1、,第七節(jié),一、三角級數(shù)及三角函數(shù)系的正交性,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,二、函數(shù)展開成傅里葉級數(shù),三、正弦級數(shù)和余弦級數(shù),第十一章,傅里葉級數(shù),一、三角級數(shù)及三角函數(shù)系的正交性,簡單的周期運動 :,(諧波函數(shù)),( A為振幅,復(fù)雜的周期運動 :,令,得函數(shù)項級數(shù),為角頻率,為初相 ),(諧波迭加),稱上述形式的級數(shù)為三角級數(shù).,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,定理 1. 組成三角級數(shù)的函數(shù)系,證:,同理可證 :,正交 ,上的積分等于 0 .,即其中任意兩個不同的函數(shù)之積在,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,上的積分不等于 0 .,且有,但是在三角函數(shù)系中兩個相同的函數(shù)的乘積在,機

2、動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,二、函數(shù)展開成傅里葉級數(shù),定理 2 . 設(shè) f (x) 是周期為 2 的周期函數(shù) , 且,右端級數(shù)可逐項積分, 則有,證: 由定理條件,對在,逐項積分, 得,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,(利用正交性),類似地, 用 sin k x 乘 式兩邊, 再逐項積分可得,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,葉系數(shù)為系數(shù)的三角級數(shù) 稱為,的傅里葉系數(shù) ;,由公式 確定的,以,的傅里,的傅里葉級數(shù) .,稱為函數(shù),傅里葉 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,定理3 (收斂定理, 展開定理),設(shè) f (x) 是周期為2的,周期函數(shù),并滿足狄利克雷( Dirichlet )條件

3、:,1) 在一個周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個第一類間斷點;,2) 在一個周期內(nèi)只有有限個極值點,則 f (x) 的傅里葉級數(shù)收斂 , 且有,x 為間斷點,其中,( 證明略 ),為 f (x) 的傅里葉系數(shù) .,x 為連續(xù)點,注意: 函數(shù)展成傅里葉級數(shù)的條件比展成冪級數(shù)的條件低得多.,簡介 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例1.,設(shè) f (x) 是周期為 2 的周期函數(shù) , 它在,上的表達式為,解: 先求傅里葉系數(shù),將 f (x) 展成傅里葉級數(shù).,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,1) 根據(jù)收斂定理可知,時,級數(shù)收斂于,2) 傅氏級數(shù)的部分和逼近,說明:,f (x

4、) 的情況見右圖.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例2.,上的表達式為,將 f (x) 展成傅里葉級數(shù).,解:,設(shè) f (x) 是周期為 2 的周期函數(shù) , 它在,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,說明: 當,時, 級數(shù)收斂于,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,周期延拓,傅里葉展開,上的傅里葉級數(shù),定義在 ,上的函數(shù) f (x)的傅氏級數(shù)展開法,其它,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例3. 將函數(shù),級數(shù) .,則,解: 將 f (x)延拓成以,展成傅里葉,2為周期的函數(shù) F(x) ,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,利用此展式可求出幾個特殊的級數(shù)的和.,當 x = 0 時, f

5、(0) = 0 , 得,說明:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,設(shè),已知,又,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,三、正弦級數(shù)和余弦級數(shù),1. 周期為2 的奇、偶函數(shù)的傅里葉級數(shù),定理4 . 對周期為 2 的奇函數(shù) f (x) , 其傅里葉級數(shù)為,周期為2的偶函數(shù) f (x) , 其傅里葉級數(shù)為余弦級數(shù) ,它的傅里葉系數(shù)為,正弦級數(shù),它的傅里葉系數(shù)為,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例4. 設(shè),的表達式為 f (x)x ,將 f (x) 展成傅里葉級數(shù).,是周期為2 的周期函數(shù),它在,解: 若不計,周期為 2 的奇函數(shù),因此,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,n1,根據(jù)收斂定理可得

6、f (x) 的正弦級數(shù):,級數(shù)的部分和,n2,n3,n4,逼近 f (x) 的情況見右圖.,n5,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例5. 將周期函數(shù),展成傅里葉級數(shù), 其,中E 為正常數(shù) .,解:,是周期為2 的,周期偶函數(shù) , 因此,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2. 在0,上的函數(shù)展成正弦級數(shù)與余弦級數(shù),周期延拓 F (x),f (x) 在 0 , 上展成,周期延拓 F (x),余弦級數(shù),奇延拓,偶延拓,正弦級數(shù),f (x) 在 0 , 上展成,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例6. 將函數(shù),分別展成正弦級,數(shù)與余弦級數(shù) .,解: 先求正弦

7、級數(shù).,去掉端點, 將 f (x) 作奇周期延拓,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,注意:,在端點 x = 0, , 級數(shù)的和為0 ,與給定函數(shù),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,因此得,f (x) = x + 1 的值不同 .,再求余弦級數(shù).,將,則有,作偶周期延拓 ,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,說明: 令 x = 0 可得,即,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,內(nèi)容小結(jié),1. 周期為 2 的函數(shù)的傅里葉級數(shù)及收斂定理,其中,注意: 若,為間斷點,則級數(shù)收斂于,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2. 周期為 2 的奇、偶函數(shù)的傅里葉級數(shù),奇函數(shù),正弦級數(shù),偶函數(shù),余弦級數(shù),3

8、. 在 0 , 上函數(shù)的傅里葉展開法,作奇周期延拓 ,展開為正弦級數(shù),作偶周期延拓 ,展開為余弦級數(shù),1. 在 0 , 上的函數(shù)的傅里葉展開法唯一嗎 ?,答: 不唯一 , 延拓方式不同級數(shù)就不同 .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,思考與練習(xí),處收斂于,2.,則它的傅里葉級數(shù)在,在,處收斂于 .,提示:,設(shè)周期函數(shù)在一個周期內(nèi)的表達式為,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,3. 設(shè),又設(shè),求當,的表達式 .,解: 由題設(shè)可知應(yīng)對,作奇延拓:,由周期性:,為周期的正弦級數(shù)展開式的和函數(shù),定義域,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,4. 寫出函數(shù),傅氏級數(shù)的和函數(shù) .,答案:,定理3 目錄 上

9、頁 下頁 返回 結(jié)束,P250 1(1) , (3) ; 2 (1) , (2) ; 3; 5 ; 7 ; 8 (2),第八節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,作業(yè),備用題 1.,葉級數(shù)展式為,則其中系,提示:,利用“偶倍奇零”,(93 考研),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,的傅里,2. 設(shè),是以 2 為周期的函數(shù) ,其傅氏系數(shù)為,則,的傅氏系數(shù),提示:,令,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,傅里葉 (1768 1830),法國數(shù)學(xué)家.,他的著作熱的解析,理論(1822) 是數(shù)學(xué)史上一部經(jīng)典性,書中系統(tǒng)的運用了三角級數(shù)和,三角積分,他的學(xué)生將它們命名為傅,里葉級數(shù)和傅里葉積分.,最卓越的工具.,以后以傅里葉著作為基礎(chǔ)發(fā)展起來的,文獻,他深信數(shù)學(xué)是解決實際問題,傅里葉分析對近代數(shù)學(xué)以及物理和工程技術(shù)的發(fā)展,都產(chǎn)生了深遠的影響.,狄利克雷 (18 05 1859),德國數(shù)學(xué)家.,對數(shù)論, 數(shù)學(xué)分析和,數(shù)學(xué)物理有突出的貢獻,是