1、數學物理方法,數學物理方法的性質和目的,性質 為信息工程與技術專業(yè)開設的專業(yè)基礎必修課，在教學培養(yǎng)計劃中列為主干課程。 目的 通過本課程的學習，掌握數學物理中的常用方法，為學習理論物理課程與專業(yè)基礎理論課程提供基礎。,2020/10/7,3,教材：汪德新，數學物理方法，第三版，科學出版社，2006年8月 參考書： 1吳崇試，數學物理方法，北京大學出版社 2003-12-26出版 2胡嗣柱、倪光炯，數學物理方法，第二版，高等教育出版社，復旦大學出版社，2002； 3梁昆森，數學物理方法，第三版，高等教育出版社，1998； 4郭敦仁，數學物理方法，第二版，人民教育出版社，1991。,教材與參考書,

2、2020/10/7,4,5鐘毓澍 ，數學物理方法習題指導 ，北京大學出版社 2004-09-01 出版 6姚端正，數學物理方法 學習指導，第一版，科學出版社，2001； 7胡嗣柱，數學物理方法解題指導，高等教育出版社1998年 8李惜雯，數學物理方法 典型題 解法.技巧.注釋，西安交通大學出版社，2001；,習題參考書,5,作業(yè)：請介紹你有關學習本課程的數學基礎情況；你對本課程教學的建議與期望。,高等數學掌握程度自我評價。 高等數學中： 向量代數與空間解析幾何學過嗎? 常微分方程的解學過嗎? 三重積分、曲線積分、曲面積分學過嗎? 無窮級數學過嗎?其中包括傅里葉級數嗎? 線性代數學過嗎? 你對本

3、課程教學的建議與期望。,第一篇 復變函數導論,自變量為復數的函數稱為復變函數 本篇討論復變函數論的基本概念、基本定理和基本方法，以及若干實際運用解析函數是本篇研究的重點。 復變函數導論是本書其后三篇的基礎,7,第1章介紹復變函數的微分理論著重討論解析函數的微分性質及其應用 第2章介紹復變函數的積分理論著重討論解析函數的積分性質及其應用 第3章介紹復變函數的級數理論著重討論解析函數與泰勒(Taylor)級數、洛朗（Laurent）級數的關系及其應用,8,第4章介紹留數理論，它是復變函數積分理論與級數理論相結合的產物本章利用留數定理進行實變積分計算，整數與半整數級數和的計算 第5章介紹解析延拓與多

4、值函數的一些基本概念著重討論擴大解析函數的定義域，以及將多值函數轉化為黎曼(Riemann)面上的單值解析函數的問題,第1章復變函數與解析函數,本章首先介紹復數與復變函數的基本概念 著重討論解析函數的定義、充要條件，解析函數的共扼性、調和性和保角性，以及常用的解析函數的性質 解析函數是本篇各章研究的主要對象,10,思考：復變函數和實變函數的區(qū)別和 聯(lián)系。,實變函數：實變量的函數。例：x,y 實變量；f (x,y) 實變函數 復變函數：復變量的函數，實變函數的推廣。 實數實變量實變函數 復數復變量復變函數,11,第1章 復變函數與解析函數,內容 1.1 復數 1.2 復變函數 復變函數的極限與連

5、續(xù) 1.3 復變函數的導數柯西一黎曼條件 1.4 解析函數,1.1 復數,本節(jié)討論復數的基本概念，復數的幾何表示法，復數的代數運算和復數序列的極限,13,1.1.1 復數的定義和基本概念 1.1.2 復數的幾何表示 1.1.3 復數的運算規(guī)則,14,1.1.1 復數的定義和基本概念,在實數范圍內，代數方程 z2+1=0 沒有解 如果把數域擴大，則可得到兩個根， 我們把 * 稱為虛數單位，并規(guī)定它與實數在一起可進行通常的四則運算 這樣，形如 z=x+iy 的數（其中x,y為實數）稱為復數x與y分別稱為復數的實部與虛部，記作 x=Rez， y=Imz,* i 為瑞士著名數學家和物理學家歐拉（Eul

