1、高中數學不等式專題教師版一、 高考動態(tài)考試內容：不等式不等式的基本性質不等式的證明不等式的解法含絕對值的不等式數學探索版權所有考試要求：數學探索版權所有（1）理解不等式的性質及其證明數學探索版權所有（2）掌握兩個（不擴展到三個）正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數的定理，并會簡單的應用數學探索版權所有（3）掌握分析法、綜合法、比較法證明簡單的不等式數學探索版權所有（4）掌握簡單不等式的解法數學探索版權所有（5）理解不等式a-ba+ba+b二、不 等

2、式 知識要點1. 不等式的基本概念（1） 不等（等）號的定義：（2） 不等式的分類：絕對不等式；條件不等式；矛盾不等式.（3） 同向不等式與異向不等式.（4） 同解不等式與不等式的同解變形.2.不等式的基本性質（1）（對稱性）（2）（傳遞性）（3）（加法單調性）（4）（同向不等式相加）（5）（異向不等式相減）（6）（7）（乘法單調性）（8）（同向不等式相乘）（異向不等式相除）（倒數關系）（11）（平方法則）（12）（開方法則）3.幾個重要不等式（1）（2）（當僅當a=b時取等號）（3）如果a,b都是正數，那么 （當僅當a=b時取等號）極值定理：若則：如果P是定值, 那么當x=y時，S的值最?。?/p>

3、 如果S是定值, 那么當x=y時，P的值最大. 利用極值定理求最值的必要條件： 一正、二定、三相等. （當僅當a=b=c時取等號）（當僅當a=b時取等號）（7）4.幾個著名不等式 （1）平均不等式： 如果a,b都是正數，那么 （當僅當a=b時取等號）即：平方平均算術平均幾何平均調和平均（a、b為正數）：特別地，（當a = b時，）冪平均不等式：注：例如：.常用不等式的放縮法：（2）柯西不等式： （3）琴生不等式（特例）與凸函數、凹函數若定義在某區(qū)間上的函數f(x),對于定義域中任意兩點有則稱f(x)為凸（或凹）函數.5.不等式證明的幾種常用方法 比較法、綜合法、分析法、換元法、反證法、放縮法、

4、構造法.6.不等式的解法（1）整式不等式的解法（根軸法）. 步驟：正化，求根，標軸，穿線（偶重根打結），定解.特例 一元一次不等式axb解的討論；一元二次不等式ax2+bx+c0(a0)解的討論.（2）分式不等式的解法：先移項通分標準化，則（3）無理不等式：轉化為有理不等式求解 （4）.指數不等式：轉化為代數不等式（5）對數不等式：轉化為代數不等式（6）含絕對值不等式應用分類討論思想去絕對值； 應用數形思想；應用化歸思想等價轉化注：常用不等式的解法舉例（x為正數）： 類似于，三、利用均值不等式求最值的方法均值不等式當且僅當ab時等號成立）是一個重要的不等式，利用它可以求解函數最值問題。對于有些

5、題目，可以直接利用公式求解。但是有些題目必須進行必要的變形才能利用均值不等式求解。下面是一些常用的變形方法。一、配湊1. 湊系數例1. 當時，求的最大值。解析：由知，利用均值不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個式子積的形式，但其和不是定值。注意到為定值，故只需將湊上一個系數即可。當且僅當，即x2時取等號。所以當x2時，的最大值為8。評注：本題無法直接運用均值不等式求解，但湊系數后可得到和為定值，從而可利用均值不等式求最大值。2. 湊項例2. 已知，求函數的最大值。解析：由題意知，首先要調整符號，又不是定值，故需對進行湊項才能得到定值。當且僅當，即時等號成立。評注：本題需要調整項的符

6、號，又要配湊項的系數，使其積為定值。3. 分離例3. 求的值域。解析：本題看似無法運用均值不等式，不妨將分子配方湊出含有（x1）的項，再將其分離。當，即時（當且僅當x1時取“”號）。當，即時（當且僅當x3時取“”號）。的值域為。評注：分式函數求最值，通?；?，g(x)恒正或恒負的形式，然后運用均值不等式來求最值。二、整體代換例4. 已知，求的最小值。解法1：不妨將乘以1，而1用a2b代換。當且僅當時取等號，由即時，的最小值為。解法2：將分子中的1用代換。評注：本題巧妙運用“1”的代換，得到，而與的積為定值，即可用均值不等式求得的最小值。三、換元例5. 求函數的最大值。解析：變量代換，令，則當t

