1、華僑大學廈門工學院 機械工程系,機械優(yōu)化設計,周劍花 電話學習參考書,孫靖民. 機械優(yōu)化設計. 機械工業(yè)出版社(教材) 陳立周. 機械優(yōu)化設計方法. 冶金工業(yè)出版社 劉惟信. 機械最優(yōu)化設計. 清華大學出版社 陳秀寧.機械優(yōu)化設計.杭州：浙江大學出版社 田福祥.機械優(yōu)化設計理論與應用. 冶金工業(yè)出版社. ,目 錄,緒論 第一章 優(yōu)化設計概述 第二章 優(yōu)化設計數(shù)學基礎 第三章 一維搜索法 第四章 無約束優(yōu)化方法 第五章 約束優(yōu)化方法 第六章 多目標優(yōu)化方法 第七章 機械優(yōu)化設計實例,緒 論,一、優(yōu)化相關概念 二、機械的傳統(tǒng)設計到優(yōu)化設計 三、機械優(yōu)化設計的發(fā)展 四、機械

2、優(yōu)化設計的應用概況,來源：優(yōu)化一語來自英文Optimization，其本意是尋優(yōu)的過程，最優(yōu)化可簡寫為Opt； 優(yōu)化過程：是尋找約束空間下給定函數(shù)取極大值或極小值的過程。,例如, 在右圖中，求得一維函數(shù) f(x) 最小值的條件為：若取 x*，則 f(x) 取得最小值 f(x*)。 目的是為了在完成某一任務時所作的努力最少、付出最小，而使其收益最大、效果最好。,優(yōu)化是萬物演化的自然選擇和趨勢,一、優(yōu)化相關概念,優(yōu)化設計：優(yōu)化原理與方法，在科學、工程和社會的實際問題中的應用，即為優(yōu)化設計。 機械優(yōu)化設計：即把機械設計與優(yōu)化設計理論及方法相結合，借助電子計算機，自動尋找實現(xiàn)預期目標的最優(yōu)設計方案和最

3、佳設計參數(shù)。,例如，要求設計一個如右下圖所示的防洪堤壩。為了能防洪水，高度必須足以保證洪峰到來時，洪水不會漫入堤岸；堤壩的強度足以保證巨浪不會沖垮堤壩。同時希望得到一個省時省力省經費的設計方案。,獲得設計方案的過程是一個決策的過程，也是優(yōu)化的過程。,優(yōu)化過程就是求解一個付出最小、獲得效益最大的方案。,古諾雙頭模型 模型假設： 只有兩個公司 有相同的成本結構 （邊際成本c; ) 制造生產某種特定的產品 （甲公司生產q1個，乙公司生產q2個） 產品單位成本c 價格定位,古諾模型,如果你是甲公司，你準備生產多少個q1，可以使得公司的利潤最大?,反應函數(shù)曲線 企業(yè)1的反應函數(shù)： 企業(yè)2的反應函數(shù)：,古

4、諾模型,反應函數(shù)曲線,完全競爭產量,壟斷產量,古諾均衡,古諾模型,古諾均衡,完全競爭產量,壟斷產量,古諾均衡產量,機械設計方法,傳統(tǒng)設計方法 基于手工勞動或簡易計算工具。方法低效，一般只能獲得一個可行的設計方案。 傳統(tǒng)機械設計理論與方法包括疲勞壽命理論、強度理論、振動理論 常憑經驗、試算、校核等方法。 現(xiàn)代優(yōu)化方法 基于計算機的應用，設計過程包括： 從實際問題中抽象出數(shù)學模型； 選擇合適的優(yōu)化方法求解數(shù)學模型。 特點：以人機配合或自動搜索方式進行，能從“所有的”的可行方案中找出“最優(yōu)的”的設計方案。,二、機械的傳統(tǒng)設計到優(yōu)化設計,傳統(tǒng)設計到優(yōu)化設計,人工試湊和定性分析的比較過程，被動的重復分析