6、er) 1777年首次采用記號，稱為虛數單位,15,實數和純虛數是復數的特殊情形,如 2=z=2+i0 實部為2，虛部為0，是純實數 4i=z=0+i4 實部為0，虛部為4，是純虛數 當x1=x2，y1=y2時，則稱z1=x1+iy1與z2=x2+iy2相等。 當x1=x2，y1= - y2時，則稱z1=x1+iy1與z2=x2+iy2 互為共軛復數。 常用z* 表示z的共扼復數。 (z* )* =z 例： z1=2+3i與z2=2-3i 稱z1與z2互為共軛復數。,16,復數能不能比較大小?!,17,1.1.2 復數的幾何表示,復數可以用平面上的點來表示，稱為復數的平面表示法； 球面上的點來

7、表示，稱為球面表示法。,18,1. 復數平面表示法,在復數平面中可以引入笛卡爾 直角坐標，也可以引人平面極坐標 在使用直角坐標時，用平面上的 點 (x,y) 表示復數 z = x + iy 平面上的一點(x,y) 就與一個復數 z = x+iy 相對應，而平面上所有的點就與全體復數一一對應， xoy平面就稱為復平面 每一復數還可以用一個矢量來表示矢量由坐標原點指向點(x,y)，如圖1.1所示，稱為復矢量,19,在使用平面極坐標時，復數平面上的點可用極坐標 (，) 表示，它與x , y的關系為:,從笛卡爾直角坐標變換到平面極坐標，就可從復數的代數表示式變換到三角表示式:,這里為復矢量的長度，稱為

8、復數的模,j為復矢量與x軸的夾角，稱為復數的輻角,20,一個復數對應于無限多個輻角， 設j0是其中的一個，則 通常用argz表示輻角Argz的主值，主值的取值范圍是 復數z=0的輻角沒有確定值，說”z=0”的輻角等于多少”是沒有意義的。 用極坐標表示一個復數z 時， 輻角Argz 的值不唯一,21,（3）指數表示,復數的指數表示為 z reij （1.1.10) 利用歐拉公式eij = cosj+isinj可以將復數的三角表示變換為指數表示 z reij = r(cosj+isinj) （1.1.11),22,下面舉例說明從復數的代數表示式到三角表示式的變換。 例1 求 的三角表示式與指數表示

9、式。 解,本題的關鍵在于求出所給的復數的模與幅角，并注意到點位于第二象限，故有,23,2. 用復數球面表示復數無窮遠點,正如復數平面上的每一點與一個復數一一對應，因而可以用復數平面上的點表示復數；復數球面上的每一點也可以與一個復數一一對應，所以可以用復數球面上的點表示復數 。,24,首先，過復數平面的坐標原點。作一個球面與復數平面相切（圖1. 2).然后過。作復數平面的垂線交球面于N點，稱為北極點再作射線NP交球面于P點這樣，球面上的P點與平面上的P點一一對應，因而球面上所有的點也與全體復數一一對應； 由圖1.2可見，復數平面上以O為圓心的圓L上的點 與復數球面緯線L上的點相對應； 圓L內部的

10、點與球面緯線L下方的點相對應; 當平面上圓L的半徑時，球面上的緯線L趨向球頂并縮成一點N .,25,由此可見，復平面的無限遠處，對應于球面上的一點N. 在這個意義上， 把復平面無限遠處看成一個“點”， 稱為無窮遠點 復平面的無限遠處看成一個“點”-無限遠點。,26,1.1.3 復數的運算規(guī)則,(1)加法 復數z1和z2 的和定義為 z = z1+z2 = (x1+iy1)+(x2+iy2) = (x1+x2)+i(y1+y2) 復數加法的幾何意義是：兩個復矢量的和遵守平行四邊形法則。 從右圖可以得到兩個重要不等式： （三角形兩邊長之和不小于第三邊） （三角形兩邊之差小于第三邊） 等號是在三角形

11、變成直線時成立 這些不等式在導出復變函數積分的基本性質時要用到,(1)加法 復數z1和z2 的和定義為 z = z1+z2 = (x1+iy1)+(x2+iy2) = (x1+x2)+i(y1+y2) 復數加法的幾何意義是：兩個復矢量的和遵守平行四邊形法則。 從右圖可以得到兩個重要不等式： （三角形兩邊之差小于第三邊） 等號是在三角形變成直線時成立 這些不等式在導出復變函數積分的基本性質時要用到,27,(2）減法 復數的減法是作加法的逆運算來定義的 若存在z，使得z2+z = z1， 則稱z為復數z1與z2之差，即 z = z1- z2 = (x1+iy1)-(x2+iy2) = (x1-x2

