1、整式及整式的加減要點梳理及經(jīng)典例題一、整式的有關(guān)概念1單項式（1）概念：注意：單項式中數(shù)與字母或字母與字母之間是乘積關(guān)系，例如：可以看成，所以是單項式；而表示2與的商，所以不是單項式，凡是分母中含有字母的就一定不是單項式.（2）系數(shù)：單項式中的數(shù)字因數(shù)叫做這個單項式的系數(shù). 例如：的系數(shù)是；的系數(shù)是注意：單項式的系數(shù)包括其前面的符號；當一個單項式的系數(shù)是1或時，“1”通常省略不寫，但符號不能省略. 如：等；是數(shù)字，不是字母.（3）次數(shù)：一個單項式中，所有字母指數(shù)的和叫做這個單項式的次數(shù).注意：計算單項式的次數(shù)時，不要漏掉字母的指數(shù)為1的情況. 如的次數(shù)為，而不是5；切勿加上系數(shù)上的指數(shù)，如的次

2、數(shù)是3，而不是8；的次數(shù)是5，而不是6.2多項式（1）概念：幾個單項式的和叫做多項式. 其含義是：必須由單項式組成；體現(xiàn)和的運算法則.（2）項：在多項式中，每一個單項式叫做多項式的項，其中不含字母的項叫常數(shù)項；一個多項式含有幾個單項式就叫幾項式.例如：共含有有三項，分別是，所以是一個三項式.注意：多項式的項包括它前面的符號，如上例中常數(shù)項是，而不是1.（3）次數(shù)：多項式中，次數(shù)最高項的次數(shù)，就是這個多項式的次數(shù).注意：要防止把多項式的次數(shù)與單項式的次數(shù)相混淆，而誤認為多項式的次數(shù)是各項次數(shù)之和. 例如：多項式中，的次數(shù)是4，的次數(shù)是5，的次數(shù)是3，故此多項式的次數(shù)是5，而不是.3整式：單項式和

3、多項式統(tǒng)稱做整式.4降冪排列與升冪排列（1）降冪排列：把一個多項式按某一個字母的指數(shù)從大到小的順序排列起來叫做把這個多項式按這個字母的降冪排列.（2）把一個多項式按某一個字母的指數(shù)從小到大的順序排列起來叫做把這個多項式按這個字母的升冪排列.注意：降（升）冪排列的根據(jù)是：加法的交換律和結(jié)合律；把一個多項式按降（升）冪重新排列，移動多項式的項時，需連同項的符號一起移動；在進行多項式的排列時，要先確定按哪個字母的指數(shù)來排列. 例如：多項式按的升冪排列為：；按的降冪排列為：.二、整式的加減1同類項：所含的字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相同的項叫做同類項.注意：同類項與其系數(shù)及字母的排列順序無關(guān).

4、例如：與是同類項；而與卻不是同類項，因為相同的字母的指數(shù)不同.2合并同類項（1）概念：把多項式中相同的項合并成一項叫做合并同類項.注意：合并同類項時，只能把同類項合并成一項，不是同類項的不能合并，如顯然不正確；不能合并的項，在每步運算中不要漏掉.（2）法則：合并同類項就是把同類項的系數(shù)相加，所得的結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)保持不變.注意：合并同類項，只是系數(shù)上的變化，字母與字母的指數(shù)不變，不能將字母的指數(shù)相加；合并同類項的依據(jù)是加法交換律、結(jié)合律及乘法分配律；兩個同類項合并后的結(jié)果與原來的兩個單項式仍是同類項或者是0.3去括號與填括號（1）去括號法則：括號前面是“”，把括號和它前面的“”去

5、掉，括號內(nèi)的各項都不變號；括號前面是“”，把括號和它前面的“”去掉，括號內(nèi)的各項都改變符號.注意：去括號的依據(jù)是乘法分配律，當括號前面有數(shù)字因數(shù)時，應先利用分配律計算，切勿漏乘；明確法則中的“都”字，變符號時，各項都變；若不變符號，各項都不變. 例如：；當出現(xiàn)多層括號時，一般由里向外逐層去括號，如遇特殊情況，為了簡便運算也可由外向內(nèi)逐層去括號.（2）填括號法則：所添括號前面是“”號，添到括號內(nèi)的各項都不變號；所添括號前面是“”號，添到括號內(nèi)的各項都改變符號.注意：添括號是添上括號和括號前面的“”或“”，它不是原來多項式的某一項的符號“移”出來的；添括號和去括號的過程正好相反，添括號是否正確，可

