1、1.2 復(fù)數(shù)的乘冪與方根,注:,1.2.1 復(fù)數(shù)的乘冪,解:,解:,1.2.3 復(fù)數(shù)的方根(乘冪的逆運(yùn)算),注:,解:,因?yàn)?所以,即,四個(gè)根是內(nèi)接于中心在原點(diǎn),半徑為21/8的圓的正方形的四個(gè)頂點(diǎn).,1.3 平面點(diǎn)集,平面上以 z0為中心, d (任意的正數(shù))為半徑的圓: |z-z0|d 內(nèi)部的點(diǎn)的集合稱為z0的鄰域, 而稱由不等式 0|z-z0|d 所確定的點(diǎn)集為z0的去心鄰域.,1.3.1 區(qū)域,設(shè)G為一平面點(diǎn)集, z0為G中任意一點(diǎn). 如果存在z0的一個(gè)鄰域, 該鄰域內(nèi)的所有點(diǎn)都屬于G, 則稱z0為G的內(nèi)點(diǎn). 如果G內(nèi)的每個(gè)點(diǎn)都是它的內(nèi)點(diǎn), 則稱G為開集,平面點(diǎn)集D稱為一個(gè)區(qū)域, 如果

2、它滿足下列兩個(gè)條件:1) D是一個(gè)開集;2) D是連通的。就是說D中任何兩點(diǎn)都可以用完全屬于D 的一條折線連接起來.,例4:,區(qū)域,不是區(qū)域(不是開集),不是區(qū)域(不連通),如果一個(gè)區(qū)域可以被包含在一個(gè)以原點(diǎn)為中心的圓里面, 即存在正數(shù) M,使區(qū)域 D的每個(gè)點(diǎn)z都滿足 |z|M, 則稱 D為 有界的, 否則稱為無界的.,0,M,|z|M,1.3.2 曲線,在數(shù)學(xué)上, 經(jīng)常用參數(shù)方程來表示各種平面曲線. 如果x(t)和y(t)是兩個(gè)連續(xù)的實(shí)變函數(shù), 則方程組x=x(t), y=y(t), (atb)代表一條平面曲線, 稱為連續(xù)曲線. 如果令z(t)=x(t)+iy(t)則此曲線可用一個(gè)方程z=z

3、(t)(atb)來代表. 這就是平面曲線的復(fù)數(shù)表示式.,1.簡(jiǎn)單曲線,簡(jiǎn)單閉曲線,設(shè)C: z=z(t) (atb)為一條連續(xù)曲線, z(a)與z(b)分別為C的起點(diǎn)與終點(diǎn). 對(duì)于滿足 at1b, at2b 的 t1與 t2, 當(dāng) t1t2而有 z(t1)=z(t2) 時(shí), 點(diǎn) z(t1)稱為曲線 C的重點(diǎn). 沒有重點(diǎn)的連續(xù)曲線 C, 稱為簡(jiǎn)單曲線或若爾當(dāng)(Jardan)曲線. 如果簡(jiǎn)單曲線 C的起點(diǎn)與終點(diǎn)閉合, 即 z(a)=z(b) , 則曲線 C 稱為簡(jiǎn)單閉曲線.,簡(jiǎn)單,閉,簡(jiǎn)單,不閉,非簡(jiǎn)單,不閉,非簡(jiǎn)單,閉,2.光滑曲線,逐段光滑曲線,由幾段光滑曲線銜接而成的曲線稱為分段光滑曲線.,1

4、.3.3 單連通區(qū)域,多連通區(qū)域,單連通域,多連通域,(一個(gè)整體),(帶有裂痕,漏洞),1.4 復(fù)變函數(shù),1.4.1復(fù)變函數(shù)的概念(實(shí)變函數(shù)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的推廣),單值函數(shù),多值函數(shù),定義在整個(gè)復(fù)平面上的多值函數(shù),定義在除原點(diǎn)外整個(gè)復(fù)平面上的單值函數(shù),則,兩類常見的復(fù)變函數(shù),1.4.2 復(fù)變函數(shù)的幾何解釋映照,幾何意義:,D,G,設(shè)函數(shù) w = z2 = (x+iy)2 = x2-y2+i2xy , 有 u = x2-y2, v = 2xy,1.5 初等函數(shù),介紹幾種常見的復(fù)變函數(shù)指數(shù)函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù),冪函數(shù),三角函數(shù),1.5.1 指數(shù)函數(shù),則,求得,(歐拉公式),復(fù)指數(shù)函數(shù),性質(zhì):,電源,此電路系統(tǒng)滿足疊加原則.,電源,電流,當(dāng)電路系統(tǒng)穩(wěn)定后,電路中的電壓,電流變化的頻率,最終與電源頻率相一致.,電容:,對(duì)應(yīng)的等效電阻為,電感:,對(duì)應(yīng)的等效電阻為,整個(gè)電路的總電阻為:,1.5.2 對(duì)數(shù)函數(shù),定義：,記：,多值性,-主值,例如：,性質(zhì):,證明:,1.5.3 冪函數(shù),定義:,為z的冪函數(shù).,單值函數(shù),.n值函數(shù),.n值函數(shù),