12、)+i(y1-y2),28,（3）乘法 復數z1與z2的乘積定義為,z = z1z2 = (x1+iy1)(x2+iy2) =(x1x2 y1y2) + i(x1y2 + y1x2) 特別是： (x+iy)(x-iy) = x2 + y2，即兩共扼復數的乘積等于它們的模的平方（簡稱模方） 利用復數的指數表示式計算復數的乘積，往往更為方便 兩復數乘積的幾何意義是將兩復數的模相乘而輻角相加,29,（4）乘方 乘方可由乘法規(guī)則得到，用n個z相乘,30,【例1.1.1-A】試證明棣莫弗(De Moivre)公式,證 由歐拉公式 代 入 式兩邊，即有,令=1，即為棣摩弗公式,31,【例1.1.1-B 】

13、試用cos及sin表示cosn及sinn. 解 在棣摩弗公式中，利用牛頓二項式展開 （cos+isin ）n ，即有 cosn+isinn = （cos+isin ）n,牛頓二項式展開公式,32,n/2記號常用來簡化公式的表達，6.1節(jié)將利用它來表示勒讓德多項式,由于求和式中k=2l 的項為實數，k=2l+1的項為虛數，根據上式兩邊的實部與虛部分別相等，即得,(1.1.30),(1.1.29),(1.1.31),33,（5）除法 復數的除法是作為乘法的逆運算來定義的，若存在z ，使得，則稱z2z=z1，則稱z為z1除以z2所得之商 同樣，利用復數的指數表示式將更方便,34,（6）開方 復數的開

14、方是乘方的逆運算。,將 開n次方，就是求滿足方程 的復數w，記作 為此，設 將w及z0代入,（k為整數）,即有,35,這樣，復數的n次根有n個不同值,可見，k=0與k=n得到相同的w，k=1與k=n1得到的w相同， 只有當k=0，1，n-1時，得到的w是不同的，即僅有n個。,36,37,【例1.1.2-B】如圖所示，已知 求 解 首先寫出z0的指數表示式 ，k為整數 四個不同的根是,38,1.1.4 復數序列的極限,1.復數序列 按一定順序排列的復數zn=xn+iyn，n=1，2，稱為復數序列，記作zn； 一個復數序列等價于兩個實數序列xn和yn的有序組合。,39,2.聚點與極限,(1)聚點

15、任給e0，存在無窮多個zn 滿足 | zn z |0，存在N(e)0，使當nN(e)時，有 | zn z | e （1.1.35) 則稱：為復數序列zn的極限，或稱復數序列收斂于z，記作,40,(3)有的序列可以有多個聚點，當序列的極限存在時，序列的極限是序列的唯一聚點,在實數序列xn中，數值最大的聚點稱為xn的上極限，記作 ； 數值最小的聚點稱為序列xn的下極限，記作 對于序列(l.1.37)，有 上極限與下極限的概念在計算級數收斂半徑時要用到（見3.2節(jié)）,41,3.復數序列極限存在的充要條件柯西判別法 任給e 0，存在自然數 N(e) ，當nN(e)時，對任意正整數p，有 | zn z

16、|0，存在自然數N(e)，使當nN(e)時，有 | zn | M（1.1.40) 則zn 趨于無窮，記作,42,作業(yè)- 1.1 第8頁,1.2 復變函數 復變函數的極限與連續(xù),本節(jié)介紹區(qū)域的概念， 復變函數的定義及其幾何意義，復變函數的極限與連續(xù),44,1.2.1 區(qū)域,如果將函數的概念由實數域推廣到復數域，那么自變量取值的范圍就是復平面上的區(qū)域（稱為定義域），如圖1.4所示，開區(qū)域D是指邊界線L所包圍的區(qū)域（不含邊界線L),如果要給區(qū)域作出嚴格的定義，則要介紹有關點集（點的集合）的一些基本概念,45,點集（點的集合）的一些基本概念,(1-a) 點z0的e鄰域 它是指以點z0 為圓心，任意小的

