1、第六章 有限元分析中的單元性質(zhì)特征與誤差處理,6.1單元節(jié)點編號與帶寬存儲 6.2形狀函數(shù)矩陣與剛度矩陣的性質(zhì) 6.3邊界條件的處理與支反力計算 6.4單元剛度矩陣的縮聚 6.5為以函數(shù)構(gòu)造與收斂性要求 6.6C0型單元與C1型單元 6.7單元的拼片試驗 6.8有限元分析數(shù)值解的精度與性質(zhì) 6.9單元應(yīng)力的計算結(jié)果的誤差與平均處理 6.10控制誤差和提高精度的h方法和p方法,6.1單元節(jié)點編號與帶寬存儲,計算機(jī)進(jìn)行有限元分析時，需要存儲所有單元和節(jié)點信息，隨著所求解問題自由度的增大，計算規(guī)模的增大，整體剛度矩陣的規(guī)模非常巨大。 由于整體剛度矩陣中顯現(xiàn)出相鄰單元之間的關(guān)聯(lián)性，因此矩陣中的大部分?jǐn)?shù)

2、據(jù)都為零，反映非零數(shù)據(jù)的一個指標(biāo)就是帶寬。,由于剛度矩陣是對稱的，可以看出，若節(jié)點的自由度數(shù)目為m，則每一個單元在整體剛度矩陣的半帶寬為 di=（第i個單元中節(jié)點編號的最大差值+1）m d=max（ di ） （i=1，2n） 其中n為整個結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的單元數(shù)。顯然 對于二維問題，m=2 對于三維問題，m=3,6.2形狀函數(shù)矩陣與剛度矩陣的性質(zhì),以一維桿單元為例，桿單元的位移場為,形函數(shù)矩陣,1、左端發(fā)生單位位移，右端固定 2、右端發(fā)生單位位移，左端固定 3、發(fā)生剛體位移,6.2形狀函數(shù)矩陣與剛度矩陣的性質(zhì),仍然以一維桿單元為例，它的剛度方程為 1、考慮單元左端發(fā)生單位位移，右端固定情況 2、考慮

3、單元右端發(fā)生單位位移，左端固定情況 3、考察剛體位移,性質(zhì)1：單元剛度矩陣的對角元素kii表示要使單元的第i個節(jié)點產(chǎn)生單位位移，而其它的節(jié)點位移為0時，需要在i點施加的節(jié)點力。 性質(zhì)2：單元剛度矩陣的對角元素kij（ij）表示要使單元的第j個節(jié)點產(chǎn)生單位位移，而其它的節(jié)點位移為0時，需要在i點施加的節(jié)點力。 性質(zhì)3：單元剛度矩陣是對稱的。這可以由功的互等定理得到。對于線彈性體，力所做的功跟加載次序無關(guān)，這可以利用上面的性質(zhì)1和2得到。,第一種加載狀態(tài),第二種加載狀態(tài),第一種加載狀態(tài)下的外力在第二種加載狀態(tài)下移動相應(yīng)位移做的功為,第二種加載狀態(tài)下的外力在第一種加載狀態(tài)下移動相應(yīng)位移做的功為,根據(jù)

4、功的互等定理，可以得到結(jié)論：剛度矩陣是對稱的。,性質(zhì)4：單元剛度矩陣是半正定的。 性質(zhì)5：單元剛度矩陣是奇異的。 性質(zhì)6：單元剛度矩陣的任意行或列代表一個平衡力系，當(dāng)節(jié)點位移全部為線位移時，任意行或列的代數(shù)和應(yīng)該為0。,同樣，由單元剛度矩陣所組裝的整體剛度矩陣也有以下性質(zhì)： 1）對稱性 2）奇異性 3）半正定性 4）稀疏性 5）非零元素呈現(xiàn)帶狀分布,6.3邊界條件的處理與支反力的計算,位移邊界條件在大多數(shù)情況下有兩種類型。 1、零位移邊界條件 2、給定具體數(shù)值的位移邊界條件 根據(jù)上述兩類邊界條件，剛度方程的求解有以下幾種方法： 1、直接法 2、置“1”法 3、乘大數(shù)法 4、罰函數(shù)法,直接法,1