5、產品的性能經驗設計、近似計算、一般的安全壽命可行設計。,圖2: 現(xiàn)代優(yōu)化設計過程框圖,利用電子計算機主動的設計產品參數(shù)，獲得最優(yōu)方案理論設計、精確計算、優(yōu)化設計,優(yōu)化設計的一般過程 1）建立確切反映問題實質并適合于優(yōu)化計算的優(yōu)化設計數(shù)學模型； 2）選擇恰當?shù)膬?yōu)化方法，編寫計算機語言程序； 3）求得數(shù)學模型的最優(yōu)解。,機械優(yōu)化設計是使某項機械設計在規(guī)定的各種設計限制條件下，優(yōu)選設計參數(shù)，使某項或幾項設計指標獲得最優(yōu)值。,工程設計上的“最優(yōu)值”(Optimum)或“最佳值”系指在滿足多種設計目標和約束條件下所獲得的最令人滿意和最適宜的值。,工程案例,1、利用一化工優(yōu)化系統(tǒng)，對一化工廠進行設計。根據(jù)

6、給定數(shù)據(jù)，在16小時內，進行16000各可行性設計的選擇，從中選擇一成本最低、產量最大的方案，并給出必須的精確數(shù)據(jù)。 傳統(tǒng)設計：一組工程師，一年時間，僅僅3個方案，且并非最優(yōu)。 2、美國BELL飛機公司利用優(yōu)化方法解決450個設計變量的大型結構優(yōu)化問題。一個機翼質量減輕35%。 3、波音公司，在747的機身設計中受到了減輕質量、縮短生產周期、降低成本的效果。 4、武漢鋼鐵公司從德國引進的1700薄板軋機，經該公司自主優(yōu)化后，就多盈利幾百萬馬克。,優(yōu)化設計的作用（優(yōu)點）：,使傳統(tǒng)機械設計中，求解可行解上升為求解最優(yōu)解成為可能； 使傳統(tǒng)機械設計中，性能指標的校核可以不再進行； 使機械設計的部分評價

7、，由定性改定量成為可能； 大大提高了產品的設計質量，從而提高了產品的質量； 提高生產效率，降低產品開發(fā)周期； ,機械優(yōu)化設計的發(fā)展,1、古典優(yōu)化思想: 17世紀，利用微分學和變分學的解析解法。 僅能解決簡單的極值問題 2、經典優(yōu)化方法：20世紀40年代，數(shù)學規(guī)劃方法 可求解包含等式約束和不等式約束的復雜優(yōu)化問題。,3、現(xiàn)代優(yōu)化設計： 20世紀80年代出現(xiàn)許多現(xiàn)代優(yōu)化算法：模擬退火算法、遺傳算法、人工神經網絡算法、蟻群優(yōu)化算法等。 并從狹義優(yōu)化設計（零部件參數(shù)）轉向廣義優(yōu)化設計（面向產品的全系統(tǒng)、設計全過程、全壽命周期）。例如,針對涉及多領域復雜系統(tǒng)的多學科設計優(yōu)化。,線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃、幾何

8、規(guī)劃、動態(tài)規(guī)劃和混合離散規(guī)劃等。優(yōu)化設計從無約束有約束優(yōu)化問題；連續(xù)變量離散變量；確定型隨機型模型；單目標優(yōu)化多目標優(yōu)化。,三、機械優(yōu)化設計的發(fā)展,機構運動參數(shù)的優(yōu)化設計是機械優(yōu)化設計發(fā)展較早的領域。國內近年來才開始重視，但發(fā)展迅速，在機構綜合、機械的通用零部件的設計、工藝設計方面都得到應用。,在機械設計方面的應用較晚，從國際范圍來說，是在上世紀60年代后期才得到迅速發(fā)展的。,機械優(yōu)化設計的應用概況,優(yōu)化設計本身存在的問題和某些發(fā)展趨勢主要有以下幾方面：,四、機械優(yōu)化設計的應用概況,1、目前優(yōu)化設計多數(shù)還局限在參數(shù)最優(yōu)化這種數(shù)值量優(yōu)化問題。結構型式的選擇還需進一步研究解決； 2、優(yōu)化設計這門新