6、用去括號來檢驗. 例如：4整式的加減整式的加減實質(zhì)上是去括號和合并同類項，其一般步驟是：（1）如果有括號，那么先去括號；（2）如果有同類項，再合并同類項.注意：整式運算的結(jié)果仍是整式.經(jīng)典例題透析類型一：用字母表示數(shù)量關(guān)系1填空題： (1)香蕉每千克售價3元，m千克售價_元。(2)溫度由5上升t后是_。(3)每臺電腦售價x元，降價10后每臺售價為_元。(4)某人完成一項工程需要a天，此人的工作效率為_。思路點撥：用字母表示數(shù)量關(guān)系，關(guān)鍵是理解題意，抓住關(guān)鍵詞句，再用適當?shù)氖阶颖磉_出來。舉一反三：變式 某校學生給“希望小學”郵寄每冊元的圖書240冊，若每冊圖書的郵費為書價的5，則共需郵費_元。類

7、型二：整式的概念2指出下列各式中哪些是整式，哪些不是。(1)x1；(2)a2；(3)；(4)SR2；(5)；(6)總結(jié)升華：判斷是不是整式，關(guān)鍵是了解整式的概念，注意整式與等式、不等式的區(qū)別，等式含有等號，不等式含有不等號，而整式不能含有這些符號。舉一反三：變式把下列式子按單項式、多項式、整式進行歸類。x2y， ab， xy25， ， 29， 2ax9b5， 600xz， axy， xyz1， 。分析：本題的實質(zhì)就是識別單項式、多項式和整式。單項式中數(shù)和字母、字母和字母之間必須是相乘的關(guān)系，多項式必須是幾個單項式的和的形式。答案：單項式有：x2y，29,600xz，axy多項式有：ab，xy2

8、5,2ax9b5，xyz1整式有：x2y，ab，xy25，29，2ax9b5,600xz，axy，xyz1。類型三：同類項3若與是同類項，那么a,b的值分別是（ ）（A）a=2, b=1。 （B）a=2, b=1。（C）a=2, b=1。 （D）a=2, b=1。思路點撥:解決此類問題的關(guān)鍵是明確同類項定義，即字母相同且相同字母的指數(shù)相同，要注意同類項與系數(shù)的大小沒有關(guān)系。解析：由同類項的定義可得：a1=b,且 2a+b=3，解得 a=2, b=1，故選A。舉一反三：變式在下面的語句中，正確的有()a2b3與a3b2是同類項；x2yz與zx2y是同類項；1與是同類項；字母相同的項是同類項。A、

9、1個B、2個C、3個D、4個解析：中a2b3與a3b2所含的字母都是a，b，但a的次數(shù)分別是2,3，b的次數(shù)分別是3,2，所以它們不是同類項；中所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同，所以x2yz與zx2y是同類項；不含字母的項(常數(shù)項)都是同類項，正確，根據(jù)可知不正確。故選B。類型四：整式的加減4化簡mn（m+n）的結(jié)果是（ ）（A）0。 （B）2m。（C）2n。（D）2m2n。思路點撥：按去括號的法則進行計算，括號前面是“”號，把括號和它前面的“”號去掉，括號里各項都改變符號。解析： 原式=mnmn=2n，故選（C）。舉一反三：變式 計算：2xy+3xy=_。分析：按合并同類項的法則進行計

10、算，把系數(shù)相加所得的結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變。注意不要出現(xiàn)5x2y2的錯誤。答案：5xy。5（化簡代入求值法）已知x，y,求代數(shù)式(5x2y2xy23xy)(2xy5x2y2xy2) 思路點撥：此題直接把x、y的值代入比較麻煩，應先化簡再代入求值。解析：原式5x2y2xy23xy2xy5x2y2xy25xy當x，y時，原式5?？偨Y(jié)升華：求代數(shù)式的值的第一步是“代入”，即用數(shù)值替代整式里的字母；第二步是“求值”，即按照整式中指明的運算，計算出結(jié)果。應注意的問題是：當整式中有同類項時，應先合并同類項化簡原式，再代入求值。舉一反三：變式1 當x0，x，x-2時，分別求代數(shù)式的2x2x1的值

11、。解：當x0時，2x2x1202011；當x時，2x2x12；當x-2時，2x2x12（-2）2（-2）124+2111?？偨Y(jié)升華：一個整式的值，是由整式中的字母所取的值確定的，字母取值不同，一般整式的值也不同；當整式中沒有同類項時，直接代入計算，原式中的系數(shù)、指數(shù)及運算符號都不改變。但應注意，當字母的取值是分數(shù)或負數(shù)時，代入時，應將分數(shù)或負數(shù)添上括號。變式2 先化簡，再求值。3(2x2y3xy2)(xy23x2y)，其中x，y1。解： 3(2x2y3xy2)(xy23x2y)(6x2y9xy2)xy23x2y6x2y9xy2xy23x2y9x2y10xy2。當x，y1時，原式9(1)10(1

