1、第一節(jié) 相似三角形的判定及有關性質,三年7考 高考指數(shù): 1.了解平行線分線段成比例定理. 2.會證明、應用直角三角形射影定理.,1.利用平行線分線段成比例定理及直角三角形的射影定理進行有關的證明和計算是高考重點. 2.本部分主要以填空題為主，其中以相似三角形為背景的綜合題是熱點題型，同時相似三角形與圓、方程、三角、函數(shù)等知識的結合多以探索性、閱讀性命題類型出現(xiàn).,1.平行線等分線段定理 (1)定理:如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么 在其他直線上截得的線段也 . (2)推論1：經過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必_ 第三邊. (3)推論2:經過梯形一腰的中點，且與底邊平行的直

2、線 另 一腰.,相等,平分,平分,【即時應用】 (1)如圖，ABC中，D是AB的中點,DEBC,AC=6,則AE=_. (2)如圖，梯形ABCD中，EFADBC，E是AB的中點,DC=m,則 FC=_.,【解析】(1)D是AB的中點，DEBC, 點E是AC的中點, AE= AC= 6=3. (2)EFADBC,E是AB的中點， DF=FC= DC= m,即FC= m. 答案：(1)3 (2) m,2.平行線分線段成比例定理 (1)定理：三條平行線截兩條直線，所得的 線段成比例. (2)推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延 長線）所得的對應線段 .,對應,成比例,【即時應用】 (1

3、)如圖，ADBECF,且ABBC=23,則EFDF=_. (2)如圖，在ABC中，DEBC,BD= AD,則AEAC=_.,【解析】(1)ADBECF,ABBC=23, DEEF=ABBC=23,EFDF=35. (2)DEBC, 又BD= AD,AB= AD, 答案：(1)35 (2)34,3.相似三角形的判定與性質 (1)定義:對應角 ，對應邊 的兩個三角形叫做相 似三角形. （2）預備定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩 邊的延長線） ，所構成的三角形與原三角形 . （3）判定： 定理1：兩角對應 ，兩三角形相似. 定理2：兩邊對應 且夾角 ，兩三角形相似. 定理3：三邊對應 ，

4、兩三角形相似.,相等,成比例,相交,相似,相等,成比例,相等,成比例,（4）直角三角形相似的判定：,(5)性質： 相似三角形對應高的比、對應中線的比和對應角平分線的比 都等于 . 相似三角形周長的比等于 . 相似三角形面積的比等于相似比的 . 相似三角形外接圓的直徑比、周長比等于 ,外接圓 的面積比等于相似比的 .,相似比,相似比,平方,相似比,平方,【即時應用】 (1)已知：如圖所示，在ABC中，D、 E分別在AC、AB邊上，要使ADE ABC成立的條件可以是_. （只填寫一個即可） (2)如圖所示，在ABC中，C=90, AC=3,D為BC上一點，過點D作DEBC 交AB于E，若ED=1，

5、BD=2，則DC的長 為_,SBDESABC=_.,【解析】(1)此題屬開放題，答案不唯一，可根據(jù)判定定理 的條件填寫，如ADE=B或AED=C或 等. (2)BDE=C=90,B=B, BDEBCA, BC=6,DC=4,SBDESBCA=DE2AC2=19. 答案：(1)ADE=B(或AED=C或 )(答案不唯一) (2)4 19,4.直角三角形的射影定理 定理：直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例 ；兩直角邊分別是它們在斜邊上 與 的比例中 項.,中項,射影,斜邊,【即時應用】 (1)在RtABC中，ACB=90，CDAB 于D，AC=3,BC=4，則AD=_. (2)一直角

6、三角形兩條直角邊之比是12， 則它們在斜邊上射影的比是_.,【解析】（1）先由勾股定理，得AB=5，再由射影定理，得 AC2=ADAB, AD= （2）AC、AB在斜邊BC上的射影為DC、DB， 由射影定理得：AC2=CDBC, AB2=BDBC, CDBD=AC2AB2=14. 答案：(1) (2)14,平行線分線段成比例定理 【方法點睛】 1.平行線等分線段定理的理解及應用 平行線等分線段定理及推論1、推論2是證明線段相等或求線段 長度的重要理論依據(jù)之一,在應用這個定理時一定要看清條件 中是否是一組平行線已截得相等的線段，若是就可以用該定理.,2.利用平行線分線段成比例定理的注意事項 利用

7、平行線分線段成比例定理解決問題時要特別注意被平行線 所截的直線，找準成比例的線段，得到相應的比例式，有時需 要進行適當?shù)淖冃?，從而得到最終的結果.,【例1】(1)如圖，ABCD中，AC與BD相交于點O，AB=6,OE BC，則EC=_. (2)(2012長沙模擬)如圖，在ABC中，DEBC,EFCD，若BC=3，DE=2,DF=1，則AB的長為_.,【解題指南】(1)可利用平行四邊形的性質和平行線等分線段 定理求線段EC的長. (2)這是一道利用平行線分線段成比例定理的計算題，由已知 條件分析知，需要中間比例式進行轉換可以得到最終結果，即 由 等可以得出AB的長.,【規(guī)范解答】(1)在ABCD

