第 1 章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)和牛頓運(yùn)動(dòng)定律 參考習(xí)題答案 1知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為 x = R y = R z = 2 ),其中 R、 、 ： （ 1） 質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程的矢量形式； （ 2） 任一時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度 解： )2/(s o s 2/(c i n ) )s i c o i o s 222 1徑為 R 的輪子沿 y = 0的直線作無(wú)滑滾動(dòng)時(shí)，輪邊緣質(zhì)點(diǎn) 的軌跡為 ) ) 求質(zhì)點(diǎn)的速度；當(dāng) 為常量時(shí)，求速度為 0 的點(diǎn) 解： )c o s( ， s 即 1 c o s s i t i + )c o s ，速度為 0 即 0)c o 0s ,2,1,0,2 1質(zhì)點(diǎn)沿半徑為 R 的圓周按規(guī)律 20 12S t b t運(yùn)動(dòng)，其中0、 b 都是常量 （ 1） 求 t 時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的總加速度； （ 2） t 為何值時(shí)總加速度數(shù)值上等于 b ？ （ 3） 當(dāng)加速度達(dá)到 b 時(shí)，質(zhì)點(diǎn)已沿圓周 運(yùn)行了多少圈？ 解： 速率 0， 切向加速度的大小 ， 法向加速度的大小R ( ，加速度nn 加速度的大小 240222 R n （ 2） a = b 時(shí)，即 402 02b ， (3) a = b 時(shí)， 12121 轉(zhuǎn)動(dòng)圈數(shù) 4220 1圖 1示的裝置中，兩物體的質(zhì)量為 體之間及物體與桌面間的摩擦系數(shù)都是 ，求在力 F 的作用下兩物體的加速度及繩內(nèi)張力，不計(jì)滑輪和繩的質(zhì)量及軸承摩擦，繩不可伸長(zhǎng) 解：根據(jù)題意，由滑輪的關(guān)系可知繩內(nèi)張力 T = 2F，設(shè) f1，受力如圖所示。 （ 1），若 時(shí)，此時(shí) 1 ，水平向右， 1題 1圖 還受到地面對(duì)它的靜摩擦力 滑動(dòng)，則 ( 211 ，而 可能大于( 21 ，故 021 T = 2F （ 2）若 時(shí)， 則 內(nèi)張力還是 T = 2F 111 1112 111 2 m 力如圖所示，由于 ， 則 02 a 1圖 1示的滑輪系統(tǒng)中，123 ，如果滑輪和繩的質(zhì)量和轉(zhuǎn)軸處的摩擦略去不計(jì)，且繩不可伸長(zhǎng)，求 1和 解：設(shè) 1111 ， 2222 ， 3323 ， 21 2 ， 32 聯(lián)立求解得 ， ， (4 ，豎直向上。 第 2章 動(dòng)量和角動(dòng)量 習(xí)題參考答案： 2物體上有一變力 F 作用，它隨時(shí)間變化的關(guān)系如下：在 ， F 均勻地由 0 增加到f1 f1 1題 1圖 A B T2 m1 m2 2 20N；又在以后 ， F 保持不變；再經(jīng) F 又從 20N 均勻地減少到 0 畫出 F- t 圖； 求 這段時(shí)間內(nèi)力的沖量及力的平均值； 如果物體的質(zhì)量為 3 始速度為 1m/s， 且 與力的方向一致，問(wèn)在力剛變?yōu)?0 時(shí)，物體的 速度為多大？ 解： 根據(jù)定積分的定義，用計(jì)算面積的方法 ，可得 這段時(shí)間內(nèi)力的沖量 為 01d ( 0 . 2 0 . 4 ) 2 0 N s 6 N t 力的平均值 為 6 N 1 5 . 