1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計習(xí)題及答案第六章 1某廠生產(chǎn)玻璃板，以每塊玻璃上的泡疵點個數(shù)為數(shù)量指標(biāo)，已知它服從均值為的泊松分布，從產(chǎn)品中抽一個容量為的樣本，求樣本的分布. 解 樣本的分量獨立且均服從與總體相同的分布，故樣本的分布為 ， 2加工某種零件時，每一件需要的時間服從均值為的指數(shù)分布，今以加工時間為零件的數(shù)量指標(biāo)，任取件零件構(gòu)成一個容量為的樣本，求樣本分布。 解 零件的加工時間為總體，則，其概率密度為 于是樣本的密度為 3一批產(chǎn)品中有成品個，次品個，總計個。今從中取容量為2的樣本（非簡單樣本），求樣本分布，并驗證：當(dāng)時樣本分布為（6.1）式中的情況。 解 總體，即于是樣本的分布如下 ， ， 若時，則

2、，所以 以上恰好是（6.1）式中的情況. 4設(shè)總體的容量為100的樣本觀察值如下：15201520252530153025153025353035203530252030202535302520302535251525352525303525352030301530403040152540202520152025254025254035253020352015352525302530253043254322202320251525202530433545304530454535作總體的直方圖 解 樣本值的最小值為15，最大值為45取，為保證每個小區(qū)間內(nèi)都包含若干個觀察值，將區(qū)間分成8個相等的區(qū)

3、間。用唱票法數(shù)出落在每個區(qū)間上的樣本值的個數(shù)，列表如下：分組區(qū)間頻數(shù)頻率14.518.518.522.522.526.526.530.530.534.534.538.538.542.542.546.510162920492100.100.160.290.200.040.090.020.101001.00以組距4為底，以為高作矩形即得的直方圖14.522.530.538.546.5 5某射手獨立重復(fù)地進行20次打靶試驗，擊中靶子的環(huán)數(shù)如下：環(huán)數(shù)10987654頻數(shù)2309402用表示此射手對靶射擊一次所命中的環(huán)數(shù)，求的經(jīng)驗分布函數(shù)，并畫出其圖像。 解 設(shè)的經(jīng)驗分布函數(shù)為則0.10.30.50.7

4、5109867451 6設(shè)是來自總體的簡單隨機樣本，已知證明當(dāng)充分大時，隨機變量近似服從正態(tài)分布，并指出其分布參數(shù). 證 因獨立同分布，所以所以獨立同分布，由獨立同分布下的中心極限定理（列維一林德貝格定理），當(dāng)充分大時 近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，所以當(dāng)充分大時，近似地有 7設(shè)是來自總體的一個樣本，服從參數(shù)為的指數(shù)分布，證明. 證 獨立同分布，今先證. 設(shè)的分布函數(shù)為則 所以的密度為注意到，則的概率密度為可見. 由分布的可加性立即得到 8由附表查下列各值： 解 ， ， . 9證明若，則 證 因，所以可表示為，其中相互獨立，且均服從，于是 10已知，求證 證 ，則可表示為，其中且相互獨立，于是 . 1

5、1設(shè)是來自正態(tài)總體的簡單隨機樣本，求常數(shù)，使得. 解 所以當(dāng)時 12設(shè)是分布的容量為的樣本，試求下列統(tǒng)計量的概率分布： （1）； （2） 解 ， ，所以 （1） （2） 13設(shè)是來自總體的樣本，試求統(tǒng)計量的分布。 解 ，于是 . 14設(shè)樣本和分別來自相互獨立的總體和，已知和是兩個實數(shù)，求隨機變量 的分布 解 ，又所以 而 所以 . 15從正態(tài)總體中抽取容量為的樣本，如果要求樣本均值位于區(qū)間（1.4, 5.4）內(nèi)的概率不小于0.95，問樣本容量至少應(yīng)多大？ 解 即 ，查正態(tài)分表得即.故樣本容量至少應(yīng)為35。 16設(shè)總體，從總體中抽取一個容量為100的樣本，問樣本均值與總體均值之差的絕對值大于3的概率是多少？ 解 設(shè)樣本均值為，則 . 17求總體的容量分別為10，15的兩個獨立樣本均值差的絕對值大于0.3的概率。 解