12、)2?？偨Y(jié)升華：解題的基本規(guī)律是先把原式化簡為9x2y10xy2，再代入求值，化簡降低了運算難度，使計算更加簡便，體現(xiàn)了化繁為簡，化難為易的轉(zhuǎn)化思想。變式3 求下列各式的值。(1)(2x2x1)，其中x(2)2mn(3m)3(2nmn)，其中mn2，mn3。解析：(1) (2x2x1)2x2x1x2x3x234x24當x時，原式44945。(2) 2mn(3m)3(2nmn)2mn6m6n3mn5mn6(mn)當mn2，mn3時原式5(3)6227。類型五：整體思想的應用6已知x2x3的值為7，求2x22x3的值。思路點撥：該題解答的技巧在于先求x2x的值，再整體代入求解，體現(xiàn)了數(shù)學中的整體思

13、想。解析：由題意得x2x37，所以x2x4，所以2(x2x)8，即2x22x8，所以2x22x3835?？偨Y(jié)升華：整體思想就是在考慮問題時，不著眼于它的局部特征，而是將具有共同特征的某一項或某一類看成一個整體的數(shù)學思想方法。運用這種方法應從宏觀上進行分析，抓住問題的整體結(jié)構(gòu)和本質(zhì)特征，全面關(guān)注條件和結(jié)論，加以研究、解決，使問題簡單化。在中考中該思想方法比較常見，尤其在化簡題中經(jīng)常用到。舉一反三：變式1 已知x2x10，求代數(shù)式x32x27的值。分析：此題由已知條件無法求出x的值，故考慮整體代入。解析：x2x10，x21x，x32x27x(1x)2(1x)7xx222x7-x2-x-5（-x2-

14、x+1）-6 =6。變式2 當x1時，代數(shù)式px3qx1的值為2003，則當x1時，代數(shù)式px3qx1的值為( )A、2001B、2002C、2003D、2001分析：這是一道求值的選擇題，顯然p，q的值都不知道，仔細觀察題目，不難發(fā)現(xiàn)所求的值與已知值之間的關(guān)系。解析：當x1時，px3qx1pq12003，而當x1時，px3qx1pq1，可以把pq看做一個整體，由pq12003得pq2002，于是pq(pq)2002，所以原式200212001。故選A。變式3 已知A3x32x1，B3x22x1，C2x21，則下列代數(shù)式中化簡結(jié)果為3x37x22的是( )A、AB2CB、AB2CC、AB2CD

15、、AB2C分析：將A，B，C的式子分別代入A，B，C，D四個選項中檢驗，如：AB2C3x32x1(3x22x1)2(2x21)3x32x13x22x14x223x37x22。故選C。答案：C變式4 化簡求值。(1)3(abc)8(abc)7(abc)4(abc)，其中b2(2)已知ab2，求2(ab)ab9的值。分析：(1)常規(guī)解法是先去括號，然后再合并同類項，但此題可將abc，abc分別視為一個“整體”，這樣化簡較為簡便；(2)若想先求出a，b的值，再代入求值，顯然行不通，應視ab為一個“整體”。解析：(1)原式3(abc)7(abc)8(abc)4(abc) 4(abc)4(abc) 4a

16、4b4c4a4b4c8b。 因為b2，所以原式8216。(2)原式2(ab)(ab)9 (ab)9 因為ab2，所以原式2911。類型六：綜合應用7已知多項式3(ax22x1)(9x26x7)的值與x無關(guān)，試求5a22(a23a4)的值。思路點撥：要使某個單項式在整個式子中不起作用，一般是使此單項式的系數(shù)為0即可.解析：3(ax22x1)(9x26x7)3ax26x39x26x7(3a9)x24。因為原式的值與x無關(guān)，故3a90，所以a3。又因為5a22(a23a4)5a22a26a83a26a8，所以當a3時，原式33263837。總結(jié)升華：解答此類題目一定要弄清題意，明確題目的條件和所求，當題目中的條件或所求發(fā)生了變化時，解題的方法也會有相應的變化。舉一反三：變式1當a(x0)為何值時，多項式3(ax22x1)(9x26x7)的值恒等為4。解析：3(ax22x1)(9x26x7)3ax26x39x26x7(3a9)x24。因為(3a9)x244，所以(3a9)x20。又因為x0，故有3a90。即a3，所以當a3時，多項式3(ax22