4IF t 根據(jù)動(dòng)量定理 ，有 0所以 0 6 3 1 m s 3 m m 2顆子彈由槍口射出時(shí)速率為0子彈在槍筒內(nèi)被加速時(shí)，它所受的合力為( ) NF a b t （ a， b 為 正常數(shù) ） ，其中 t 的 單位為秒 (s ) 假設(shè)子彈運(yùn)行到槍口處合力剛好為零，試計(jì)算子彈走完槍筒全長(zhǎng)所需 的 時(shí)間； 求子彈所受的沖量 ； 求子彈的質(zhì)量 解： 子彈走完槍筒全長(zhǎng)所需 的 時(shí)間 t ， 由題意， 得 ( ) 0F a b t ，所以 at b 子彈所受的沖量 t 221)( 將 t= 2 由動(dòng)量定理可求得子彈的質(zhì)量 20022量為 M 的 人 手里拿著一個(gè)質(zhì)量為 m 的物體，此人用與水平面成 角的速率0向前跳去 當(dāng)他達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)，他將物體以相對(duì)于人為 u 的水平速率向后拋出 問(wèn)：由于人拋出物體，他跳躍的距離增加了多少 ?(假設(shè)人可視為質(zhì)點(diǎn) ) 解： 取如圖所示坐標(biāo)把人與物視為一系統(tǒng)，當(dāng)人跳躍到最高點(diǎn)處，在向左拋物的過(guò)程中滿足動(dòng)量守恒，故有 0 c o M m u 式 中 為人拋物后相對(duì)地面的水平速率， u 為拋出物對(duì)地面的水平速率得 0 c o s 的水平速率的增量為 0 c o s 而人從最高點(diǎn)到地面的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 0 t g所以，人跳躍后增加的距離 0 s i m x m g 2圖 2示，一質(zhì)量為 m 的滑塊在 14圓弧形滑槽中從靜止滑下 設(shè)圓弧形滑槽的質(zhì)量為 M、 半徑為 R， 略 去 所有摩 擦力 求當(dāng)滑塊 m 滑到槽底時(shí)，滑槽 M 在水平方向移動(dòng)的距離 解： 以 m 和 M 為研究系統(tǒng)，所受的外力為重力 地面對(duì)滑槽的支持力 N，如圖 所示，系統(tǒng)在水平方向不受外力，因此在水平方向動(dòng) 量 守恒。設(shè)在下滑 過(guò)程中， m 相對(duì)于 M 的速度為 ， M 相對(duì)地的速度為 V 。 在水平方向有 0 V M V 圖 2題 2圖 求解上式，得 x m設(shè) m 在 滑槽上滑行的時(shí)間為 t， 在水平方向相對(duì)于 M 移動(dòng)的距離為 R，即 00 t V 滑槽在水平方向移動(dòng)的距離為 d t 第 3章 功和能 習(xí)題 參考答案： 3用在質(zhì)點(diǎn)上的力為 76F i j （ ） ，求： 當(dāng)一質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到 3 4 1 6 r i j F 所做的功 ； 如果質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到 3 4 1 6 r i j 求平均功率 解： 由題知， F 為恒力， 7 6 3 4 1 6 3 = F r = i j i j k 根據(jù)平均功率的定義式，得 3 5 . 6AP t 3點(diǎn)在外力 24 i + j 的作用下在一平面內(nèi)運(yùn)動(dòng) （ ） ，求下列情況下，質(zhì)點(diǎn)從 2x運(yùn)動(dòng)到 3x 處該力做的功 質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌 跡 為拋物線 2 4； 質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌 跡 為直線 46 解：由 d d d y x F y F z = F r，得 (1) 質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌道為拋物線 2 4時(shí)該力做的功為 2 2 2 21 1 1 1923 41 2165 d d 2 d 4 d d 4 d J 1 0 . 8 y x y x x F y y x y x y =(2) 質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌道為拋物線 46 時(shí)該力做的功為 2 2 2 21 1 1 193 42 216 8 5 d d 2 d 4 d d 4 d J 2 1 . 