5、、既可以處理零約束，又可以處理非零約束的情況。 2、處理過程直觀。 3、待求矩陣的規(guī)模變?。ňS數(shù)變小），適合于手工處理。 4、矩陣的節(jié)點編號及排序改變，不利于計算機(jī)的規(guī)范化處理。,置“1”法,1、只能處理零約束情況。 2、待求矩陣的規(guī)模不變，不需重新排列，適合于計算機(jī)處理。 3、保持整體剛度矩陣的對稱性，利于計算機(jī)的規(guī)范化處理。,直接法,乘大數(shù)法,1、 既可以處理零約束，又可以處理非零約束的情況。 2、待求矩陣的規(guī)模不變，不需重新排列。 3、保持整體剛度矩陣的對稱性，利于計算機(jī)的規(guī)范化處理。,直接法,罰函數(shù)法 罰函數(shù)法的最大好處是可以直接求出位移邊界上的支反力。 支反力的計算： 除了罰函數(shù)法能

6、夠求出支反力以外，其它的方法都需要求解一定的方程得到。,6.4單元剛度矩陣的縮聚,采用高次位移函數(shù)的單元也常被稱為高階單元。對于高次單元來說，除了幾何端點以外，其余的那些節(jié)點可能與其它的單元不發(fā)生關(guān)系，當(dāng)中間的節(jié)點與其它單元無關(guān)時，我們稱作是內(nèi)部節(jié)點。而其余的節(jié)點是外部節(jié)點。既然內(nèi)部節(jié)點與其他單元無關(guān)，那么在組成整體剛度之前，就可以把他們消去，也就是把內(nèi)部節(jié)點的位移用外部節(jié)點的位移來表示。,以一維三節(jié)點桿單元為例,以一維三節(jié)點桿單元為例,其中a代表的是外部節(jié)點，b代表的是內(nèi)部節(jié)點。,6.5位移函數(shù)構(gòu)造與收斂性要求,單元中的位移模式一般采用設(shè)有待定系數(shù)的有限多項式作為近似函數(shù)，優(yōu)先多項式的選取原

7、則應(yīng)該考慮以下幾個方面： 1、待定系數(shù)是由節(jié)點位移條件確定的，因此它的個數(shù)應(yīng)該與節(jié)點位移DOF個數(shù)相等。 2、在選取多項式時，必須選擇常數(shù)項和完備的一次項。單元位移模式中的常數(shù)項和一次項可以反映單元的剛體位移合唱應(yīng)變的特性。這是因為當(dāng)劃分的單元數(shù)趨于無窮時，即單元縮小趨于一點，此時單元應(yīng)變趨于常數(shù)。 3、選擇多項式應(yīng)該由低到高，盡量選取完全多項式以提高單元的精度。,因此，在構(gòu)造一個單元的位移函數(shù)時，應(yīng)該參考由多項式函數(shù)構(gòu)成的Pascal三角形和上述原則進(jìn)行函數(shù)項次的選取與構(gòu)造。,收斂性問題 在有限元分析中，當(dāng)節(jié)點數(shù)目或單元插值函數(shù)的項數(shù)趨于無窮大時，即單元尺寸趨于零時，最后的解答如果能夠無線的

8、逼近準(zhǔn)確解，那么這樣的位移函數(shù)或形函數(shù)是逼近于真實的，這就稱為收斂。 為使有限元分析的解答收斂，位移函數(shù)必須滿足一些收斂準(zhǔn)則，這些準(zhǔn)則都經(jīng)過過嚴(yán)密的理論驗證。主要包括以下三個方面。,收斂性準(zhǔn)則 定義：當(dāng)單元尺寸趨于零時，有限元的解趨于真實解。 準(zhǔn)則1：完備性準(zhǔn)則（針對單元內(nèi)部）。如果在勢能泛函中所出現(xiàn)的位移函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)是m階，則有限元解答收斂性的條件之一是選取單元內(nèi)的位移場函數(shù)至少是m階完全多項式。 準(zhǔn)則2：協(xié)調(diào)性準(zhǔn)則（針對單元之間）。如果在勢能泛函中位移函數(shù)所出現(xiàn)的最高階導(dǎo)數(shù)是m階，那么位移函數(shù)在單元交界面上必須具有直至m-1階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，即Cm-1連續(xù)性。,以一般的梁問題為例,從上式可