17、正實數e為半徑的一個開圓，即滿足 |z- z0 | e (1.2.1) 的點的集合。 (1-b)點z0的無心鄰域 它是指滿足 0 |z- z0 | e （1.2.2) 的點的集合，與前者的區(qū)別就是不包含點z0.,46,(2)點集D的內點,若某點的。鄰域中所有的點都屬于點集D，則此點稱為點集D的內點，如圖1.4中的a點。,47,(3)區(qū)域,滿足如下兩個條件的點集D稱為區(qū)域（開區(qū)域）： 每一點都是內點（開集性）； 點集D中的任意兩點都可以用一條由該點集D的點構成的曲線連接起來（連通性）區(qū)域D通常用不等式表示，例如 |z|R（1.2.3) 表示以O為圓心，R為半徑的開圓，如圖1.5所示,48,(4)

18、邊界點 若某點不屬于D，但其e鄰域中含有屬于D的點，則該點稱為D的邊界點。在圖1.4的b點就是區(qū)域D的邊界點（注意，b點不屬于D） 邊界點的全體就構成邊界L；在圖1.5中，|z|=R就是區(qū)域D的邊界線,49,開區(qū)域D加上邊界L稱為 閉區(qū)域 例如，開圓|z|R加上邊界線|z|=R就構成閉圓|z|R 通常還把不包括無窮遠點的平面叫作全平面，把包括無窮遠點的整個平面稱為閉平面。,(5)閉區(qū)域,50,(6) 單通區(qū)域與復通區(qū)域,圖1.6(a)，(b)，(c)給出的三個區(qū)域都具有連通性：區(qū)域內的任意兩點均可用一根在區(qū)域內的曲線把它們連接但是，它們的邊界分別由一根、兩根和三根不相連接的閉合曲線構成（圖中的

19、斜線部分不屬于D).,區(qū)域不相連接的邊界數目稱為連通階數，n=1的區(qū)域稱單通區(qū)域，nl的區(qū)域稱復通區(qū)域兩者的本質區(qū)別是：區(qū)域中任一閉合曲線能否連續(xù)變形而縮成一點“連續(xù)變形”是指曲線變形時不跨越不屬于D的(標有斜線的)區(qū)域,51,以后常常要將在單通區(qū)域成立的定理推廣到復通區(qū)域，這只要通過作割線(見圖1.7中的割線L”)將圖1.7復通區(qū)域割開，變成單通區(qū)域即可,52,例1.2.1 在復平面上畫出下述區(qū)域，并指出區(qū)域的連通性：,53,(2)首先把輻角不等式變?yōu)殛P于x,y的不等式令,54,圖1.9的區(qū)域(以灰色作標記)在w平面和z平面分別由下面三個方程界定：,55,如圖 所示，給出幾種典型的區(qū)域,56

20、,1.2.2 復變函數的定義及幾何意義,復變函數的定義 如果區(qū)域D內的每一個z值，均有一個或多個w值與之對應，則w稱為z的函數，記作 wf(z) (1.2.15) 如果令 wu+iv (1.2.16) 并將z=x十iy代入，則有 wf (z)u(x,y)十iv(x,y) (1.2.17) 這表明，復變函數其實是兩個二元實變函數的有序組合因此，復變函數的許多性質(當然不是全部)都是實變函數相應性質的直接推廣,57,如果一個z值僅對應一個w值，則 w=f(z) 稱為單值函數，否則稱為多值函數 本書主要討論單值函數，后者僅于1.4節(jié)，5.2節(jié)及6.4節(jié)涉及,58,復變函數的幾何意義由Z平面到W平面的

21、映射 設w=f(z)是在區(qū)域D中的單值函數，即Z平面上的一點z=x+iy與W平面上的一點w=u+iv相對應 例如，對于復變函數 w=f(z)=z+1 來說，Z平面上的 z=1+i 點與W平面上的w=z+1=2+i 點相對應。當z在Z平面上沿某一曲線L變動時，與它相應的w也將在W-平面沿另一曲線L變動。曲線L與L上的點根據w=f(z)的關系一一對應，這種對應關系稱為由Z平面到W平面的一個映射 這就是復變函數的幾何意義。,59,60,61,1.2.3 復變函數的極限,1. 函數極限的定義 設w=f(z)是在z0點的無心鄰域中定義的單值函數若任給實數e 0，存在實數d 0，使當0|z- z0|d 時