2 5 y x y x x F y y x y x y = 3量為 m 的木板 B 靜止在光滑桌面上，質(zhì)量 也 為 m 的物體 A（ A 可視為質(zhì)點(diǎn)）放在木板 給物體 A 一初始速度0使其在 B 板上滑動(dòng)，設(shè) A、 B 間的摩擦因數(shù)為 ，并設(shè) A 滑到 、 B 恰好具有相同的速度 求 B 板的長(zhǎng)度 L 及 B 板走過(guò)的距離 x 解： A 向右滑動(dòng)時(shí)， B 給 A 一向左的摩擦力， A 給 B 一向右的摩擦力，摩擦力的大小為 將 A、 B 視為一系統(tǒng)，摩擦力是內(nèi)力，因此系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒，設(shè) A 滑到 B 的右端時(shí)二者的共同速度為 ， 則有 0 2m 得 02再對(duì) A、 B 系統(tǒng)應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理并注意到摩擦力的功是一對(duì)力的功， 可設(shè) B 不動(dòng)， A 相對(duì)B 移動(dòng)了 B 的長(zhǎng)度為 L，摩擦力的功應(yīng)為 ，代入質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理 22011222 m g L m m 可得 204L g為了計(jì)算 B 板走過(guò)的距離 x ，再單獨(dú)對(duì) B 板應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理，此時(shí) B 板受的摩擦 力做正功 212m g x m 得 208x g3 質(zhì)量為1過(guò)如圖 3示的擺錘后，速率由 減少到2已知擺錘的質(zhì)量為2m，擺線長(zhǎng)度為 l ，如果擺錘能在垂直平面內(nèi)完成一個(gè)完全的圓周運(yùn)動(dòng)，彈丸的速度的最小值應(yīng)為多少 ? 解：由水平方向的動(dòng)量守恒定律，有 1 1 22m 式中 為擺錘在圓周最低點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速率 為使擺錘恰好能在垂直平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)，在最高點(diǎn)時(shí)，擺線中的張力T 0F ，則 222 mg l 式中擺錘在圓周最高點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速率 又?jǐn)[錘在垂直平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中滿足機(jī)械能守恒定律，故有 222 2 211 222 m m g l 聯(lián)立 上述三個(gè)方程 求 解，可得彈丸所需速率的最小值為 212 5m . 3圖 3示，一個(gè)輕彈簧上端固定，下端系一個(gè)金屬圓盤，彈簧伸長(zhǎng)為1 10一圖 3題 3圖 個(gè)質(zhì)量和圓盤相同的泥球，從高于盤 底 30處由靜止下落到盤上求此盤向下運(yùn)動(dòng)的最大距離2l 解： 第一個(gè)過(guò)程為泥球自由下落過(guò)程。 為 從距離頂端為 h 處自由落下，與 盤 碰撞前的速 度為 ，由機(jī)械能守恒，得 212 m m 1 第二個(gè)過(guò)程為泥球與盤碰撞過(guò)程 。 將盤和泥球看做 一個(gè)系統(tǒng)， 因二者之間的沖力遠(yuǎn)大于它們所受的外力 (包 括重力和彈簧的彈力 )， 而且作用時(shí)間很短，可以認(rèn)為動(dòng) 量守恒。設(shè)它們的質(zhì)量均為 m，它 們碰撞后結(jié)合在 起 以共同的速度 V 運(yùn)動(dòng)。沿 y 方向 的動(dòng)量守恒定 律的分量 式為 2m 2 第三過(guò)程為泥球和盤共同下降的過(guò)程。選彈簧、泥球、盤和地 球?yàn)橄到y(tǒng)。以泥球與盤共同開(kāi)始運(yùn)動(dòng)為系統(tǒng)的始態(tài)，二者到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)為末態(tài)。在此過(guò)程中只有重力、彈性力 (均為保守力 )做功，系統(tǒng)機(jī)械能守恒。以彈簧的原長(zhǎng)為彈性勢(shì)能的零點(diǎn)，以盤 到 達(dá)最低位置為重力勢(shì)能的零點(diǎn)。