9、技術在傳統(tǒng)產業(yè)中普及率還不高； 3、把優(yōu)化設計與CAD、專家系統(tǒng)結合起來是優(yōu)化設計發(fā)展的趨勢之一。,優(yōu)化設計的思想廣泛的應用于工業(yè)、農業(yè)、商業(yè)和國防等各部門，解決諸如生產規(guī)劃、經濟管理、能源利用、產品設計、工藝過程設計、控制系統(tǒng)等方面的最優(yōu)化問題，它是促進技術進步和國民經濟發(fā)展的一種有效方法。,本課程的目的和任務,1、了解和基本掌握機械優(yōu)化設計的基本知識； 2、初步具有應用機械優(yōu)化設計的基本理論和基本方法解決簡單工程實際問題的能力；,第一章 優(yōu)化設計概述,一、優(yōu)化設計問題引例 二、優(yōu)化設計問題的數(shù)學模型 三、優(yōu)化設計問題的基本解法,一、引例,現(xiàn)用薄板制造一體積為100m3，長度不小于5m的無上

10、蓋的立方體貨箱，要求該貨箱的鋼板耗費量最少，試確定貨箱的長、寬、高尺寸。,分析： （1）目標：用料最少，即貨箱的表面積最小。 （2）設計參數(shù)確定：長x1 、寬x2 、高x3； （3）設計約束條件： （a）體積要求 （b）長度要求,貨箱的優(yōu)化設計,數(shù)學模型,設計參數(shù)：,設計目標：,約束條件：,最大產值生產資源分配問題,已知：某工廠生產A和B兩種產品，A產品單位價格為PA萬元，B產品單位價格為PB萬元。每生產一個單位A產品需消耗煤aC噸，電aE度，aL個工時；每生產一個單位B產品需消耗煤bC噸，電bE度，bL個工時?，F(xiàn)有可利用生產資源煤C噸，電E度，L個工時，欲找出其最優(yōu)分配方案，使產值最大。,（

11、1）目標：產值的表達式； （2）設計參數(shù)確定：A產品xA、B產品xB （3）設計約束條件： （a）生產資源煤約束； （b）生產資源電約束； （c）生產資源工時約束；,分析：,數(shù)學模型,設計參數(shù)：,設計目標：,約束條件：,已知：傳動比i，轉速n，傳動功率P，大小齒輪的材料，設計該齒輪副，使其重量最輕。,直齒圓柱齒輪副的優(yōu)化設計,（1）目標：圓柱齒輪的體積V或重量w最??； （2）設計參數(shù)確定：模數(shù)m、齒寬b、齒數(shù)z1 （3）設計約束條件： （a）大、小齒輪滿足彎曲強度要求； （b）齒輪副滿足接觸疲勞強度要求； （c）齒寬系數(shù)要求； （d）最小齒數(shù)要求,分析：,數(shù)學模型,設計參數(shù)：,設計目標：,約束

12、條件：,二、優(yōu)化設計問題的數(shù)學模型,優(yōu)化設計的數(shù)學模型是描述實際優(yōu)化問題的設計內容、變量關系、有關設計條件和意圖的數(shù)學表達式，它反映了物理現(xiàn)象各主要因素的內在聯(lián)系，是進行優(yōu)化設計的基礎。,優(yōu)化設計數(shù)學模型的三大要素： 設計變量 約束條件 目標函數(shù),實際問題表達成的函數(shù)類型很多： 確定型、不確定型函數(shù)； 線形、非線形（二次、高次、超越）函數(shù)。 變量類型也很多： 連續(xù)、離散、隨機變量等等。 產生很多的優(yōu)化算法： 無約束優(yōu)化、約束優(yōu)化： 單目標函數(shù)優(yōu)化、多目標函數(shù)優(yōu)化； 連續(xù)變量優(yōu)化、離散變量優(yōu)化、隨機變量優(yōu)化。,1、設計變量,一個設計方案可以用一組基本參數(shù)的數(shù)值來表示，這些基本參數(shù)可以構件幾何量（

