓O的位置關(guān)系（設(shè)P是一點(diǎn)，則PO是點(diǎn)到圓心的距離）： 當(dāng)P在O外，POr；當(dāng)P在O上，POr；當(dāng)P在O內(nèi)，POr。2直線AB與圓O的位置關(guān)系（設(shè)OPAB于P，則PO是直線AB到圓心的距離）： 當(dāng)AB與O相離，POr；當(dāng)AB與O相切，POr；當(dāng)AB與O相交，POr。 3圓與圓的位置關(guān)系（設(shè)兩圓的半徑分別為R和r，且Rr，圓心距為P）： 外離PR+r；

18、外切P=R+r；相交R-rPR+r；內(nèi)切P=R-r；內(nèi)含0PR-r。 4同圓或等圓的半徑相等。5圓是軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸是任意一條過(guò)圓心的直線。圓也是中心對(duì)稱圖形，其對(duì)稱中心是圓心。6. 不在同一直線上的3個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓。7. 一個(gè)三角形有唯一確定的外接圓和內(nèi)切圓。8圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的直徑；經(jīng)過(guò)直徑的一端，并且垂直于這條直徑的直線，是這個(gè)圓的切線。 圓的定理：垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的弧。推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的弧。 弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。 切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直

19、于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑。推論1：經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)。推論2：經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心。切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。PTACBD切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)。 推論：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等。（此推論也叫割線定理）相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等。 推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條

20、線段的比例中項(xiàng)。注：切割線定理與割線定理，相交弦定理統(tǒng)稱為圓冪定理。弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧對(duì)的圓周角。弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓心角的一半。推論：如果兩個(gè)弦切角所夾的弧相等，那么這兩個(gè)弦切角也相等定理1：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦的弦心距相等。推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩弦的弦心距中有一組量相等那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都相等。定理2：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。 推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等。 推論2：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角；90的圓周角所對(duì)

21、的弦是直徑。 推論3：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。定理3：兩圓相交時(shí)，連心線垂直平分兩圓的公共弦。定理4 兩圓相切時(shí)，連心線通過(guò)切點(diǎn)。定理5：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角。定理6：圓的外切四邊形的兩組對(duì)邊的和相等。定理7：任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓。圓周長(zhǎng)、弧長(zhǎng)、圓面積、扇形面積的計(jì)算公式圓周長(zhǎng)圓的面積弧長(zhǎng)扇形面積公式注：半徑r 直徑d 扇形弧長(zhǎng) 周長(zhǎng)C 面積S n-扇形的圓心角扇形與弓形的聯(lián)系與區(qū)別圖示面積注:（1）弓形的定義：由弦及其所對(duì)的?。ò踊?、優(yōu)弧、半圓）組成的圖形叫做弓形。（2）弓形的周長(zhǎng)弦長(zhǎng)弧長(zhǎng)圓錐與圓柱的比較名稱圓錐圓柱圖形注：圓錐的母線長(zhǎng)為l，底面圓的半徑為r圓柱的底面半徑為r，高為h圖形的形成過(guò)程由一個(gè)直角三角形旋轉(zhuǎn)得到的，如RtSOA繞直線SO旋轉(zhuǎn)一周。由一個(gè)矩形旋轉(zhuǎn)得到的，如矩形ABCD繞直線AB旋轉(zhuǎn)一周。圖形的組成一個(gè)底面和一個(gè)側(cè)面兩個(gè)底面和一個(gè)側(cè)面?zhèn)让嬲归_(kāi)圖的特征扇形矩形面