1、四翼飛行器動力學(xué)分析與建模1. 引言四軸飛行器，又稱四旋翼飛行器、四旋翼直升機，簡稱四軸、四旋翼。這四軸飛行器(Quadrotor)是一種多旋翼飛行器。四軸飛行器的四個螺旋槳都是電機直連的簡單機構(gòu)，十字形的布局允許飛行器通過改變電機轉(zhuǎn)速獲得旋轉(zhuǎn)機身的力，從而調(diào)整自身姿態(tài)。因為它固有的復(fù)雜性，歷史上從未有大型的商用四軸飛行器。近年來得益于微機電控制技術(shù)的發(fā)展，穩(wěn)定的四軸飛行器得到了廣泛的關(guān)注，應(yīng)用前景十分可觀。本章通過分析四旋翼直升機的動力學(xué)機制，運用已知的物理定律和方程來建立表征系統(tǒng)動態(tài)過程的數(shù)學(xué)模型。2. 四旋翼飛行器簡介2.1四旋翼飛行器結(jié)構(gòu)四旋翼直升機主體構(gòu)成有：產(chǎn)生升力的四個旋翼、飛行

2、控制設(shè)備及其支撐旋翼的機身。有時為了保護飛行器，避免旋翼的損壞，特別裝設(shè)了保護架。其中，每個旋翼包括直流電機、翼翅及連接件等部分。如下圖所示：2.2四旋翼飛行器飛行原理四旋翼直升機與傳統(tǒng)的直升機相比，有著自己獨特的地方。它的四個呈十字平均分布的旋翼取代了傳統(tǒng)的單獨的旋翼，對機身產(chǎn)生單獨的力和力矩。四旋翼直升機通過改變旋翼轉(zhuǎn)速來控制飛行器的姿態(tài)，且四個旋翼的動態(tài)特性高度耦合。3. 四旋翼飛行器動力學(xué)方程3.1坐標(biāo)描述及其轉(zhuǎn)換關(guān)系飛機的姿態(tài)角、飛行速度的大小和方向等參數(shù)總是和坐標(biāo)系聯(lián)系在一起的，要確切地描述飛機的運動狀態(tài)，就要先建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系。下面定義幾種坐標(biāo)系，并分析各坐標(biāo)之間的相互轉(zhuǎn)換關(guān)系：

3、(1)地面坐標(biāo)系E（OXYZ）地面坐標(biāo)系用語研究飛機相對于地面的運動，確定飛機在空間的位置坐標(biāo)X、Y、Z，從而方便研究飛機的姿態(tài)、航向以及飛機相對起飛點的空間位置。該坐標(biāo)系原點固定于地面上飛機的起飛點，OX軸指向飛機制定的飛行方向，OZ軸垂直水平面向上，OY軸垂直O(jiān)XZ平面。(2)機體坐標(biāo)系B（Oxyz）機體坐標(biāo)系固定在機體上，原點設(shè)在飛機重心，縱軸Ox平行于前后旋翼的連線，指向前方為正方向，豎軸Oz平行于左右旋翼的連線，指向右方為正方向；軸Oy與軸Ox、Oz所在平面垂直，并與軸Ox、軸Oz組成右手坐標(biāo)系。(3)地面坐標(biāo)系和機體坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換在飛機飛行動力學(xué)中，對于描述地面坐標(biāo)系和機體坐標(biāo)系之間

4、的關(guān)系的角度可用如下定義的三個歐拉角加以確定。偏航角機體軸Ox在地面坐標(biāo)系水平面OXY上的投影線X與X軸之間的夾角俯仰角機體軸Ox與地面坐標(biāo)系水平面OXY的夾角滾轉(zhuǎn)角機體軸Oz和包含機體軸Ox間的夾角由此可得到物體坐標(biāo)系到地面坐標(biāo)系各個軸的轉(zhuǎn)換矩陣，分別表示為(2-1)式、(2-2)式和(2-3)式Rx=1000cossin0sincos(2-1)Ry=cos0sin010-sin0cos(2-2)Rz=cos-sin0sincos0001(2-3)綜合可得機體坐標(biāo)系B到地面坐標(biāo)系E的轉(zhuǎn)換矩陣為：R= Rz Ry Rx=coscoscossinsincossincos+sinsinsincos

5、sinsinsinsinsincos-cossin-sincossincoscos(2-4)得到如下圖所示坐標(biāo)系：3.2動力學(xué)方程的建立3.2.1模型假設(shè)1)飛機是剛體，在其運動過程中質(zhì)量保持不變2)地面坐標(biāo)系為慣性坐標(biāo)，由于本文針對微型飛機，飛行距離不是很遙遠(yuǎn)，飛行高度不是很高，所以視地球表面為平面，視重力加速度不隨飛行高度的變化而變化3)不計地球自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)運動的影響4)機體坐標(biāo)系的xoz平面為飛機幾何形狀和質(zhì)量的對稱平面，慣性積Ixy=Iyz=03.2.2模型建立在忽略彈性振動及形變的情況下，微小型四旋翼飛行器的運動可以看成是六個自由度的剛體運動，即包含繞三個軸的轉(zhuǎn)動（偏航、俯仰和滾動）和

