A 題 備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)的一條捷徑 301 中國 高考數(shù)學(xué)母題 (第 098 號 ) 球的截面 平面與球相交 ,平面被球截 得 圓 ;球的截面問題是球的基本問題 ,與圓類比可建立球的截面的 基本結(jié)論 ;利用基本結(jié)論 ,可妙解一類高考試 題 . 母題結(jié)構(gòu) :如果球的半徑為 R,截面圓的半徑為 r,球心到截面的距離為 d,則 d2+2. 母題 解 析 :略 . 子題類型 :(2007 年寧夏、海南高考試題 )己 知三棱錐 各頂點都在一個 半徑為 R 的球面上 ,球心 B 上 ,面 C= 2 R,則球的體積與三棱錐體積 之比是 ( ) (A) (B)2 (C)3 (D)4 解析 :如圖 ,三棱錐 高 h=,在 底面 , 2 R 2 R S 12 31S h=31V 球 :4 1 D). 點評 :特殊截面 就是截面過球心 ,即球的大圓 殊截面 問題 ,應(yīng)理解 :底面 多邊形的外接圓半徑是球的半徑 ;當各側(cè)棱相等的棱錐的底面在其外接球的大圓上時 ,棱錐的高等于其外接球的半徑 . 同 類 試題 : 1.(2007年陜西高考試題 )己知正三棱錐的四個頂點都在半徑為 1的球面上 ,其中底面的三個頂點在該球的一個大圓上 ,則該正三棱錐的體積為 ( ) (A)433(B)33(C)43(D)1232.(2006 年四川高考試題 )如圖 ,正四棱錐 四個頂點 A、 B、 C、 D 在球 O 的同一個大圓上 , 點 P 在球面上 的表面積是 ( ) (A)4 (B)8 (C)12 (D)16 子題類型 :(2011 年 大綱 高考試題 )已知平面截一球面 得圓 M,過圓心 M 且與 成 600二面角的平面截該球面得圓 半徑為 4, ,圓 N 的 面積為 ( ) (A)7 (B)9 (C)11 (D)13 解析 :如圖 ,由圓 M 的面積為 4 圓 M 的 半徑 3 ;在 ,00 3 圓 N 的 半徑 r= 13 圓 13 D). 點評 :截面不過球心的情況 ,要重點關(guān)注三個量 :一是球的半徑 ,二是截面圓的半徑 ,三是球心到截面 (既球心與截面圓的圓心 )的距離 r2+2,由其二 ,求其三 . 同 類 試題 : 3.(2006 年全國 的高考試題 )過球的一條半徑的中點 ,作垂直于該半徑的平面 ,則所得截面的面積與球的表面積之比為( ) (A)163(B)169(C)83(D)3294.(1989 年全國高考試題 )己知球的兩個平行截面的面積分別為 5和 8 ,它們位于球心的同一側(cè) ,且相距為 1,則這個球的半徑是 ( ) (A)4 (B)3 (C)2 (D)5 子題類型 :(2004 福建高考試題 )如圖 ,A、 B、 C 是表面積為 48的球面上三點 , 00,O 為球心 ,則 直線 截面 成角的余弦值為 ( ) 302 備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)的一條捷徑 2017年課標高考 母題 (A)63(B)33(C)633(D)36解析 :由球的表面積 =48 球的 半徑 3 ;在 ,由 , 00 2 3 2r=060 外接圓半徑 r=2 直線 截面 成角的余弦值 =3. 故選 (B). 點評 :基本結(jié)論 的引伸可以通過隱含公式 r2+2中的 r 與 d 進行 ,如球面上三點的問題是 基本結(jié)論 的引伸 ,解決此類問題的關(guān)鍵是 ,求球面上三點構(gòu)成的三角形外接圓半徑 r,然后利用 基本結(jié)論 解 決問題 . 同 類 試題 : 5.(2004 年全國 高考試題 )己知球的表面積為 20 ,球面上有 A、 B、 C 三點 ,如果 C=2, 3 ,則球心到平面 ) (A)1 (B) 2 (C) 3 (D)2 6.(2004 年遼寧高考試題 )設(shè) A、 B、 C、 D 是球面上的四點 ,且在同一平面上 ,C=A=3,球心到該平面的距離是球半徑的一半 ,則球的體積是 ( ) (A)8 6 (B)64 6 (C)24 2 (D)72 2 7.(2007 年全國高考試題 )正四棱錐 底面邊長與各側(cè)棱長都為 2 ,點 P、 A、 B、 C、 D 都 在同一個球面上 ,則該球的體積為 . 8.(2006 年遼寧高考試題 )己知正六棱錐 所有頂點都在 半徑為 2 的球 O 上 ,且底面正六 邊形 球 O 的一個大圓上 ,則此正六棱錐的側(cè)面積為 . 9.(2008 年四川高考試題 )設(shè) M、 N 是球 O 半徑 的兩點 ,且 N=別過 N、 M、 O 作垂直于 平面 ,截球面得三個圓 ,則這三個圓的面積之比為 ( ) (A)3:5:6 (B)3:6:8 (C)5:7:9 (D)5:8:9 設(shè)半徑分別為 R,則 2-(32R)2=95R2,2-(31R)2=98比 =2=5:8:D). 10.(2008 年全國 高考試題 )已知球的半徑為 2,相互垂直的兩個平面分別截球面得兩個圓 ,則兩圓的圓心距等于 ( ) (A)1 (B) 2 (C) 3 (D)2 設(shè)兩圓的圓心分別為 心為 O,公共弦為 中點為 E,則 對角線 E= 3 C). 11.(2004 年全國 高考試題 )(文 )己知球的表面積為 20 ,球面上有 A、 B、 C 三點 ,如果 C= 3 ,則球心到平面距離為 ( ) (A)1 (B) 2 (C) 3 (D)2 12.(2010 年 大綱 高考試題 )已知球 O 的半徑為 4,圓 M 與圓 N 為該球的兩個小圈 ,圓 M 與 圓 N 的公共弦 ,若N=3,則兩圓圓心的距離 . 由 底面 正三角形的面積 =433,高 =1 體積 =C) :由 216 R=2 表面積 =16 D). 由 d=2R r=23R 比值 =A). 由 5 , 2 =(h+1)2+5=R=B). 由 ,21 r=2 d=A). 由 r=223,由 d=2