8、中，OB=OD,AB=DC=6， 又OEBC,DE=EC= DC=3,即EC=3. 答案：3,(2)DEBC， , 又EFCD, AF=2FD=2,AD=3, 又DEBC, BD= , AB=AD+BD= . 答案：,【互動探究】本例(2)中若BC=4，DE=3，DF=1，其他條件不變，則AB的長為_. 【解析】DEBC, 又EFCD, AF=3FD=3,AD=4, 又DEBC, BD= AB=AD+BD=4+ 答案：,【反思感悟】本題靈活運用了平行線分線段成比例定理，先 利用DEBC，EFCD得到比例式后，再進行巧妙的轉化比例 式，從而解決問題，這是在比例式的證明和計算中常見的一種 方法.,

9、相似三角形的判定和性質 【方法點睛】1.相似三角形的判定思路,一對等角,找一對等角或找夾邊成比例,兩邊成比例,找兩邊的夾角相等,含有等腰 三角形,找頂角相等或找一對底角相等或找腰和底對應成比例,2.相似三角形性質的應用 (1)運用相似三角形的性質解決問題，主要考慮相似三角形的對應邊、對應角、周長、面積之間的關系. (2)相似三角形的性質多用于求某條線段的長度，求證比例式的存在、求證等積式的成立等. 【提醒】在做題時應注意認真觀察圖形特點，確定好對應邊、對應角等.,【例2】(1)如圖，光源P在橫桿AB的正上方，AB在燈光下的影子為CD，ABCD,AB=2 m，CD=6 m，點P到CD的距離是2.

10、7 m，則AB與CD間的距離是_m. (2)如圖，梯形ABCD中，ABCD,且AB=2CD,E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，EF與BD相交于點M.若DB=9，則BM=_.,【解題指南】(1)先判定PAB與PCD相似，再利用相似三角形對應高的比等于相似比，求出AB與CD間的距離. (2)由已知條件可判定四邊形BCDE是平行四邊形，所以BCDE，從而證明EDMFBM，再根據(jù)對應邊成比例可求出BM的值.,【規(guī)范解答】(1)根據(jù)ABCD，知PABPCD. 設P到AB的距離為x m，根據(jù)相似三角形對應邊上高的比等于 相似比，得 ，解得x=0.9， AB與CD間的距離為2.7-0.9=1.8(m). 答案：

11、1.8,(2)E是AB的中點， AB=2BE,又AB=2CD,CD=EB, 又ABCD,四邊形BCDE是平行四邊形, CBDE, EDMFBM. F是BC中點,DE=BC=2FB, DM=2BM, BM= DB=3. 答案：3,【互動探究】本例(2)中在所有條件不變的情況下，求SFBMSEDM=_. 【解析】由FBMEDM可知FBDE=12，所以SFBMSEDM=14. 答案：14,【反思感悟】判定三角形相似時，首先找出兩個三角形中已經具備了哪些已知條件，再通過推理推出隱含的條件，選擇相似三角形的判定方法作出判定即可；當三角形判定相似后，可再根據(jù)相似三角形的性質，求出線段的長、三角形的周長及面

12、積等.,【變式備選】已知：如圖，在ABC中，D、E分別是BC、AB上任意點，EFMCDM，EF=1,CD=3，則EFM與CDM的周長之比為_. 【解析】EFMCDM, EFM與CDM的周長之比為EFCD=13. 答案：13,射影定理的應用 【方法點睛】射影定理的理解及解題思路 (1)射影定理建立了直角三角形中邊與射影之間的關系，揭示 了直角三角形的內在關系. (2)利用直角三角形的射影定理解決問題首先確定直角邊與其射影，再就是要善于將有關比例式進行適當?shù)淖冃无D化，有時還要將等積式轉化為比例式或將比例式轉化為等積式，并且注意射影定理的其他變式.,【例3】(1)在ABC中，ACB=90,CDAB

13、于D，ADBD=23,則ACD與CBD的相似 比為_. (2)如圖，在RtABC中，ACB=90,CD AB于點D，DEAC于點E，DFBC于點F，CE= 3,CF=4,則AB=_.,【解題指南】(1)可由射影定理用AD表示出CD的長，再求相似比. (2)先由勾股定理求CD的長，再由射影定理求AC、BC的長，最后 由勾股定理求出AB的長. 【規(guī)范解答】(1)設AD=2，則BD=3，ABC中，ACB=90, CDAB,CD2=ADDB=23=6,CD= ACD與CBD的相似 比=ADCD=2 答案：,(2)由勾股定理得CD= =5, 在RtACD中，由射影定理， 得CD2=CEAC, AC= 在RtBCD中，由射影定理， 得CD2=CFCB,CB= AB= 答案：,【互動探究】本例(2)中條件不變，則ABC的面積為_. 【解析】由例題中可知 所以ABC的面積為: 答案：,