則系統(tǒng)的機(jī)械能守恒表達(dá)式為 2222 1 1 21 1 1222 2 2m V m g l k l k l l 3 依題意，又由 1kl 4 將式 1 、 2 、 3 、 4 聯(lián)立，代人數(shù) 據(jù)，可得 2 30 或 2 10 （舍去） 所以，盤向下運(yùn)動(dòng)的最大距離為2 30 圖 3題 3圖 第 4章 剛體力學(xué) 習(xí)題參考答案 2一質(zhì)量為 m、半徑為 R 的均勻半圓盤的質(zhì)心 解： 建立 如圖所示 坐標(biāo)系 ，設(shè)薄板半徑為 R，質(zhì)量為 m面密度 22 由 質(zhì)量分布的對(duì)稱性可得板的質(zhì)心在 x 軸上而 2242 R x 2圖 2示，質(zhì)量為 m、線長(zhǎng)為 l 的單擺，可繞點(diǎn) O 在豎直平面內(nèi)面內(nèi)擺動(dòng)，初始時(shí)刻擺線被拉至水平，然后自由落下，求： 擺線與水平線成 角時(shí)，擺球所受到的力矩及擺球?qū)c(diǎn) O 的角動(dòng)量； 擺球到達(dá) B 時(shí)角速度的大小 解：擺球受力如圖 2示。擺線的張力 T 通過(guò)點(diǎn) O，因此其力矩 為零； 重力 G 對(duì)點(diǎn) O 產(chǎn)生力矩，其 大小為 co sM m g l 可見(jiàn) M 隨 角而變化，其方向垂直 紙面向里。 由角動(dòng)量定理，得 d c o M m g l t 又， 2L 代入上式，并積分，得 2300d c o s L L m g l 擺線與水平線成 角時(shí)，擺球?qū)c(diǎn) O 的角動(dòng)量 為 232 s i nL m g l 圖 2題 2圖 當(dāng)擺球擺到 B 時(shí)， 2/ ，因此擺球角動(dòng)量 32 擺球到達(dá) B 時(shí)角速度的大小 4半徑為 10滑輪 ,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 kg （ 位制）沿著切線方向作用于滑輪的邊緣 試求滑輪在 4s 初的角速度 . 解：滑輪所受力矩大小為 20 . 0 5 0 . 0 3M F r t t 由轉(zhuǎn)動(dòng)定律 即 3050( 2積分得 232 5 1 0 3t s 時(shí) 0 s 4圖 4示 ， 質(zhì)量為 m 、長(zhǎng)為 l 的均勻細(xì)棒 轉(zhuǎn)軸到中心 O 點(diǎn)的距離為 h 并與棒垂直 ， 試求細(xì)棒對(duì)于該轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 . 解：如圖 在棒上距軸為 棒的質(zhì)量線密度為，則該長(zhǎng)度元的質(zhì)量 軸通過(guò) 棒上距中心為 h 的點(diǎn)并和棒垂直時(shí)，有 22222222 121 4圖 3示 ， 質(zhì)量為 m 、半徑為 R 的圓柱體中挖有四個(gè)半徑均為3 空洞中心軸與圓柱體中心軸平行 ， 且間距均為2R。 試求圓柱體對(duì)其中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 。 解： 如果用同樣的材料將空洞填滿 ， 設(shè)四個(gè)小圓柱的質(zhì)量為 m ，則填滿后的總質(zhì)量為 4， 則有 224 93m m R L 即 15 填滿后大圓柱體對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 221 109)4(21 由平行軸定理 ,填滿后的四個(gè)小圓柱對(duì)大圓柱中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 2222 45112131214 由組合定理得 22221 90594511109 4圖 4示 ,一質(zhì)量均勻分布的圓盤 ， 質(zhì)量為 M ， 半徑為 R ，放在一粗糙的水平面上 ,圓盤可繞通 過(guò)其中心的光滑轉(zhuǎn)軸 O 轉(zhuǎn)動(dòng) ，圓盤與水平面間的摩擦系數(shù)為 。 開(kāi)始時(shí) ， 圓盤保持靜止 ， 一質(zhì)量為 m 的子彈以水平速度0垂直于圓盤半徑打入圓盤邊緣并嵌入其中 。 試求 ： 子彈擊中圓盤后 ， 圓盤所獲得的角速度； 經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間后 ， 圓盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)（略去子彈重力造成的摩擦阻力矩） ? 