13、如尺寸、位置等），也可以是物理量（如質量、頻率等），還可以是應力、變形等表示工作性能的導出量以及非物理量（如壽命、成本等）。 在設計過程中進行選擇并最終必須確定的各項獨立的基本參數(shù)，稱作設計變量，又叫做優(yōu)化參數(shù)。在優(yōu)化設計過程中設計變量是不斷修改、調整，一直處于變化狀態(tài)。,設計變量的全體實際上是一組變量，可用一個列向量表示。設計變量的數(shù)目稱為優(yōu)化設計的維數(shù)，如n個設計變量，則稱為n維設計問題。,由n個設計變量 為坐標所組成的實空間稱作設計空間。一個“設計”，可用設計空間中的一點表示。 按照產品設計變量的取值特點，設計變量可分為連續(xù)變量（例如軸徑、輪廓尺寸等）和離散變量（例如各種標準規(guī)格等）。,

14、只有兩個設計變量的二維設計問題可用圖1中（a）所示的平面直角坐標表示；有三個設計變量的三維設計問題可用圖1中（b）所表示的空間直角坐標表示。,圖1 設計變量所組成的設計空間 （a）二維設計問題 （b）三維設計問題,設計空間設計點的集合（ 維實歐氏空間 ）。,當設計點連續(xù)時, 為直線; 為平面; 為立體空間; 為超越空間.,設計空間的維數(shù)表征設計的自由度，設計變量愈多，則設計的自由度愈大，可供選擇的方案愈多，設計愈靈活，但難度亦愈大，求解亦愈復雜。 小型設計問題：一般含有210個設計變量； 中性設計問題：1050個設計變量； 大型設計問題：50個以上的設計變量。 目前已能解決200個設計變量的大

15、型最優(yōu)化設計問題。,如何選定設計變量？,任何一項產品，是眾多設計變量標志結構尺寸的綜合體。變量越多，可以淋漓盡致地描述產品結構，但會增加建模的難度和造成優(yōu)化規(guī)模過大。所以選擇設計變量時應注意一下幾點： 抓主要，舍次要 對產品性能和結構影響大的參數(shù)可取為設計變量，影響小的可先根據(jù)經驗取為試探性的常量，有的甚至不考慮； 根據(jù)要解決的設計問題的特殊性來選擇設計變量。,2、約束條件,設計空間是所有設計方案的集合，但這些設計方案有些是工程上不能接受的。如一個設計滿足所有對它提出的要求，就稱為可行設計。 一個可行設計必須滿足某些設計限制條件，這些限制條件稱作約束條件，簡稱約束。, 根據(jù)約束性質分： 性能約

16、束針對性能要求而提出的限制條件。如選擇某些結構必須滿足受力的強度、剛度或穩(wěn)定性要求等； 側面約束（邊界約束）針對設計變量的取值 范圍加以限制的約束。如允許機床主軸選擇的尺寸范圍，對軸段長度的限定范圍等。,分類, 顯式約束和隱式約束 約束函數(shù)有的可以表示成顯式形式，即反映設計變量之間明顯的函數(shù)關系，有的只能表示成隱式形式，如復雜結構中的性能約束函數(shù)（變形、應力、頻率等），需要通過有限元等方法計算求得。, 根據(jù)數(shù)學表達式的形式分：,等式約束：,不等式約束：,可行域：凡滿足所有約束條件的設計點，它在設計空間的活動范圍。（對應不可行域）,如右下圖所示滿足兩項約束條件的二維設計問題的可行域D為ABC涵蓋

17、區(qū)域，包括線段AC和圓弧ABC在內。,約束條件：,一般情況下，設計可行域可表示為：,不可行域: 可行點和不可行點 D內的設計點為可行點,否則為不可行點（外點）。 邊界點與內點 約束邊界上的可行點為邊界點,其余可行點為內點。 起作用的約束與不起作用的約束,滿足 的約束為起作用約束,否則為不起作用的約束.(等式約束一定是起作用約束),3、目標函數(shù),為了對設計進行定量評價，必須構造包含設計變量的評價函數(shù)，它是優(yōu)化的目標，稱為目標函數(shù)。用它可以評價設計方案的好壞，所以它又被稱作評價函數(shù)。記作：,在優(yōu)化過程中，通過設計變量的不斷想f(x)值改善的方向自動調整，最后求得的f(x)最好或最滿意的x值。在構造

