中國 高考數(shù)學(xué)母題一千題 (第 0001 號(hào) ) 愿與您共建真實(shí)的中國高考數(shù)學(xué)母題 (楊培明 巧用 阿達(dá)瑪積分不等式 要 不等式 重要 不等式 及其應(yīng)用 證明不等式是高考的熱點(diǎn)、重點(diǎn)和難點(diǎn) ,實(shí)質(zhì)上 ,許 多 不等式 與 定積分 有著天然的聯(lián)系 ,因此 有獨(dú)特的功 能 ;構(gòu)造兩個(gè)母題不等式如下 . 母題結(jié)構(gòu) :( )(阿達(dá)瑪 積分不等式 ) 如果 函數(shù) f(x)在 a,b上是凹函數(shù) ,且 f(x)0,則2 )()( ba ( f(2; 如果 函數(shù) f(x)在 a,b上是凸函數(shù) ,且 f(x)0,則2 )()( 曲邊梯形 梯形 面積 2 )()( (ba (f(2(2 )()( ba ( f(2;同理可證 ; ( ) 當(dāng) x 由 f(x) g(x) f(x)-g(x) 0 xa ()( 0 xa ( xa ( F(x)-F(a) G(x)-G(a) 0 ax ()(F(x) G(x);當(dāng) x a 時(shí) ,由 f(x) g(x) f(x)-g(x) 0 ax ( ax ( F(a)-F(x) G(a)-G(x) F(x) G(x). 分 不等式 子題類型 :(2013 年 陜西 高考 理科 試題 )已知函數(shù) f(x)=ex,x R. ( )若直線 y=與 f(x)的反函數(shù)的圖像相切 ,求實(shí)數(shù) k 的值 ; ( )設(shè) x0,討論曲線 y=f(x)與曲線 y=m0)公共點(diǎn)的個(gè)數(shù) ; ( )設(shè) 曲線 y=h(x)與 y=m 恰有兩個(gè)公共點(diǎn) ,即 曲線 y=f(x)與 y= ( )設(shè) A(a,f(a),B(b,f(b),作 ,由梯形 曲邊梯形 2 )()( (b ba ( 2 )()( (f(b)-f(a)2 )()( ab )()(. 點(diǎn)評(píng) :阿達(dá)瑪積分不等式 是一個(gè)根本性的 不等式 ,由其可以產(chǎn)生許多重要的 不等式 . 子題類型 :(貝努利 不等式 )若 x x 0,p 1,求證 :(1+x)p1+解析 :當(dāng) x0 時(shí) ,由 (1+x)p1+(1+x)p|1+以 ,只需證 :(1+x)p (1+ n(1+x)p (1+ x)1 成立 ;當(dāng) (1+x)p|0,求 證 :2ba ba 解析 :由 ab0 x=;而2ba ba 21ba 211 211xx|以 ,只需證 : (21 (11 )1( 2x,僅在 x=l 時(shí)取等號(hào) ;又ba ba +n)m. 3.(2007 年 湖北 高考試題 )已知 m,n 為正整數(shù) . ( )用數(shù)學(xué)歸納法證明 :當(dāng) x ,(1+x)m 1+( )對(duì)于 n 6,已知 (1n)數(shù) p1,n N*. ( )證明 :當(dāng) x x 0 時(shí) ,(1+x)p1+( )數(shù)列 足 a1=an+明 :an 5.(2011 年 湖 南 高考試題 )設(shè)函數(shù) f(x)=a R), ( )討論 f(x)的單調(diào)性 ; ( )若 f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn) 過點(diǎn) A(x1,f(,B(x2,f(,的直線的斜率為 k,問 :是否存在 a,使得 k=2存在 ,求出 a 的值 ;若不存在 ,請(qǐng)說明理由 . 6.(2005 年 湖 南 高考試題 )已知函數(shù) f(x)=g(x)=21bx,a 0. ( )若 b=2,且 h(x)=f(x)-g(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間 ,求 a 的取值范圍 ; ( )設(shè)函數(shù) f(x)的圖象 g(x)圖象 、 Q,過線段 中點(diǎn)作 x 軸的垂線分別交 2于點(diǎn) M、 N,證明 : 處的切線與 處的切線不平行 . ( )由 f(x)的反函數(shù)為 g(x)=g (x)= g(1)=1 切線方程 :y=x+1; ( )令 h(x)=f(x)-(21x2+x+1)= h (x)=h (x)=h x)=h (0)=0 h(x)在 R 上遞增 ,又h(0)=0 曲線 y=f(x)與曲線 y=21x2+x+1 有唯一 公共點(diǎn) (0,1); ( )設(shè) A(a,f(a),B(b,f(b),M(2f(2),作 x 軸于 D,x 軸于 C,x 軸于 N, E,交 F,由矩形 f(2. ( )略 ;( )由 1 (1+m)1+m=1+n (1+m)n(1+n)m. ( )略 ;( )當(dāng) n 6,m n 時(shí) ,由 (1n)m 1-3(1- 3m (1n) 當(dāng) n=1 時(shí) ,已知 a1 假設(shè)當(dāng) n=k 時(shí) ,ak則當(dāng) n=k+1 時(shí) ,= ak+= +pc +p1(由 ak0 +pp1(pc 綜上 ,an ( )f(x)的定義域?yàn)?(0,+ ),f (x)=21x();當(dāng) a 2時(shí) ,f (x) 0 f(x)在 (0,+) 上單調(diào)遞增 ;當(dāng) a2時(shí) ,由 f (x)=0 42 42 f(x)在 (0, () 上單調(diào)遞增 ,在 (x1,單調(diào)遞減 ; ( )由 ( )知 ,a 21故不存在 a,使得 k=2( )略 ; ( )設(shè) P(x1,Q(x2,A(),B(),由 h(x)=f(x)-g(x)=h (x)=f (x)