1、Mathematical Modeling,Tao,Yu School of Mathematics,Physics,and Biology Engineering IMUST ,第五章 微分方程模型,5.1 追擊問題 5.2 山崖高度的估算 5.3 經(jīng)濟增長模型 5.4 正規(guī)戰(zhàn)與游擊戰(zhàn) 5.5 萬有引力定律的發(fā)現(xiàn),動態(tài)模型,描述對象特征隨時間(空間)的演變過程,分析對象特征的變化規(guī)律,預報對象特征的未來性態(tài),研究控制對象特征的手段,根據(jù)函數(shù)及其變化率之間的關系確定函數(shù),微分方程建模,根據(jù)建模目的和問題分析作出簡化假設,按照內(nèi)在規(guī)律或用類比法建立微分方程,5.1 追擊問題,應用數(shù)學知識實現(xiàn)某種

2、想法 研究要步步深入,我方巡邏艇發(fā)現(xiàn)敵方潛水艇。與此同時敵方潛水艇也發(fā)現(xiàn)了我方巡邏艇，并迅速下潛逃逸。設兩艇間距離為60哩，潛水艇最大航速為30節(jié)而巡邏艇最大航速為60節(jié)，問巡邏艇應如何追趕潛水艇。,這一問題屬于對策問題，較為復雜。討論以下簡單情形：,假設潛艇發(fā)現(xiàn)自己目標已暴露，立即下潛，并沿著直 線方向全速逃逸，逃逸方向我方并不知道。,設巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)位于B處的潛水艇，取極坐標，以B為極點，BA為極軸，設巡邏艇追趕路徑在此極坐標下的方程為r=r()，見圖1。,由題意， ，故ds=2dr,圖1可看出，,故有:,先使自己到極點的距離等于潛艇到極點的距離,然后按對數(shù)螺線航行，即可追上潛艇。 （用

3、數(shù)學建模解決實際問題即用數(shù)學思想實現(xiàn)某種思想）,追趕方法如下：,5.2 山崖高度的估算,假如你站在崖頂且身上帶著一只具有跑表功 能的計算器，你也許會出于好奇心想用扔下 一塊石頭聽回聲的方法來估計山崖的高度， 假定你能準確地測定時間，你又怎樣來推算 山崖的高度呢，請你分析一下這一問題。,方法一,我學過微積分，我可以做 得更好，呵呵。,令k=K/m，解得,代入初始條件 v(0)=0，得c=g/k，故有,再積分一次，得：,若設k=0.05并仍設 t=4秒，則可求 得h73.6米。,聽到回聲再按跑表，計算得到的時間中包含了 反應時間,進一步深入考慮,不妨設平均反應時間 為0.1秒 ，假如仍 設t=4秒

4、，扣除反應時間后應 為3.9秒，代入 式，求得h69.9米。,多測幾次，取平均值,再一步深入考慮,5.3 經(jīng)濟增長模型,增加生產(chǎn) 發(fā)展經(jīng)濟,增加投資,增加勞動力,提高技術,建立產(chǎn)值與資金、勞動力之間的關系,研究資金與勞動力的最佳分配，使投資效益最大,調(diào)節(jié)資金與勞動力的增長率，使經(jīng)濟(生產(chǎn)率)增長,1. 道格拉斯(Douglas)生產(chǎn)函數(shù),產(chǎn)值 Q(t),F為待定函數(shù),資金 K(t),勞動力 L(t),技術 f(t),= f0,模型假設,靜態(tài)模型,每個勞動力的產(chǎn)值,每個勞動力的投資,z 隨著 y 的增加而增長，但增長速度遞減,1. 道格拉斯(Douglas)生產(chǎn)函數(shù),含義？,Douglas生產(chǎn)函