6、重心沿三個軸的線運動（進退、左右側(cè)飛和升降）。根據(jù)牛頓第二定律，飛機動力學(xué)方程的向量形式為：F=mdVdt(2-5)M=Hdt(2-6)式中，F(xiàn)作用在四旋翼飛行器上的所有外力的和；M飛機的質(zhì)量；V飛機的質(zhì)心速度；M作用在飛機上的所有外力矩的和；H飛機相對于地面坐標(biāo)系的絕對動量矩。假設(shè)FX、FY、FZ；u、v、w；p、q、r分別為F、V、在機體坐標(biāo)系三個坐標(biāo)軸ox、oy、oz上的分量。1） 線運動方程：作用在四旋翼直升機機體上的外力有重力，四個旋翼的升力和外界的阻力。重力可以表示為：G=mg(2-7)阻力可以表示為：Di=12Cdi2=kdi2(2-8)每個旋翼產(chǎn)生的升力為：Ti=12Cti2=

7、kti2(2-9)其中g(shù)為重力加速度，為空氣密度，Cd為旋翼的阻力系數(shù)，Ct為旋翼的升力系數(shù)，通常他們的值取決于飛機的運動狀態(tài)和構(gòu)型，大氣參數(shù)等諸多產(chǎn)量，i(i=1,2,3,4)是第i個旋翼的角速度。由于上述各式是在地面坐標(biāo)系下建立的，通過轉(zhuǎn)換矩陣R轉(zhuǎn)換到機體坐標(biāo)系下，并帶入(2-5)式，可得到：x=uy=vz=wu=Fx-K1xm=kti=14i2(sinsin+cossincos)-K1xmv=Fy-K2ym=kti=14i2(-cossin+sinsincos)-K2ymw=Fz-mg-K3zm=kti=14i2(coscos)-K3zm-g(2-10)其中Ki為綜合的阻力系數(shù)。2） 角

8、動量方程：歐拉角的角速度和機體的角速度之間有如下的關(guān)系：pqr=-sincos+sincossin+coscos(2-11)由此可以解出：=pcos+qsinsin+rcossincosqsin+rsinqsin+rcoscos(2-12)四旋翼無人機外形結(jié)構(gòu)和質(zhì)量分布都具有較好的對稱性，重心近似位于機體中心，因此可以假定無人機的慣性矩陣I為對角陣：I=Ix000Iy000Iz(2-13)根據(jù)剛體轉(zhuǎn)動定律可以得到角速度運動方程為：M=Ipqr(2-14)根據(jù)動量矩的計算方法，仿照線運動方程的推導(dǎo)，可以得到角速度方程式：MxMyMz=pIx-rIxz+qrIz-Iy-pqIxzqIy+prIx-

9、Iz+(p2-r2)IxzrIz-pIxz+pqIy-Ix+qrIxz(2-15)其中Mx、My、Mz是四旋翼直升機的合力矩在機體坐標(biāo)系三個坐標(biāo)軸ox、oy、oz上的分量。整理可得：pqr=Mx+Ix-IzqrIxMy+Iz-IxrpIyMz+Ix-IypqIz(2-16)綜合以上分析，得到四旋翼直升機的非線性運動方程：x=uy=vz=wu=Fx-K1xmv=Fy-K2ymw=Fz-mg-K3zmp=Mx+Ix-IzqrIxq=My+Iz-IxrpIyr=Mz+Ix-IypqIz=pcos+qsinsin+rcossincos=qsin+rsin=qsin+rcoscos(2-17)3.2.3

10、模型的簡化為了把四旋翼直升機非線性耦合模型分解成四個獨立的控制通道，定義系統(tǒng)的控制輸入量為：U1=F1+F2+F3+F4=kti=14i2U2=F4-F2=kt(42-22)U3=F3-F1=kt(32-12)U4=F2+F4-F3-F1=kd(12+22+32+42)(2-18)其中，U1垂直速度控制量，U2滾動輸入控制量，U3俯仰控制輸入量，U4偏航控制量。為各旋翼轉(zhuǎn)速，F(xiàn)為各旋翼所受到的拉力?？紤]外界條件時控制設(shè)計比較復(fù)雜，所以先研究室內(nèi)或室外無風(fēng)情況下直升機懸停和慢速飛行控制，這樣就可以忽略阻力系數(shù)Ki，整理得到數(shù)學(xué)模型如下：x=(sinsin+coscoscos)U1my=(-cos