18、目標函數(shù)時，應注意目標函數(shù)必須包含全部設計變量。在機械設計中，可作為參考目標函數(shù)的有： 最小體積，最輕重量，最高效率，最大承載能力，最小振幅或噪聲，最小成本，最高利潤等等。,通常,在最優(yōu)化設計問題中，可以只有一個目標函數(shù)稱為單目標函數(shù)。當在同一設計中要提出多個目標函數(shù)時，這種問題稱為多目標函數(shù)的最優(yōu)化問題。在一般的機械最優(yōu)化設計中，多目標函數(shù)的情況較多。目標函數(shù)愈多，設計的綜合效果愈好，但問題的求解亦愈復雜。,在實際工程設計問題中，常常會遇到在多目標的某些目標之間存在矛盾的情況，這就要求設計者正確處理各目標函數(shù)之間的關系。 目前處理多目標設計問題常用的方法是組合成一個復合的目標函數(shù)，如采用線性

19、加權的形式，即,目標函數(shù)的等值線（面）,c為一系列常數(shù)，代表一族n維超曲面。如在二維設計空間中，f（x1，x2）=c代表x1-x2設計平面上的一族曲線。對于具有相等目標函數(shù)值的設計點構成的平面曲線或曲面稱為等值線或等值面。,目標函數(shù)是n維變量的函數(shù)，它的函數(shù)圖形只能在n+1維空間中描述出來。為了在n維設計空間中反映目標函數(shù)的變化情況，常采用目標函數(shù)等值線（面）的方法。 目標函數(shù)的等值線（面）的數(shù)學表達式為：,如上圖表示目標函數(shù)f(x)與兩個設計變量x1和x2所構成的關系曲面上的等值線，它是由許多具有相等目標函數(shù)值的設計點構成的平面曲線。當給目標函數(shù)以不同值時，可得到一系列的等值線，它們構成目標

20、函數(shù)的等值線族。在極值處目標函數(shù)的等值線聚成一點，并位于等值線族的中心。當目標函數(shù)值的變化范圍一定時，等值線愈稀疏說明目標函數(shù)值的變化愈平緩。利用等值線的概念可用幾何圖形形象地表現(xiàn)出目標函數(shù)的變化規(guī)律。,函數(shù)的等值線圖。從等值線上，可以清楚地看到函數(shù)值的變化情況。其中f=40的等值線就是使各點所組成的連線。,等值線,等值線的“心”（以二維為例）,一個“心”：是單峰函數(shù)的極（小）值點，是全局極（?。┲迭c。 沒有“心”：例，線性函數(shù)的等值線是平行的，無“心”，認為極值點在無窮遠處。 多個“心”：不是單峰函數(shù)，每個極（?。┲迭c只是局部極（小）值點，必須通過比較各個極值點和“鞍點”（須正確判別）的值，

21、才能確定極（小）值點。,等值（線）面：,4、優(yōu)化設計問題的一般數(shù)學形式,求設計變量向量,使目標函數(shù),滿足約束條件,設可以同時滿足上述約束條件的設計點的集合為R，則可簡化為求X使,最優(yōu)化設計的目標函數(shù)通常為求目標函數(shù)的最小值。若目標函數(shù)的最優(yōu)點為可行域中的最大值，則可以看成是-f(x)的最小值，當然也可看成是求1/f(x)的極小值。,對于復雜的問題，要建立能反映客觀工程實際的、完善的數(shù)學模型往往會遇到很多困難，有時甚至比求解更為復雜。這時要抓住關鍵因素，適當忽略不重要的成分，使問題合理簡化，以易于列出數(shù)學模型，這樣不僅可節(jié)省時間，有時也會改善優(yōu)化結果。,建立優(yōu)化設計問題的數(shù)學模型的一般步驟,根據(jù)