22、，有 |f (z)-w0|e (1.2.25) 則稱zz0時f(z)的極限為w0 ，記作,由定義可見，極限值w0是與zz0的方式無關的，換句話說，當z以不同方式趨于z0，如果f(z)的取值不同，則其極限不存在。,62,由于w= f(z)=u(x,y) +iv(x,y)，因此復變函數中極限的定義可以歸結為實變二元函數極限的定義，并且復變函數極限的性質就是實變函數極限性質的自然推廣,63,2. 函數極限的性質,64,1.2.4 復變函數的連續(xù),1.連續(xù)函數的定義 設w=f(z)是在z0點鄰域中定義的函數若任給實數e 0， 存在實數d 0，使當|z- z0|d 時，有 |f (z)-w0|e (1.

23、2.30) 則稱函數w=f(z)在z0處連續(xù)。,65,1.2.4 復變函數的連續(xù),在極限的定義中，只要求在z0點的無心鄰域 0|z- z0|d 中 |f (z)-w0|e ，w0 可以不等于f (z0)； 在連續(xù)的定義中要求在z0 點的鄰域|f (z) -f (z0)|e f(z)是 x,y的函數，因而w=u+iv也是 x,y的函數，f (z)在z0 =x0+iy0連續(xù)與u(x,y)，v(x,y)必在(x0,y0)連續(xù)是等價的，f(z) =f (z0) 。 如果w=f(z)在D內每一點連續(xù)，則稱函數在D內連續(xù)。,66,2.連續(xù)函數的性質,在實變函數中有關連續(xù)函數的性質，可以自然地推廣到復變函數

24、中來 首先，如果f (z)在D上連續(xù)，則f(z)在D上一致連續(xù)即任給實數e 0，存在實數d 0，使D上任何兩點z 和z 滿足| z - z | d 時，必有 |f(z )一f (z )|e (1.2.31) 在連續(xù)的定義中，只要求f (z)在z0點的鄰域中有定義，并且z0是定點，z為動點；在一致連續(xù)的定義中，要求f (z)閉區(qū)域D上連續(xù)，且z 和z“ 為 D上的兩動點,67,2.連續(xù)函數的性質,類似地，連續(xù)函數的和、差、積、商(在分母不為零的點)仍為連續(xù)函數，連續(xù)函數的復合函數仍為連續(xù)函數 以上性質的證明，可參看實變函數相應性質的證明,68,作業(yè)- 1.2 第14頁,1.3 復變函數的導數 柯

25、西-黎曼條件,本節(jié)首先介紹復變函數導數和微分的定義，進而導出復變函數可導的充分必要條件； 定理的證明過程表明，柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)條件是復變函數可導的必要條件； 最后，討論復變函數導數的幾何意義,70, 1.3.1 導數與微分,1.導數的定義與導數公式 設w=f(z)是區(qū)域D中定義的單值函數，若在D內某點z，極限 存在，則稱函數f(z)在z點可導，并稱此極限值為f(z)在z點的導數，記作,71,討論 第一，由極限的定義可知，無論D z以任何方式趨于零，式(1.3.1)均應趨于同一有限的極限值 第二， f(z)在z點可導，則f(z)必在z點連續(xù)。因為，若f(z)不連續(xù)，即當

26、D z0 時，Dw= f (z+D z)- f (z)不趨于零，式(1.3.1)必定沒有有限的極限，與f(z)在z點可導矛盾。 第三，由于復變函數導數的定義與實變函數導數的定義在形式上相同，實變函數所有導數公式都可以推廣到復變函數中來 特別是，當f1(z)和f2(z)都存在時， f1(z)和f2(z) 的和、差、積、商以及復合函數的導數公式也具有與實變函數相同的形式例如，復合函數導數的公式為,72,2.微分的定義與微分公式,73,這樣，導數也可理解為函數微分除以自變量微分之商，稱為微商 復變函數的微分公式也具有與實變函數相同的形式，此處不再贅述 現(xiàn)在，我們轉向研究函數w= f (z)可導的條件

