1清華大學(xué)本科生考試試題專用紙考試課程微積分2(期中考試)2006年4月22日班級姓名學(xué)號一、判斷題（每小題3分，共30分）在題目后的中畫“”或者“”1若Axnnlim不成立，則存在正數(shù)0與自然數(shù)N，使得當(dāng)Nn時(shí)恒有0|Axn2若0X，有0|)()(|limxfXxfx，則(limxfx存在。3若點(diǎn)列na的每一個(gè)子列jna都是柯西列，則nnxlim存在4若)(xf在,ba有無窮多個(gè)間斷點(diǎn)，則定積分baxxfd)(不存在5)(xf在區(qū)間I非一致連續(xù)的充分必要條件是：在I中可以找到兩個(gè)點(diǎn)列nx和nt使得0)(nntx，但是)()(nntfxf不趨向于零6不論實(shí)數(shù)p取何值，廣義積分0d1xxp都發(fā)散7)(xf在),0連續(xù)，不恒為零若|)(|xf單調(diào)增加，則)(xf在),0不變號8由黎曼積分baxxfd)(存在可以推出黎曼積分baxxfd)(2存在9設(shè)),2,1(nbann，Aannlim，Bbnnlim則BA10設(shè))(xf在區(qū)間,ba嚴(yán)格單調(diào)增加，)(,)(bfMafm則,1MmCf的充分必要條件是,baCf.2二、計(jì)算題（共30分）11（7分）計(jì)算無窮積分12dlnxxx解：12dlnxxx1dln1120xxxx12（8分）設(shè)1p若11lndxxxpp收斂，確定p的取值范圍解：11lndxxxpp211lndxxxpp2121lndIIxxxpp分由于1P，所以2I收斂分對于1I，1)(ln1)1(lim111pppxxxx所以當(dāng)2p時(shí)收斂，當(dāng)2p時(shí)發(fā)散結(jié)論：當(dāng)21p時(shí)收斂分13（分）用定積分計(jì)算極限nknknnk122lim解：nknknnk122lim102122d111limxxxnknknnkn1214（分）設(shè))(xf在1,1連續(xù)，3)0(f計(jì)算nnxxnxfnn2121dcos)(lim解：6)0(2)(2dcos)(1dcos)(dcos)(2221212121ffttfxxnnfxxnxfnnnnnnnn3三、證明題（每小題10分，共40分）15設(shè))(xf在),0(內(nèi)有定義若)(limxfx存在，用函數(shù)極限定義和數(shù)列極限定義證明數(shù)列)(limnfn存在解：設(shè))(limxfAx對于任意正數(shù)，根據(jù)極限定義，存在正數(shù)X，使得當(dāng)Xx時(shí)恒有|)(|Axf分取定一個(gè)大于X的自然數(shù)N，當(dāng)Nn時(shí)有Xn，于是只要Nn，就有|)(|Anf因此根據(jù)數(shù)列極限定義知道)(limnfnA10分16假設(shè))(xf在區(qū)間I處處可導(dǎo)，且)(xf有界，求證)(xf在區(qū)間I一致連續(xù)解：)(xf在區(qū)間I有界，所以存在正數(shù)M，使得)(|)(|IxMxf.2分Ivu,，|)(|)()(|vuMvufvfuf5分對于任意正數(shù)，取M，只要|vu，就有MMvuMvfuf|)()(|所以)(xf在區(qū)間I一致連續(xù).10分17設(shè)00a，),2,1(111naaannn證明na沒有收斂子列解：顯然na單調(diào)增加且非負(fù).2分下面用反證法證明na無界若na有界，則存在正數(shù)M，使得),2,1(nMan4分此時(shí)Man111),2,1(n于是Maaaa110001，Maaaa210122，.，Mnaaaann0101這推出na無界8分na單調(diào)增加且無界，所以na單調(diào)增加趨向于正無窮，于是每個(gè)子列都單調(diào)增加趨向于正無窮，因此每個(gè)子列都沒有收斂子列418假設(shè))(xf在),(存在二階導(dǎo)數(shù)0)0(f，1)0(f，0)(xf，0)(xf任取00x，構(gòu)造點(diǎn)列),2,1()(1nxfxnn求證：(1)若00x，則nx單調(diào)減少趨向于零(2)若00x，則nx單調(diào)減少趨向于負(fù)無窮解：(1)設(shè)00x容易看出當(dāng)0x時(shí)，1)(0xf所以0)0()(01fxfx，并且00001)()0()(0)(xxffxfxfx歸納得到10nnxx于是nx單調(diào)減少且有下界0因此nnxalim存在且0a再證明0a反證：假設(shè)0a，則axfafnn)(lim)(這不可能因?yàn)樵趨^(qū)間),0(有)(xf1，因此若0a，則aaffafaf)()0()()(2)設(shè)00x容易看出當(dāng)0x時(shí)，1)(xf因此00011)(0)(0xxfxfxx歸納得到nx單調(diào)減少還可