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文檔簡介

1、高等代數試題三 一、計算（20分）1） 2）二、證明：（20分）1）若向量組線性無關，則它們的部分向量組也線性無關。2）若向量組中部分向量線性相關，則向量組必線性相關三、（15分）已知A為n階方陣為A的伴隨陣，則|A|=0，的秩為1或0。四、（10分）設A為n階陣，求證，rank（A+I）+rank（A-I）n五、（15分）求基礎解系高等代數試題三答案一、1）-126 2）二、證明：1）線性無關，是其部分向量組，若存在不全為0的數使則取，則，則可知線性相關矛盾，所以必線性無關。2）已知是向量組中中的部分向量，且線性相關即 不全為0，使，取，于是有不全為0的，使即線性相關。三、證明：由于|A|=

2、0 ，A的秩n-11）若A的秩為n-1，則中的各元素為A的所有n-1階子式，必有一個子式不為0，又由于的各列都是AX=0齊次線性方程組的解，其基礎解系為n-（n-1）=1，由此的秩為1。2）若A的秩n-1，則中的所有A的n-1階子式全為0，即=0，的秩為0。四、證明：對任意n級方陣A與B，有rank（A+B）rank（A）+ rank （B）又rank（AI）=rank（AI）=rank（IA）rank（A+I）+（IA）=rank（2I）= rank（I）=nrank（A+I）+rank（IA）=rank（A+I）+rank（AI）五、 取基礎解系 六、證明：設是正交向量組，且不含空向量。若有 則 且 即 線性無關七、證明：證:因nn矩陣A是正定的，所以A是可逆的，對于任意不為零的n維向量X，AX0，A2X=A（AX）

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