27、是什么,74,1.3.2 復變函數可導的充分必要條件,定理 函數f(z) = u(x,y) + iv(x,y)在(x,y)點可導的充要條件是 (1) u(x,y)與v(x,y)在(x,y)點可微； (2) u(x,y)與v(x,y)在(x,y)點滿足柯西一黎曼條件(簡稱C-R條件),采用簡寫記號,C-R條件可簡寫為,采用簡寫記號,C-R條件可簡寫為,75,證明 (1) 充分性,由u，v可微，可知u，v的全微分存在，即,其中1和2是無窮小量（當x 與y0）對于任意的z=x+iy有,76,利用C-R條件，把對y的偏導改為對x的偏導，消去公因子，即有 利用 ，當z0時， 即x0及y0時，上式第二項趨

28、于零， 即,即f(z)可導，充分性得證,77,(2)必要性,若f (z)在z點可導，則式(1.3.1)有確定的極限,78,將式(1.3.19)與式(1.3.20)聯(lián)立即得C-R條件，必要性得證,79,討論,第一，從“函數可微”的定義可見，判斷式(1.3.4)的第二項是否關于r的高階小量要費些周折通常以可微的充分條件(u，v有連續(xù)的偏導數)來代替*因為要判斷u，v是否遵守C-R條件就要計算ux，uy，vx，vy，考察它們是否連續(xù)是輕而易舉的 第二，從定理的證明過程可見；C-R條件是f(z)可導的必要條件，而不是充分條件例1.3.1是一個非常形象的例子,80,81,82,1.3.3 復變函數導數的

29、幾何意義,設函數w=f(z)在z=z0點有導數,由復變函數的幾何意義可知，當z在z平面沿曲線L變動時，w在w平面沿曲線L變動(圖1.12),(1.3.22),83,84,由等式兩邊復數的模與輻角相等(一般來說，兩者輻角可相差2kp，便有,由此可得導數的幾何意義： 導數的模 |f(z0)|表示通過點z0 的無窮小線段Dz映射為w平面的Dw時，長度的放大系數 導數的輻角argf(z0)表示曲線L上z。點的切線與曲線L上的w0點的切線的夾角，即從z平面到w平面映射前后切線的轉動角,85,作業(yè)- 1.3 第19頁,1.4 解析函數,本節(jié)介紹解析函數的定義; 函數解析的充要條件及解析函數的共扼性、調和性

30、和保角性; 在此基礎上介紹從解析函數的虛部(或實部)求解析函數的四種常用方法最后介紹初等解析函數,87,1.4.1 解析函數的定義,若函數f(z)在區(qū)域D內點點可導，則稱f(z)為D內的解析函數 若函數f(z)在z0點的鄰域( |z - z0 |e )點點可導，則稱f(z)在z0點解析，它比“f(z)在z0點可導”要求為高(參看例1.4.1). 若函數f (z)在包含D的某個開區(qū)域D+內解析，則稱f(z)在閉區(qū)域D中解析,88,如果f1(z)和f2(z)在D內解析，即f1(z)與f2(z) 在D內點點可導，1.3節(jié)指出f1(z)和f2(z)的和、差、積、商(f2(z)0)也在D內點點可導，可見

31、它們均為解析函數 特別是，令f1(z)=1，則解析函數f2(z)的倒函數g(z)也是解析函數(當然，仍要求f2(z)0),89,【例1.4.1】函數f(z)=|z|2在z=0點是否可導？是否解析？,解 由f(z)=|z|2=x2 +y2 ，得 u=x2 +y2， v=0 ，由此得 ux = 2x，uy= 2y， vx = 0，vy = 0 即u，v在z=0點可微且滿足C-R條件，可見f(z)僅于 z=0 點可導 因為f(z)在z=0的鄰域除z=0點外均不可導，故f (z)在z=0不解析 若函數f(z)在某點a沒有定義，或者在a點不解析，則稱a點為f(z)的奇點例如z=a就是函數f(z)=1/(

32、1-z)的奇點,90,1.4.2 函數解析的充要條件,定理: 函數f(z)在區(qū)域D內解析的充要條件為 (1) f(z)在D內連續(xù)； (2) u，v遵守C-R條件,91,既然f(z)在D內解析定義為f(z)在D內點點可導，而f(z)可導的充要條件是u，v可微且滿足C-R條件，自然會得出函數解析的充要條件是u，v在D內可微且滿足C-R條件 1923年，Looman等試圖利用f(z)連續(xù)代替u，v可微作為函數解析的充要條件，可惜他們的證明有缺陷10年之后前蘇聯(lián)數學家在1933年完成了這一證明，定理的證明超出本書的范圍,92,1.4.3 解析函數的共扼性、調和性和保角性,1解析函數的共扼性 解析函數的