9、以看出，所出現(xiàn)的物理量是關(guān)于位移的最高階導(dǎo)數(shù)為2，因此假定形狀函數(shù)的時候，形函數(shù)至少應(yīng)該包含完整的二次多項式。由準(zhǔn)則2可知，位移函數(shù)為C1連續(xù)，即在單元之間的位移函數(shù)至少要求一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。,以一般的平面問題為例,從上式可以看出，所出現(xiàn)的物理量是關(guān)于位移的最高階導(dǎo)數(shù)為1，因此假定形狀函數(shù)的時候，形函數(shù)至少應(yīng)該包含完整的一次多項式。由準(zhǔn)則2可知，位移函數(shù)為C0連續(xù)，即在單元之間的位移函數(shù)要求零階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。亦即函數(shù)的本身連續(xù)，而其一階導(dǎo)數(shù)可以不連續(xù)。,協(xié)調(diào)元與非協(xié)調(diào)元 當(dāng)單元的位移函數(shù)滿足完備性要求時，稱單元是完備的（一般都比較容易滿足），當(dāng)單元的位移函數(shù)滿足協(xié)調(diào)性條件時，稱單元是協(xié)調(diào)的（在單元與單

10、元之間的公共邊界上對于高階連續(xù)性要求較難滿足）。 當(dāng)單元的位移函數(shù)即完備又協(xié)調(diào)時，則有限元分析的解答是收斂的，即當(dāng)單元尺寸趨于零時，有限元分析的解答趨于真實解。我們稱這種單元為協(xié)調(diào)單元。,一般情況下，當(dāng)泛函中的導(dǎo)數(shù)高于一階時，則要求許可函數(shù)在單元交界面上具有C1或更高的連續(xù)性，這時構(gòu)造單元的插值函數(shù)往往比較困難。如果在單元之間的交界面上位移或?qū)?shù)不連續(xù)，將在交界面上引起無限大的變形，這時必須產(chǎn)生附加應(yīng)變能，而我們建立泛函時，并沒有考慮這種情況。因此，基于最小勢能原理得到的有限元分析解答就不可能收斂于正確解。 在某些情況下，可以放松對協(xié)調(diào)性的要求，只要這種單元能夠通過拼片試驗，有限元分析的解答仍

11、然可以收斂于正確的解答。這樣的單元稱為非協(xié)調(diào)性單元。,6.6C0和C1型單元,C0型單元 在泛函中位移函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)為1，在交界面上具有0階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，即節(jié)點上僅僅要求位移連續(xù)。 桿單元、平面問題單元、空間問題單元等,6.6C0和C1型單元,C1型單元 在泛函中位移函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)為2，在交界面上具有1階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，即節(jié)點上除要求位移連續(xù)外，還要求1階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。 梁單元、板單元、殼單元等,6.7單元的拼片試驗,由于非協(xié)調(diào)單元之間的位移不能保證位移協(xié)調(diào)，可以通過拼片試驗來考證是否能描述常應(yīng)變和剛體位移，若能通過拼片試驗，則解得收斂性就能得到保證。 如圖所示的單元狀況，其中至少一個節(jié)點被單元所完

12、全包圍，若節(jié)點i完全被單元所包圍，節(jié)點i的平衡方程為,對于非協(xié)調(diào)單元，需要考察它的收斂性，即考察它是否具有常應(yīng)變的能力，因此，我們設(shè)計這樣一個試驗（拼片試驗）： 當(dāng)對單元片中的各個節(jié)點賦予對應(yīng)于常應(yīng)變狀態(tài)的位移和載荷值時，核對對i點平衡方程的正確性，如果能夠滿足，也就是單元滿足常應(yīng)變要求，因此當(dāng)單元尺寸不斷減小時，有限元解能夠收斂于真正解。,以平面問題為例,由片面問題的平衡方程可知，當(dāng)單元內(nèi)的應(yīng)變或應(yīng)力都為常數(shù)時，則對應(yīng)的體積力為零。對應(yīng)于圖中的i點，它的邊界力也為零，因此 。所以此時，通過拼片試驗的前提是，當(dāng)賦予各節(jié)點以上位移模式的位移時，i點的平衡方程變?yōu)?即必須在節(jié)點i施加附加約束，該約