11、sin+sinsincos)U1mz=(coscos)U1m-g=lU2+(Iy-Iz)Ix=lU3+Iz-IxIy=lU4+Ix-IzIz(2-19)到目前為止，我們計算了飛行器的作用力，接下來計算扭矩。每個轉(zhuǎn)子貢獻(xiàn)一點關(guān)于機體 z 軸的扭矩。這扭矩是用來保持螺旋槳旋轉(zhuǎn)和提供推力；它產(chǎn)生瞬時角加速度和克服了摩擦阻力。由流體動力學(xué)可以得到摩擦力為：4. 其中是周圍流體密度，A是參考面積（是螺旋槳的截面，而不是螺旋槳掃過的面積），CD是一個無量綱的常量。這樣的近似盡管有些地方不太好，就我們而已，結(jié)果精度是足夠好的。于是推出由摩擦力產(chǎn)生的扭矩：其中是螺旋槳的角速度，R是螺旋槳的半徑，b是摩擦常數(shù)。

12、注意到，我們已經(jīng)假定所有的力作用于螺旋槳的末梢，這是當(dāng)然不準(zhǔn)確；然而，對我們而言唯一重要的結(jié)果是摩擦扭矩與角速度的平方成正比。我們有以z為軸的完整第i個電機的扭矩：其中IM是電機關(guān)于z軸的轉(zhuǎn)動慣量，是螺旋槳的角加速度，b是阻力系數(shù)。注意到，在穩(wěn)態(tài)飛行(即不起飛或著陸)時因為大部分時間的螺旋槳會維持恒定的（或幾乎不變的）的推力而不會加速。因此，我們忽略了這一時期，對整個表達(dá)式簡化：其中(1)i+1項是正的如果第i個螺旋槳式順時針轉(zhuǎn)，否則為負(fù)。關(guān)于z的總扭矩是每個螺旋槳軸扭矩的和：在此基礎(chǔ)上便可以對我們小組研究的課題進行討論。4. 四旋翼飛行器旋轉(zhuǎn)過程中的受力分析四旋翼飛行器的旋轉(zhuǎn)指的是飛行器繞自

13、身中心軸進行旋轉(zhuǎn)，而不改變其高度、位置等其他參數(shù)，在專業(yè)術(shù)語中稱為偏航運動。四旋翼飛行器偏航運動可以借助旋翼產(chǎn)生的反扭矩來實現(xiàn)。旋翼轉(zhuǎn)動過程中由于空氣阻力作用會形成與轉(zhuǎn)動方向相反的反扭矩，為了克服反扭矩影響，可使四個旋翼中的兩個正轉(zhuǎn)，兩個反轉(zhuǎn)，且對角線上的來年各個旋翼轉(zhuǎn)動方向相同。反扭矩的大小與旋翼轉(zhuǎn)速有關(guān)，當(dāng)四個電機轉(zhuǎn)速相同時，四個旋翼產(chǎn)生的反扭矩相互平衡，四旋翼飛行器不發(fā)生轉(zhuǎn)動；當(dāng)四個電機轉(zhuǎn)速不完全相同時，不平衡的反扭矩會引起四旋翼飛行器轉(zhuǎn)動。在圖d中，當(dāng)電機1和電機3的轉(zhuǎn)速上升，電機2和電機4的轉(zhuǎn)速下降時，旋翼1和旋翼3對機身的反扭矩大于旋翼2和旋翼4對機身的反扭矩，機身便在富余反扭矩的

14、作用下繞z軸轉(zhuǎn)動，實現(xiàn)飛行器的偏航運動，轉(zhuǎn)向與電機1、電機3的轉(zhuǎn)向相反。借助力矩之間的平衡，已經(jīng)在3中提出的懸停原理，可以在保證飛行器高度保持不變的情況下進行偏航運動，進而達(dá)到旋轉(zhuǎn)鏡頭的目的。5. 四旋翼飛行器側(cè)飛過程的受力分析做到懸停之后，四旋翼飛行器又如何前進呢?這需要力的方向發(fā)生變化，一定要有使其向前的力，如下圖所示，在懸停的基礎(chǔ)上增加后面翅膀的轉(zhuǎn)速使得升力增大，減小前面翅膀的轉(zhuǎn)速使得升力減小，如此四旋翼飛行器的身體便會產(chǎn)生傾斜，翅膀的升力差便會產(chǎn)生向前的分量，四旋翼飛行器便可以向前飛行了。同時，要想實現(xiàn)飛行器在水平面內(nèi)前后、左右的運動，必須在水平面內(nèi)對飛行器施加一定的力。在下圖中，增加電機3轉(zhuǎn)速，使拉力增大，相應(yīng)減小電機1轉(zhuǎn)速，使拉力減小，同時保持其它兩個電機轉(zhuǎn)速不變，反扭矩仍然要保持平衡。按圖b的理論，飛行器首先發(fā)生一定程度的傾斜，從而使旋翼拉力產(chǎn)生水平分量，因此可以實現(xiàn)飛行器的前飛運動。向后飛行與向前飛行正好相反。6. 本文總結(jié)本章通過分析四旋翼直升機的動力學(xué)機制，運用已知的物理定律和方程來建立表征系統(tǒng)動態(tài)過程的數(shù)學(xué)模型。微小型四旋翼直升機以其新穎的外形，低廉的成本，簡單的結(jié)構(gòu)，卓越的性能，獨特的飛行方式以