中國(guó) 高考數(shù)學(xué)母題一千題 (第 0001 號(hào) ) 三項(xiàng)式展開問題及三項(xiàng)式定理 解決 三項(xiàng)式展開問題 的 方 法 二項(xiàng)式定理 較完 整 的解決了 二項(xiàng)展開式 的 問題 ,那么 ,利用 二項(xiàng)式定理 能否解決 三項(xiàng)展開式問題 ？ 三項(xiàng)式定理 又是什么？為此我們先 給出 三項(xiàng)式定理 . 母題結(jié)構(gòu) :(三項(xiàng)式定理 ):(a+b+c)(k1,k2,!！kk!k ! 321 其 中 k1,k2,N,且 k1+k2+k3=n. 母題 解 析 :在 (a+b+c)n是 n 個(gè) (a+b+c)相乘 ,每個(gè) (a+b+c)在相乘時(shí)有三種選擇 :選 a,或 b,或 c,而且 每個(gè) (a+b+c)中的a,或 b,或 c 都選定后 ,才能得到展開式中的一項(xiàng) ,因此 ,由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知 ,在合并同類項(xiàng)之前 ,(a+b+c)開式共有 3其中每一項(xiàng)都是 其中 k1,k2,N,且 k1+k2+k3=n)的形式 ;對(duì)于某 一項(xiàng) 由 a+b+c)中 選 a,由 a+b+c)中 選 b 得到的 ,因此 ,現(xiàn)的次數(shù)相當(dāng)于從 n 個(gè) (a+b+c)中 選 再?gòu)挠嘞碌?a+b+c)中 選 組合數(shù) 21！) 11 n！)！( 212 2 =!！kk!k ! 321 n,即 合并同類項(xiàng) 后 ,項(xiàng) 系數(shù) = !！kk!k ! 321 n 通項(xiàng) T(k1,k2,!！kk!k ! 321 子題類型 :(1984 年 全國(guó) 高考試題 )(|x|+|1的展開式中的常數(shù)項(xiàng) 為 . 解析 :(法一 )由 (|x|+|1=(|x|+|1x)的 通項(xiàng) =2)3x|+|1x)k;由 (|x|+|1x)項(xiàng) =項(xiàng) k 為偶 數(shù) k=0,2:當(dāng) k=0 時(shí) ,常 數(shù)項(xiàng) =(8;當(dāng) k=2 時(shí) ,(|x|+|1x)2 展開式中的常數(shù)項(xiàng) =2 常 數(shù)項(xiàng)=2(32=上 ,展開式中的常數(shù)項(xiàng) =(法 二 )由 (|x|+|1=( |x -|1x)6的 通項(xiàng) =(-1)|x )6展開式中的常數(shù)項(xiàng) =(20. (法 三 )由 (|x|+|1的通項(xiàng) T(k1,k2,!！kk!k !3 321|x|1k (|1x)2k (k =!！kk!k !3 321(k |x|1k - 2k ,其中 k1+k2+; 令 2k1+ (k1,k2,(0,0,3),(1,1,1) 常數(shù)項(xiàng) =!！30!0!3(+!！11!1!3(=點(diǎn)評(píng) :法一 添加括號(hào) ,把某兩項(xiàng)看成一項(xiàng) ,這是把三項(xiàng)式向二項(xiàng)式轉(zhuǎn)化的有效途徑 ;法二將 三項(xiàng)式 分解因式 ,這 樣可 把三項(xiàng)式 轉(zhuǎn)化為兩個(gè)二項(xiàng)式 積的形式 ;若 三項(xiàng)式恰好是二項(xiàng)式的平方 ,則也可直接轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式問題求解 ;法三利用三項(xiàng)式定理 ,注意 :各指數(shù) 0 k n;各指數(shù)所 滿足的條件 :各指數(shù) 和 =n; 分析研究不定方程組 的所有解 . 子題類型 :(1992年 全國(guó) 高考試題 )在 (x+2)5的展開式中 ) (A)160 (B)240 (C)360 (D)800 解析 :(法一 )由 (x+2)5=(x)+25的 通項(xiàng) =x)5且僅當(dāng) k=4時(shí) ,=x)5 展開式中 x 的系數(shù) =3 24B). (法 二 )由 (x+2)5=(x+1)5(x+2)5,(x+1)5 的 通項(xiàng) =x+2)5 的 通項(xiàng) =25展 開式中 x 的系數(shù) =5125B). (法 三 )由 (x+2)5的 展開式中 x 的系數(shù) =(3x+2)5的 展開式中 x 的系數(shù) =3 2440. (法 四 )由 (x+2)5的 展開式 的通項(xiàng) T(k1,k2,!！kk!k !5 321(k (3x)2k 23k =!！kk!k !5 321 23k 32k 2k ,其中 k1+;令 2k1+ , 展開式中 x 的系數(shù) 240. 