13、束力所作的功等于單元交界面上位移不協(xié)調(diào)引起的附加應(yīng)變能。,仍以平面問題為例,由片面問題的平衡方程可知，當(dāng)單元內(nèi)的應(yīng)變或應(yīng)力都為常數(shù)時，則對應(yīng)的體積力為零。對應(yīng)于圖中的i點，它的邊界力也為零，因此 。所以i節(jié)點以外節(jié)點有以上位移模式的位移時，對于i點的平衡方程,如果求解上式得到的位移值和常應(yīng)變狀態(tài)下的位移相一致，則認(rèn)為通過拼片試驗。否則認(rèn)為不能通過拼片試驗。,6.8有限元數(shù)值解的精度與性質(zhì),求解精度估計 以平面問題為例，單元的位移場可以展開成以下形式,如果單元尺寸為h，則上式中的x和y都是h量級，若單元的位移函數(shù)采用p階完全多項式，即它能逼近上述泰勒級數(shù)的前p階多項式，那么位移解u的誤差將是O（

14、hp+1）量級。,3節(jié)點3角形單元(p次多項式)：,這里討論的都是僅僅局限于網(wǎng)格的離散誤差，即當(dāng)一個連續(xù)的求解域被離散成有限個子域，由單元的試函數(shù)來逼近整體的域的場函數(shù)所引起的誤差。另外，實際誤差還應(yīng)該包括計算機(jī)的數(shù)值運算誤差。,精確解與不同網(wǎng)格計算結(jié)果之間的關(guān)系,有限元分析的下限性質(zhì) 有限元是把結(jié)構(gòu)無限多的自由度簡化為有限多的自由度，結(jié)構(gòu)的剛度被夸大了，即使是用無限多個自由度來描述，也必然使得原系統(tǒng)剛度增加，變得更加剛硬，即剛度矩陣的總體數(shù)值變大，由剛度方程知，計算出的位移結(jié)果偏小。 由于位移函數(shù)的收斂性準(zhǔn)則包含完備性和協(xié)調(diào)性兩方面的要求，而完備性要求比較容易滿足，而協(xié)調(diào)性則較難滿足，因此這

15、往往是研究的重點。,位移解的下限性質(zhì)是基于協(xié)調(diào)單元單調(diào)收斂的前提得到的，在有些情況下，使用非協(xié)調(diào)單元也可以得到工程上的滿意解答，有時甚至更好，這是由于位移不協(xié)調(diào)引所造成的誤差與其它誤差相抵消的緣故。,6.9單元應(yīng)力計算結(jié)果的誤差和平均,應(yīng)力結(jié)果的誤差性質(zhì) 對于彈性問題，其三大變量 對于一個具體問題，成了求2關(guān)于的極值問題。它是一個誤差泛函。,可見，對于求近似解極值的問題 從力學(xué)上看，是求位移變分引起的總勢能為極小值的問題。 從數(shù)學(xué)上看，是求應(yīng)變差和應(yīng)力差在彈性矩陣加權(quán)意義下的最小二乘問題。 因此，應(yīng)變和應(yīng)力的近似解的性質(zhì)，是在加權(quán)殘值最小二乘意義上對真實應(yīng)變和真實應(yīng)力的逼近。,高斯點上的應(yīng)力性

16、質(zhì) 高斯積分點上的應(yīng)力和應(yīng)變的 近似解將具有比其它位置高得 多的精度，這可以從圖中看出。,公共節(jié)點上的應(yīng)力平均 繞節(jié)點直接平均法 繞節(jié)點加權(quán)平均法，可以按體積或面積加權(quán)平均 二單元平均法,6.10控制誤差和提高精度的h方法和p方法,h方法：不改變各單元基函數(shù)，只通過逐步加密單元使計算結(jié)果向正確解逼近。它往往采用比較簡單的單元。一般可以將誤差控制在510%范圍內(nèi)。 其收斂性比p方法差，但是由于不用高階多項式位移模式，數(shù)值穩(wěn)定性和可靠性都好。,p方法：保持網(wǎng)格固定剖分不變，增加單元上基底函數(shù)的階次，從而改善計算精度。 實際證明：p方法收斂性好，由于使用高次多項式，會出現(xiàn)數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象，另外，計算機(jī)容量和速度的限制，多項式的階次不能太高，尤其在振動和穩(wěn)定性問題求解高階特征值時，這兩個方法都不能得到令人滿意的結(jié)果，這是多項式插值本身的局限性造成的