1清華大學本科生考試試題專用紙考試課程微積分2(期中考試)2006年4月22日班級姓名學號一、判斷題（每小題3分，共30分）在題目后的中畫“”或者“”1若Axnnlim不成立，則存在正數0與自然數N，使得當Nn時恒有0|Axn2若0X，有0|)()(|limxfXxfx，則(limxfx存在。3若點列na的每一個子列jna都是柯西列，則nnxlim存在4若)(xf在,ba有無窮多個間斷點，則定積分baxxfd)(不存在5)(xf在區(qū)間I非一致連續(xù)的充分必要條件是：在I中可以找到兩個點列nx和nt使得0)(nntx，但是)()(nntfxf不趨向于零6不論實數p取何值，廣義積分0d1xxp都發(fā)散7)(xf在),0連續(xù)，不恒為零若|)(|xf單調增加，則)(xf在),0不變號8由黎曼積分baxxfd)(存在可以推出黎曼積分baxxfd)(2存在9設),2,1(nbann，Aannlim，Bbnnlim則BA10設)(xf在區(qū)間,ba嚴格單調增加，)(,)(bfMafm則,1MmCf的充分必要條件是,baCf.2二、計算題（共30分）11（7分）計算無窮積分12dlnxxx解：12dlnxxx1dln1120xxxx12（8分）設1p若11lndxxxpp收斂，確定p的取值范圍解：11lndxxxpp211lndxxxpp2121lndIIxxxpp分由于1P，所以2I收斂分對于1I，1)(ln1)1(lim111pppxxxx所以當2p時收斂，當2p時發(fā)散結論：當21p時收斂分13（分）用定積分計算極限nknknnk122lim解：nknknnk122lim102122d111limxxxnknknnkn1214（分）設)(xf在1,1連續(xù)，3)0(f計算nnxxnxfnn2121dcos)(lim解：6)0(2)(2dcos)(1dcos)(dcos)(2221212121ffttfxxnnfxxnxfnnnnnnnn3三、證明題（每小題10分，共40分）15設)(xf在),0(內有定義若)(limxfx存在，用函數極限定義和數列極限定義證明數列)(limnfn存在解：設)(limxfAx對于任意正數，根據極限定義，存在正數X，使得當Xx時恒有|)(|Axf分取定一個大于X的自然數N，當Nn時有Xn，于是只要Nn，就有|)(|Anf因此根據數列極限定義知道)(limnfnA10分16假設)(xf在區(qū)間I處處可導，且)(xf有界，求證)(xf在區(qū)間I一致連續(xù)解：)(xf在區(qū)間I有界，所以存在正數M，使得)(|)(|IxMxf.2分Ivu,，|)(|)()(|vuMvufvfuf5分對于任意正數，取M，只要|vu，就有MMvuMvfuf|)()(|所以)(xf在區(qū)間I一致連續(xù).10分17設00a，),2,1(111naaannn證明na沒有收斂子列解：顯然na單調增加且非負.2分下面用反證法證明na無界若na有界，則存在正數M，使得),2,1(nMan4分此時Man111),2,1(n于是Maaaa110001，Maaaa210122，.，Mnaaaann0101這推出na無界8分na單調增加且無界，所以na單調增加趨向于正無窮，于是每個子列都單調增加趨向于正無窮，因此每個子列都沒有收斂子列418假設)(xf在),(存在二階導數0)0(f，1)0(f，0)(xf，0)(xf任取00x，構造點列),2,1()(1nxfxnn求證：(1)若00x，則nx單調減少趨向于零(2)若00x，則nx單調減少趨向于負無窮解：(1)設00x容易看出當0x時，1)(0xf所以0)0()(01fxfx，并且00001)()0()(0)(xxffxfxfx歸納得到10nnxx于是nx單調減少且有下界0因此nnxalim存在且0a再證明0a反證：假設0a，則axfafnn)(lim)(這不可能因為在區(qū)間),0(有)(xf1，因此若0a，則aaffafaf)()0()()(2)設00x容易看出當0x時，1)(xf因此00011)(0)(0xxfxfxx歸納得到nx單調減少還可