5、數(shù),QK 單位資金創(chuàng)造的產(chǎn)值,QL 單位勞動力創(chuàng)造的產(chǎn)值, 資金在產(chǎn)值中的份額,1- 勞動力在產(chǎn)值中的份額,更一般的道格拉斯(Douglas)生產(chǎn)函數(shù),1. Douglas生產(chǎn)函數(shù),w , r , K/L ,求資金與勞動力的分配比例K/L(每個勞動力占有的資金) ，使效益S最大,資金和勞動力創(chuàng)造的效益,資金來自貸款，利率 r,勞動力付工資 w,2）資金與勞動力的最佳分配（靜態(tài)模型）,3) 經(jīng)濟(生產(chǎn)率)增長的條件 (動態(tài)模型),要使 Q(t) 或 Z(t)=Q(t)/L(t) 增長, K(t), L(t)應滿足的條件,模型假設,投資增長率與產(chǎn)值成正比 (用一定比例擴大再生產(chǎn)),勞動力相對增長率

6、為常數(shù),Bernoulli方程,產(chǎn)值Q(t)增長,3) 經(jīng)濟增長的條件,勞動力增長率小于初始投資增長率,每個勞動力的產(chǎn)值 Z(t)=Q(t)/L(t)增長,3) 經(jīng)濟增長的條件,5.4 正規(guī)戰(zhàn)與游擊戰(zhàn),戰(zhàn)爭分類：正規(guī)戰(zhàn)爭，游擊戰(zhàn)爭，混合戰(zhàn)爭,只考慮雙方兵力多少和戰(zhàn)斗力強弱,兵力因戰(zhàn)斗及非戰(zhàn)斗減員而減少，因增援而增加,戰(zhàn)斗力與射擊次數(shù)及命中率有關,建模思路和方法為用數(shù)學模型討論社會領域的實際問題提供了可借鑒的示例,第一次世界大戰(zhàn)Lanchester提出預測戰(zhàn)役結局的模型,一般模型,每方戰(zhàn)斗減員率取決于雙方的兵力和戰(zhàn)斗力,每方非戰(zhàn)斗減員率與本方兵力成正比,甲乙雙方的增援率為u(t), v(t),f

7、, g 取決于戰(zhàn)爭類型,x(t) 甲方兵力，y(t) 乙方兵力,模型假設,模型,正規(guī)戰(zhàn)爭模型,甲方戰(zhàn)斗減員率只取決于乙方的兵力和戰(zhàn)斗力,雙方均以正規(guī)部隊作戰(zhàn),忽略非戰(zhàn)斗減員,假設沒有增援,f(x, y)=ay, a 乙方每個士兵的殺傷率,a=ry py, ry 射擊率， py 命中率,正規(guī)戰(zhàn)爭模型,為判斷戰(zhàn)爭的結局，不求x(t), y(t)而在相平面上討論 x 與 y 的關系,平方律 模型,游擊戰(zhàn)爭模型,雙方都用游擊部隊作戰(zhàn),甲方戰(zhàn)斗減員率還隨著甲方兵力的增加而增加,f(x, y)=cxy, c 乙方每個士兵的殺傷率,c = ry py ry射擊率 py 命中率,游擊戰(zhàn)爭模型,線性律 模型,混合戰(zhàn)爭模型,甲方為游擊部隊，乙方為正規(guī)部隊,乙方必須10倍于甲方的兵力,設 x0=100, rx/ry=1/2, px=0.1, sx=1(km2), sry=1(m2),5.5 萬有引力定律的發(fā)現(xiàn),背景,航海業(yè)發(fā)展,天文觀測精確,“地心說”動搖,哥白尼：“日心說”,伽里略：落體運動,開普勒：行星運動三定律,變速運動的計算方法,牛頓：一切運動有力學原因,牛頓運動三定律,牛頓：研究變速運動，發(fā)明微積分（流數(shù)法）,開普勒三定律,牛頓運動第二定律,萬有引力定律,自然科學之數(shù)學原理(1687),模型假設,極坐標系 (r,),太陽 (0,0),1. 行星軌道,a長半