33、實部與虛部由C-R條件聯(lián)系，稱為解析函數的共扼性。 首先，可以利用解析函數的虛部確定其實部，或用實部確定其虛部，準確到一個可加常數如果給出f(z)在D內某一點的值，則可加常數便能完全確定 設f (z)在D內解析，已知v(x,y)，利用C-R條件可得 duuxdx+uydy = vydx-vxdy (1.4.1) 因為它是一個全微分，可以采用四種方法求出u(x,y)，分別稱為全微分法，曲線積分法，不定積分法和求導法。,93,94,95,(3)不定積分法,將ux=-4y對x作不定積分，由于被積函數是二元函數，故 “積分常數”應與積分變量x無關，但它可以是另一變量y的函數，即,96,(4)求導法由,

34、97,解析函數共扼性的幾何意義：曲線族u(x,y)=C1(稱為等u線)與曲線族v(x,y)=C2 (稱為等v線)互相正交,證明 由矢量分析(見附錄A)可知，等u線的法線沿u的方向，等v線的法線沿v的方向，要證明兩曲線族正交，只要證明u與v正交即可，亦即證明兩矢量的標積為零 u v0 (1.4.13) 由C-R條件 利用這個結論容易求得靜電場等勢線與電力線的分布，詳見14.3節(jié)“用保角變換法求解邊值問題”。,98,2.解析函數的調和性,調和函數的定義：遵守二維拉普拉斯方程 (l.4.15) 的函數u(x,y)，v(x,y)稱為調和函數 解析函數的實部與虛部均為調和函數，這個性質稱為解析函數的調和

35、性 證明 由f(z)在D內解析，將C-R條件ux = vy和uy=-vx分別對x和y求偏導后相加，即得 (l.4.16) 這就證明了f(z)的實部為調和函數，同理可證其虛部亦為調和函數。,99,滿足C-R條件的兩個調和函數稱為共扼調和函數 解析函數的實部與虛部是一對共扼性調和函數,100,3.解析函數的保角性,設w=f(z)在D內解析，D內的z0點有f(z0)0，如圖1.13 (a)所示L1和L2是通過z0點的兩任意曲線，兩曲線在z0點的兩切線夾角為q = q1-q2 w=f(z)的幾何意義是從z平面到w平面的映射設點z0與w平面的w0相對應，曲線L1和L2 分別與w平面曲線,L1和L2 相對

36、應在w0點的兩切線的夾角為 q= q1-q2 ，如圖1.3(b)所示,101,解析函數保角性,解析函數w=f(z)在f(z0)0的點處所實現(xiàn)的映射是保角的，即映射前后兩切線的夾角是相等的：q=q.這個性質稱為解析函數的保角性,102,解析函數保角性的證明,由于導數值與z0的方式無關，故分別沿曲線L1和L2取z z0來計算f(z0)時，均有 (1.4.17 ) 又由導數的幾何意義可知， arg f(z0)表示映射前后切線的轉動角，這樣 (1.4.18) 由右邊兩式相等，得 q1-q1 = q2 -q2 移項后便有 q1-q2= q1-q2 由此得 q = q,103,解析函數的三個性質，共扼性、

37、調和性、保角性,共扼性直接來自C-R條件 調和性表現(xiàn)為 保角性則由于解析函數導數的輻角 argf(z)=q1-q1 = q2 -q2 這三個性質都是從微分角度考察解析函數得到的，在第2章則從積分角度，第3章從級數展開的角度來研究解析函數的性質 。,104,1.4.4 初等復變函數,初等復變函數是初等實變函數的自然推廣，只要把y = f(x)的自變量x和函數y分別改為復自變量z和復函數w，即w=f(z). 這里著重介紹它們作為復變函數所特有的性質相同的性質不再贅述 (1) 冪函數 w= zn， 多項式 有理函數 是實變函數 的簡單推廣，其性質與實變函數相似 。,105,(2)指數函數的定義,復變量指數函數的特有性質是 ez以2pi為周期由定義(1.4.19)出發(fā)，有,在實數域，ex0；在復數域，ez可小于零，如eip=-1. ez在無窮遠點無定義因為當z沿不同方向趨于無窮遠點時，