7、0時，y0當時，當且僅當，即時取等號。故。評注：本題通過換元法使問題得到了簡化，而且將問題轉化為熟悉的分式型函數的求最值問題，從而為構造積為定值創(chuàng)造有利條件。四、取平方例6. 求函數的最大值。解析：注意到的和為定值。又，所以當且僅當，即時取等號。故。評注：本題將解析式兩邊平方構造出“和為定值”，為利用均值不等式創(chuàng)造了條件?？傊?，我們利用均值不等式求最值時，一定要注意“一正二定三相等”，同時還要注意一些變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用均值不等式。高中數學一輪復習專講專練（教材回扣+考點分類+課堂內外+限時訓練）：基本不等式一、選擇題1若a0，b0，且ln(ab)0，則的最小值是()A. B1 C4 D

8、8解析：由a0，b0，ln(ab)0，得故4.當且僅當ab時，上式取等號. 答案：C2已知不等式(xy)9對任意正實數x，y恒成立，則正實數a的最小值為()A2 B4 C9 D16解析：(xy)1aa.x0，y0，a0，1a1a2.由91a2，得a280，(4)(2)0.a0，2，a4，a的最小值為4. 答案：B3已知函數f(x)lg的值域為R，則m的取值范圍是()A(4，) B4，)C(，4) D(，4解析：設g(x)5xm，由題意g(x)的圖像與x軸有交點，而5x4，故m4，故選D.答案：D4當點(x，y)在直線x3y20上移動時，表達式3x27y1的最小值為()A3 B5 C1 D7解析

9、：方法一：由x3y20，得3yx2.3x27y13x33y13x3x213x12 17.當且僅當3x，即3x3，即x1時取得等號方法二：3x27y13x33y121217. 答案：D5已知x0，y0，x2y2xy8，則x2y的最小值是()A3 B4 C. D.解析：2xyx(2y)2，原式可化為(x2y)24(x2y)320.又x0，y0，x2y4.當x2，y1時取等號答案：B6(2013蒼山調研)已知x0，y0，lg2xlg8ylg2，則的最小值是()A2 B2 C4 D2解析：由lg2xlg8ylg2，得lg2x3ylg2.x3y1，(x3y)24.答案：C二、填空題7設x、yR，且xy0

10、，則的最小值為_解析：144x2y21429.當且僅當4x2y2時等號成立，即|xy|時等號成立. 答案：98(2013臺州調研)若實數a，b滿足ab4ab10(a1)，則(a1)(b2)的最小值為_解析：ab4ab10，b，ab4ab1.(a1)(b2)ab2ab26a2b16a216a16a816(a1)15.a1，a10.原式6(a1)1521527.當且僅當(a1)21，即a2時等號成立最小值為27. 答案：279(2013聊城質檢)經觀測，某公路段在某時段內的車流量y(千輛/小時)與汽車的平均速度v(千米/小時)之間有函數關系：y(v0)，在該時段內，當車流量y最大時，汽車的平均速度

11、v_千米/小時解析：v0，y11.08，當且僅當v，即v40千米/小時時取等號. 答案：40三、解答題10已知x0，y0，z0，且xyz1.求證：36. 解析：x0，y0，z0，且xyz1，(xyz)14142 2 214461236.當且僅當x2y2z2，即x，y，z時等號成立36. 11某學校擬建一塊周長為400 m的操場如圖所示，操場的兩頭是半圓形，中間區(qū)域是矩形，學生做操一般安排在矩形區(qū)域，為了能讓學生的做操區(qū)域盡可能大，試問如何設計矩形的長和寬解析：設中間矩形區(qū)域的長，寬分別為x m，y m，中間的矩形區(qū)域面積為S m2，則半圓的周長為 m.操場周長為400 m，所以2x2400，即2xy400(0x200,0y)Sxy(2x)(y)2.由解得當且僅當時等號成立即把矩形的長和寬分別設計為100 m和 m時，矩形區(qū)域面積最大12已知x，y都是正實數，且xy3xy50.(1)求xy的最小值；(2)求xy的最小值解析：(1)由xy3xy50，得xy53xy.25xy53xy.3xy250.(1)(35)0.，即xy，等號成立的條件是