1、第六章,參數(shù)估計(jì),XP(),XE(),XN(,2),用所獲得的樣本值去估計(jì)參數(shù)取值稱為參數(shù)估計(jì).,參數(shù)估計(jì),點(diǎn)估計(jì) 區(qū)間估計(jì),用某一數(shù)值作為參數(shù)的近似值,在要求的精度范圍內(nèi)指出參數(shù)所在的區(qū)間,參數(shù)估計(jì)的基本思想,第一講,參數(shù)的點(diǎn)估計(jì),導(dǎo)讀內(nèi)容,1、什么是參數(shù)估計(jì)，點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)有何區(qū)別？ 2、矩估計(jì)法和極大似然估計(jì)法的基本原理分別是什么？如何求參數(shù)的矩估計(jì)量（值）和極大似然估計(jì)量（值）？ 3、如何評價(jià)估計(jì)量的好壞？,一. 矩估計(jì)法,顯然,因此,很自然地想到用樣本矩來代替總體矩,從而得到總體分布中參數(shù)的一種估計(jì).,定義：用樣本矩來代替總體矩,從而得到總體分布中參數(shù)的一種估計(jì).這種估計(jì)方法稱為矩

2、法估計(jì).,得到含有未知參數(shù)(1,k)的k個(gè)方程.解這k個(gè)聯(lián)立方程組就可以得到(1,k)的一組解:,用上面的解來估計(jì)參數(shù)i就是矩法估計(jì).,解:,其概率密度函數(shù)為,總體X的期望為,從而得到方程,所以的矩估計(jì)量為,極大似然原理的直觀想法是: 一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)如有若干個(gè)可能的結(jié)果A,B,C,.若在一次試驗(yàn)中,結(jié)果A出現(xiàn), 則一般認(rèn)為A出現(xiàn)的概率最大.,極大似然估計(jì)的基本思想,二. 極大似然估計(jì)法,令,求極大似然估計(jì)的一般步驟歸納如下：,例1 設(shè)總體X具有分布律 ：,其中,為未知參數(shù)，已知取得了樣本值,試求,的矩估計(jì)值和極大似然估計(jì)值。,例2 已知隨機(jī)變量的密度函數(shù)為 其中 為未知參數(shù)，求 的矩估計(jì)量與極大

3、似然估計(jì)量。,令,(2) 似然函數(shù),解: (1),故,的矩估計(jì)量為,第二節(jié),估計(jì)量的評選標(biāo)準(zhǔn),對于總體的同一個(gè)未知參數(shù)，由于采用的估計(jì)方法不同，可能會(huì)產(chǎn)生多個(gè)不同的估計(jì)量。 問題 ：當(dāng)總體的同一個(gè)參數(shù)存在不同的估計(jì)量時(shí)， 究竟采用哪一個(gè)更好？ 用什么樣的標(biāo)準(zhǔn)來評價(jià)估計(jì)量的好壞？ 三個(gè)常用的評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)：無偏性、有效性和一致性。,一.無偏性,在評價(jià)一個(gè)估計(jì)量的好壞時(shí), 希望估計(jì)量與被估參數(shù)越接近越好.但估計(jì)量是一個(gè)隨機(jī)變量,它的取值隨樣本的觀測值而變,有時(shí)與被估參數(shù)的真值近些,有時(shí)遠(yuǎn)些,我們只能從平均意義上看估計(jì)量是否與被估參數(shù)盡量接近,最好是等于被估參數(shù).,例:設(shè)總體X具有均勻分布,其密度函數(shù)為,

4、解:,用矩法估計(jì)得,求的無偏估計(jì).,總體X的均值,例:設(shè)總體X的k階矩E(Xk)存在,證明樣本的k階矩是E(Xk)的無偏估計(jì).,證明:,所以,證明樣本的k階矩是E(Xk)的無偏估計(jì).,因?yàn)?例:設(shè)總體的方差D(X)存在,試證樣本二階中心矩B2是總體方差D(X)的有偏估計(jì).,證明:,所以,B2是總體方差D(X)的有偏估計(jì).,注:,二.有效性,一個(gè)參數(shù)的無偏估計(jì)量不是唯一的,假若參數(shù)有兩個(gè)無偏估計(jì)量 ,我們認(rèn)為其觀測值更密集在參數(shù)真值附近的一個(gè)較為理想. 由于方差是隨機(jī)變量取值與其數(shù)學(xué)期望的偏離程度的度量,所以無偏估計(jì)以方差小者為好.,證明:,由于總體服從泊松分布，故,于是有,同理,但是,例:設(shè)(X1,X2, X3)是來自總體X的一個(gè)樣本,證明下面的三個(gè)估計(jì)量都是總體均值E(X)的無偏估計(jì)量,證明,三.一致性,估計(jì)量的無偏性和有效性都是在