清華大學本科生考試試題專用紙微積分期終考試A卷2006年1月8日姓名學號班級一、填空題（每空題3分，共39分）1曲面122zyx在點)1,1,1(的切平面方程是0322zyx.2設f為連續(xù)可微函數(shù)，2)1(f.令)(),(2yzxfzyxg，則)1,1,1(g(4,2,2)。解：4)1,1,1(xg，2)1,1,1(yg，2)1,1,1(zg.)2,2,4()1,1,1(g3設S為球面4222zyx上的不與坐標軸相交的一片，則S上的點),(zyx的外側單位法向量是2),(zyx；如果S的面積等于A，則SzyxyxzxzyddddddS23.解：zkyjxiv,),(21zyxn.23nv.原積分SSS23d23.4常微分方程052yyy的通解為)2sin2cos(21xcxceyx。5設常微分方程xyxyxy2sinsincos有三個線性無關解)(1xy，)(2xy和)(3xy則微分方程0sincosyxyxy的通解是)()()()(312211xyxyCxyxyC.6假設函數(shù))(ty滿足方程tyyycos1則ttyt)(lim0。7設空間光滑曲面S的方程為),(yxfz，222yx，上側為正其中函數(shù)),(yxf有連續(xù)的偏導數(shù)則Syxyxdd)(222。解：Syxyxdd)(222dd20320rr.8設1|),(2222yxzyxzyx，則三重積分zyxzyxfddd),(可以化成球坐標系下的累次積分4021020dsin)cos,sinsin,cossin(ddf.9D是由曲線xyln、直線ex，以及x軸圍成的平面區(qū)域，則Dyxxdd解：Dyxxdde1ln0e1dlnddxxxyxxx21144e10錐面22yxz含在柱面4)2008()2007(22yx內部的面積等于24。11設L為曲線)0(222yxyx，則lxLd222。lxLd2222d1d)2(12d221122020202022xxxxxxxxxxxxx二、解答題12(分)是錐面222zyx與平面2z圍成的空間區(qū)域計算.ddd)32(zyxzyx解.解法：先一后二：由對稱性有zyxzzyxzyxdddddd)32(分zyxzddd242222dddyxyxzzyx22dddrrzzrr分22020dddrzzrr202)d4(rrr4)412(2042rr.分解法：先二后一：zyxzzyxzyxdddddd)232(分20ddzddddzDyxzzyxz其中zD是區(qū)域222zyx，分20ddzdzDyxz4dz203z分13（分）設S是拋物10,)(2122zyxz在S任意點一點),(zyx的質量密度為221yx求S的質心解.求質量：SSSyxmMd1d22分.dd111222222yxyxyxyx分4d)1(d20220rrr分靜力矩有對稱性知道0yxJJ分SSzSyxzmzJd1d22分222222222dd11)(21yxyxyxyxyx分37d)1(d21202220rrrr分質心的z坐標127MJzz分有同學理解成三重積分。如果質量和靜力矩寫到下面的結果：MJzyxz,0,0.dzrrdrdMr1220202211，dzrzrdrdJrz1220202211則可以得8分。其后視具體情形而定.1(10分)如圖，L是有向光滑曲線，起點為原點O，終點為)2,2(A已知L與線段OA圍成的區(qū)域D的面積等于A)(tf有連續(xù)導數(shù)計算曲線積分yxyxyyxLxd)4e2(d)2e(2解：根據(jù)格林公式得到分5.2dd2dd)22()42(d42d2)(2AyxyxyeyeyxyexyeyDDxxxxLOA于是yxyexyeyxxLd42d22分7.2d42d22AyxxexyeyxxOA對于后一個積分，取x為參數(shù)xy，20x124)3(d)62(d42d2220222022exexxxxeexyxyexyeyxxxxxOA.10分15(8分)設L為平面:S1zyx在第一卦限中的部分的邊界，方向是)0,0,1()1,0,0()0,1,0()0,0,1(ACBA空間有一個力場kxjziyzyxF62),(求單位質點P在L上某點出發(fā)，繞L運動一周時，F(xiàn)對于質點所做的功解：設S上側為正由斯托克斯公式,單位質點P在L上某點出發(fā)，繞L運動一周時，F(xiàn)對于質點所做的功等于SkjixzyzyxkjilkxjziySLd362d)62(.3分分分8.25dd335.6.d351010xyxSyxS16(10分)設)(xf在),(上有二階連續(xù)導數(shù)且.1)0()0(ff又設對于空間3R中的任意一張光滑的閉合曲面S，都有0dd2dd)(dd)(Sxyxzexzxyfzyxf，求)(xf解：由題意，在任意一個由光滑簡單封閉曲面圍成的區(qū)域上，由高斯公式有0ddd)2)()(dd2dd)(dd)(