1、2.1 復變函數(shù)的積分,（一）復變函數(shù)積分的定義,復平面上的路積分 復平面分段光滑曲線 l 上定義的連續(xù)函數(shù) f(z)，作和,1,A ,x,y,o, B,z0,zn,l,z1,zk-1,zk,k,第二章 復變函數(shù)的積分(2),若,2,即,分量形式：f(z)=u(x,y)+iv(x,y), z=x+iy,參數(shù)形式：曲線 l 的參數(shù)方程 x=x(t), y=y(t), 起始點A 和結束點 BtA, tB,存在且與k的選取無關, 則這個和的極限稱為函數(shù) f(z) 沿曲線 l從 A到 B的路積分，記為,3,（二）復變函數(shù)積分的性質,因為復變函數(shù)的路積分可以歸結為兩個實變函數(shù)的線積分，所以實變函數(shù)線積分

2、的許多性質也適用于復變函數(shù)路積分。,1.常數(shù)因子可以移到積分號之外 2.函數(shù)和的積分等于各函數(shù)積分的和 3.反轉積分路徑，積分值變號,4,4.全路徑上的積分等于各分段上的積分之和 即： 如果 l=l1+l2+ln 5.積分不等式1： 6.積分不等式2： 其中 M 是 |f(z)| 在 l 上的最大值，L 是 l 的全長。,5,例 計算積分,一般而言，復變函數(shù)的積分不僅與起點和終點有關，同時還與路徑有關。,解：,6,2.2 柯西（Cauchy）定理 研究積分與路徑之間的關系 （一）單連通區(qū)域情形 單連通域 在其中作任何簡單閉合圍線，圍線內的點都是屬于該區(qū)域內的點。 單連通區(qū)域的Cauchy 定理

3、 ：如果函數(shù) f(z) 在閉單連通區(qū)域 中單值且解析， 則沿 中任何一個分段光滑的閉合曲線 l (也可以是 的邊界 ), 函數(shù)的積分為零。,復習數(shù)學分析中的Green公式:,試著證明 Cauchy 積分定理:,假定函數(shù)P(x,y),Q(x,y)及其對x、y偏導數(shù)是閉合曲線 l 及所圍單通區(qū)域 S上的連續(xù)函數(shù)，則,因 f(z)在 上解析，因而 在 上連續(xù)， 對實部虛部分別應用格林公式，將回路積分化成面積分,7,8,又u、v 滿足C-R條件,解：函數(shù) 根據(jù)Cauchy積分定理, 有,例 ：計算積分,推廣：若 f(z)在單連通域B上解析，在閉單連通域 上連續(xù)，則沿 上任一分段光滑閉合曲線 l (也可

4、以是 的邊界)，有,9,（二）復通區(qū)域情形,函數(shù)在區(qū)域上存在奇點，作一些適當?shù)拈]合曲線把這些奇點挖掉而形成的帶“孔”區(qū)域，即所謂的復通區(qū)域。,復連通區(qū)域的Cauchy 定理： 如果 f(z) 是閉復連通區(qū)域 中的單值解析函數(shù)，則,l 為外邊界線， li為內邊界線，積分沿邊界線正向。,證：作割線連接內外邊界線，復通區(qū)域變成了單通區(qū)域， f(z)在這單通區(qū)域上解析，由單通區(qū)域Cauchy 定理，有,10,沿同割線兩邊緣上的積分值相互抵消,沿內、外境界線逆時針方向積分相等。,11,柯西定理總結： 1. 若f(z)在單連通域B上解析，在閉單連通域 上連續(xù)，則沿 上任一分段光滑閉合曲線l(也可以是 的邊