22、設計要求，應用專業(yè)范圍內的現(xiàn)行理論和經驗等，對優(yōu)化對象進行分析； 對設計問題各參數(shù)進行分析，以確定設計的原始參數(shù)、設計常數(shù)和設計變量； 根據(jù)設計要求，確定并構造目標函數(shù)和相應的約束條件，有時要構造多目標函數(shù)； 必要時對數(shù)學模型進行規(guī)范化，以消除各組成項間由于量綱不同等原因導致的數(shù)量懸殊的影響。,5、優(yōu)化設計數(shù)學模型的分類,（1）按有無約束條件分： 無約束優(yōu)化問題 約束優(yōu)化問題 （2）按約束條件和目標函數(shù)是否同時為線性分： 線性規(guī)劃問題 非線性規(guī)劃問題（居多） （3）按問題規(guī)模的大小分： 大型：設計變量和約束條件的個數(shù)在50以上 中型：設計變量和約束條件的個數(shù)在1050 小型：設計變量和約束條件

23、的個數(shù)在10個以下,6、優(yōu)化問題的幾何解釋和基本解,（1）無約束優(yōu)化問題 設計空間內，目標函數(shù)是以等值線的形式反映出來，其極小點是等值面的中心。,（2）約束優(yōu)化問題 極小點在可行域內或在可行域邊界上,通過二維優(yōu)化問題求解直觀描述優(yōu)化設計的基本思想。,例1：如下二維非線性規(guī)劃問題,目標函數(shù)等值線是以點(2,0)為圓心的一組同心圓。如不考慮約束，本例的無約束最優(yōu)解是：,約束方程所圍成的可行域是D。,圖解法求解,例2：,解：先畫出目標函數(shù)等值線，再畫出約束曲線，本處約束曲線是一條直線，這條直線就是容許集。而最優(yōu)點就是容許集上使等值線具有最小值的點。 由圖易見約束直線與等值線的切點是最優(yōu)點，利用解析幾

24、何的方法得到：,該切點為,對應的最優(yōu)值為,練習：,由示例可知，對二維最優(yōu)化問題，可采用圖解法求解，而對三維或高維問題，已不便在平面上作圖，此法失效。在三維和三維以上空間中，使目標函數(shù)取同一常數(shù)值稱為目標函數(shù)的等值面。,不同值的等值面之間不相交，因為目標函數(shù)是單值函數(shù)； 等值面稠的地方，目標函數(shù)值變化的較快，而稀疏的地方變化的比較慢； 一般地，在極值點附近，等值面（線）近似呈現(xiàn)為同心橢圓球面族（橢圓族）。,等值面具有以下性質：,極值點在多角形的某個頂點上,極值點在等值線中心,極值點在約束曲線與等值線的切點上,極值點在約束曲線與等值線的切點上,極值點在兩個約束曲線的交點上,三、優(yōu)化設計問題的基本解法,1、解析解法：根據(jù)函數(shù)極值的必要條件和充分條件求得其最優(yōu)解析解的求解方法，適用于目標函數(shù)比較簡單的情況。,2數(shù)值的近似解法：又稱為數(shù)值迭代方法，它是根據(jù)目標函數(shù)的變化規(guī)律，以適當?shù)牟介L沿著能使目標函數(shù)值下降的方向，逐步向目標函數(shù)值的最優(yōu)點進行探索，逐步逼近到目標函數(shù)的最優(yōu)點或直至達到最優(yōu)點。數(shù)值解法是優(yōu)化設計問題的基本解法，其中也可能用到解析解法。 數(shù)值解法更能適應計算機的工作特點： 1）數(shù)值計算而不是數(shù)學分析； 2）具有簡單邏輯結構并能進行反復的同樣的算術計算； 3）最后得到的是逼近精確解的近似解。,數(shù)值迭代法的基本思路：搜索、迭代、逼近即進