點(diǎn)評(píng) :解決 三項(xiàng)式 (a+b+c)開式問題 的基本思 路 有 :轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式 展開式問題 ; 直接利用 三項(xiàng)式 定理 . 子題類型 :(2015 年 課 標(biāo) 高考試題 )(x2+x+y)5的展開式中 , ) (A)10 (B)20 (C)30 (D)60 解析 :(法一 )由 (x2+x+y)5=(x2+x)+y5 的 通項(xiàng) =x2+x)5 ,k=2 (x2+x)3=x3(x+1)3 (x+1)3 中 系數(shù)C). (法 二 )由 (x2+x+y)5的 展開式 的通項(xiàng) T(k1,k2,!！kk!k !5 321(k (x)2k !！kk!k !5 321 k +2k 其中 k1+k2+;令 2k1+, , !！22!1!5=C). 點(diǎn)評(píng) :三項(xiàng)式定理 展開式的通項(xiàng)公式 ,結(jié)構(gòu)對(duì)稱優(yōu)美 ,易于記憶 開式的通項(xiàng)公式 是解決 三項(xiàng)式 展開式 問題 的 母題公式 . 1.(2003 年 安徽 春招 試題 )(41x+1)6的展開式中常數(shù)項(xiàng)為 (用數(shù)字作答 ). 2.(2004 年 安徽 春招 試題 )若 (x+20,則自然數(shù) n= . 3.(2005 年湖北 高考試題 )(2x+2 )5的展開式中整理后的常數(shù)項(xiàng)為 . 4.(1997 年全 國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽上海 初賽試題 )展開式 (1+x+的常數(shù)項(xiàng)是 . 5.(2012 年全 國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽四川 初賽試題 )(x2+的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是 (用具體數(shù)字作答 ). 6.(2014 全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽 浙江 初賽試題 )x R+,則 (展開式中常數(shù)項(xiàng)為 ( ) (A) (B) (C) (D).(2005年全 國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽安徽 初賽試題 )在 (x+2)5的展開式中 ,含 . 8.(2009年 江 西 高考試題 )(1+ax+by)43,不含 2,則 a,b,n 的只可能為 ( ) (A)a=2,b=-1,n=5 (B)a=-2,b=-1,n=6 (C)a=-1,b=2,n=6 (D)a=1,b=2,n=5 (法一 )由 (41x+1)6=(x+2的 通項(xiàng) =(21) k=6 常數(shù)項(xiàng) =(21)66231. (法 二 )由 (41x+1)6的 通項(xiàng) T(k1,k2,!！kk!k !6 321(k (241x)2k =!！kk!k !6 321(41)2k k k ;令 2 2k1+ (k1,k2,(3,3,0),(2,2,2),(1,1,4),(0,0,6) 常數(shù)項(xiàng) = !！03!3!6 (41 )3+!！22!2!6(41)2+!！41!1!6(41)1+!！60!0!6(41)0=16231. 由 (x+n=(x 項(xiàng) =(-1)x )2 2 k=n 常數(shù)項(xiàng) =(-1)20 n=3. (法一 )由 (2x+2 )5=(2x+0的通項(xiàng) =(21)10x )10常數(shù)項(xiàng) =(21)5263. (法 二 )由 (2x+2 )5的通項(xiàng) T(k1,k2,!！kk!k !5 321(21)1k ( 2 )3k 2k ;則 k1=k1+ (k1,k2,(2,2,1),(1, 1,3),(0,0,5) 常數(shù)項(xiàng) =!！12!2!5(21)2( 2 )+!！31!1!5(21)( 2 )3+!！50!0!5( 2 )5=2263. (法一 )由 (1+x+的通項(xiàng) =x+x1)k= (k,t)=(0,0),(2,1),(4,2),(6,3) 常數(shù)項(xiàng) =747693. (法 二 )由 (1+x+的 通項(xiàng) T(k1,k2,!！kk!k !7 321 3k ;則 k2=k3, (k1,k2,(1,3,3), (3,2,2),(5,1,1),(7,0,0) 常數(shù)項(xiàng) =!！31!3!7+!！23!2!7+!！15!1!7+!！07!0!7=393. 由 T(k1,k2,!！kk!k !6 321(