5、界)的積分為零； 2. 閉復連通區(qū)域上的解析函數(shù)沿所有內外境界線正方向的積分為零； 3. 閉復連通區(qū)域上的解析函數(shù)沿外境界線逆時針方向的積分等于沿所有內境界線逆時針方向積分之和.,12,由Cauchy 定理可推出: 在解析域中，積分路徑在保持兩端不動的前提下可連續(xù)變形(不跳過“孔”不解析的區(qū)域)。,故,12,2.3 不定積分（原函數(shù)）,F(z) 的性質： (1) F(z) 在B上是解析的； (2) F (z)= f(z) 即 F(z) 是 f(z) 的一個原函數(shù)。,根據(jù) Cauchy 定理，若函數(shù) f(z) 在單連通區(qū)域 B上解析,則沿B上任一分段光滑曲線 l 的積分 只與起點和終點有關，而與

6、路徑無關。因此如果固定起點 z0 而變化終點 z, 可以定義一個以終點z為自變量的單值函數(shù)F(z):,13,原函數(shù)不是唯一的，原函數(shù)之間僅僅相差一復常數(shù)。,14,還可以證明(Newton-Leibniz 公式)：,例：求積分 ，其路徑為直線段。 解：由于 于全平面解析，故只要求出 f(z) 的任一個原函數(shù)即可.,15,例(p14):已知 解析函數(shù)實部 u=x2-y2 ,求 f(z),故,解：根據(jù)(p10),16,例(重要):計算積分( n 為整數(shù)）,(2)如果 l 包含 點, 又要分兩種情況：,解：(1)如果 l 不包含 點，被積函數(shù)總解析,按柯西定理， I=0;,(a) n0, 因被積函數(shù)解

7、析, 故 I=0;,(b) n0,被積函數(shù)在l 內有奇點 ， 由柯西定理推論可知，l 可連續(xù)變形為以 為圓心而半徑為R的圓周C,在 C 上,17,(一) n-1,(二) n=-1,總結起來有,18,2.4 柯西（Cauchy）公式 解析函數(shù)是一類具有特殊性質的函數(shù)，特殊性表現(xiàn)之一是，在解析區(qū)域各處的函數(shù)值并不相互獨立，而是密切相關，這種關聯(lián)的表現(xiàn)之一就是Cauchy 積分公式. (一)單連通域情形 若 f(z)在閉單通區(qū)域 上單值解析；l 為 的境界線，為 內的任一點,則有Cauchy 積分公式：,柯西積分公式的數(shù)學意義：一個解析函數(shù)f(z)在區(qū)域B內的值由它在該區(qū)域邊界上的值 f(z)所決定

8、。,19,證明： 由 p28（2.3.4）式,從而僅需證明,20,對右端值作一估計,因,于是,（2.4.2）左端與 無關，故必有,21,如果 點在 內任意變動，上式也成立。因此用z 代替 ，用代替z，將柯西公式改寫為,對復連通區(qū)域，（2.4.3）式仍成立只要將 l 理解成所有境界線，且均取正向.,22,如果 點在 內任意變動，上式也成立。因此用z 代替 ，用代替z，將柯西公式改寫為,對復連通區(qū)域，（2.4.3）式仍成立只要將 l 理解成所有境界線，且均取正向.,一個解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的平均值。,23,（二）*無界區(qū)域的Cauchy積分公式 如果f(z) 在 l 外部解析，以z=

9、0為圓心，以充分大的半徑 R 作圓周CR ，使回路 l 包含于 內，有：,24,（三）Cauchy 積分公式的重要推論（任意次可導?。?由于z為區(qū)域的內點,積分變數(shù) 在區(qū)域的境界線上, z- 0 ,積分號下的函數(shù) 在區(qū)域上處處可導，因此，可在積分號下對z求導,反復在積分號下對z求導可得,解析函數(shù)任意階導數(shù)都存在,并且都是這個區(qū)域內的解析函數(shù).同樣，對于復通區(qū)域，將 l 理解為所有境界線,且取正向.,25,例 計算積分 I, 其中 l 為不經(jīng)過點 0 和 1 的正向曲線。 解： (1) 如果 0 和 1 都不在l 中，則被積函數(shù)解析，因 此, 由 Cauchy 定理得 I=0;,26,（3）若僅 1 在 l內,27,而在 l0 上及l(fā)0 包圍的圓內 f0(z) 解析，同樣，在 l1