解：（ 1）子彈射入時(shí)，子彈與圓盤組成的系統(tǒng)滿足角動(dòng)量守恒，則有 0 式中 2221 為子彈射入后系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 解得 210（ 2）子彈射入后，對(duì)圓盤應(yīng)用由角動(dòng)量定理得 f 0 其中，圓盤所受摩擦力矩。 取 圓盤中半徑為 r 、寬度為 圓環(huán)為質(zhì) 元 ,圓盤質(zhì)量面密度 為2 ，忽略子彈在圓盤中受到的摩擦力， 則圓盤所受摩擦力矩為 f )2( 則 M d 0 32)2( 故有 23 0 4半徑為 R 的具有光滑豎直中心軸的水平圓盤內(nèi) ,有一人靜止站立在距轉(zhuǎn)軸為 人的質(zhì)量為圓盤質(zhì)量的101， 開(kāi)始時(shí)盤 載人相對(duì)地面以角速度0勻速轉(zhuǎn)動(dòng) 。 如果此人垂直于圓盤半徑相對(duì)盤以速率 v 沿與圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的相反方向做圓周運(yùn)動(dòng) ， 如圖 4示 ，已知圓盤對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 2210粗糙水平面 求： 圓盤相對(duì)地面的角速度； 欲使圓盤相對(duì)地面保持靜止 ， 人相對(duì)圓盤的速度的大小及方向應(yīng)怎樣？ 解： （ 1）設(shè)圓盤質(zhì)量為 M ，選人與圓盤組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，當(dāng)人在盤上走動(dòng)時(shí)，無(wú)外 力矩，因此系統(tǒng)角動(dòng)量守恒 )2/1( 0 人盤盤人 ）即 )2()2(102121)2(10 22022 R 圓盤對(duì)地角速度為 （ 2）欲使圓盤對(duì)地角速度為零應(yīng)有 02120 則 0221 即人應(yīng)與圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)方向的相同方向作圓周運(yùn)動(dòng)。 第 6 章 機(jī)械振動(dòng) 習(xí)題 參考答案： 6若交流電壓的表達(dá)式為 : 100，式中 :V 以伏特 (V)為單位 ,t 以秒 (s)為單位 ,求交流電的振幅、周期、頻率和初相位 . 解 : 交流電電壓的表達(dá)式也可化為余弦形式：)2100c o s (311100s 因此有 : 振幅為 : ， 周期為 : s 10 022 T， 頻率為 : 02 1002 初相位為：26質(zhì)點(diǎn)沿 x 軸做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其圓頻率 = 10 s試分別寫出以下兩種初始條件下的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程 （）初始位移 x，初始速度 cm/s ; （）初始位移 x，初始速度 cm/s 解： （）由題意可設(shè)質(zhì)點(diǎn)做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為： )10(c 則其速度方程為： )10(s 將初始條件 0t 時(shí)， x， cm/s 分別 代入上面兩式得： A c o x A s m / s 解以上兩方程得： ，4 所以： )410(c o ） (2) 0t 時(shí)， A c o x s c m / s 解以上兩個(gè)方程得： ，4 所以： )410(c o ） 6一簡(jiǎn)諧振動(dòng)振幅 A = 12 期 T = 3 s，若 振 子在位移 x = 并向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，請(qǐng)做出其位移時(shí)間曲線，并求出其運(yùn)動(dòng)到 x = - 所需的最短時(shí)間 解 ：若設(shè)該簡(jiǎn)諧振動(dòng)的方程為： ) 那么由題意可知，該簡(jiǎn)諧振動(dòng)的圓頻率 ad/s 322 ， ,0時(shí)t 0s A，所以初相位為：3其其位移時(shí)間曲線圖如上圖所示 其運(yùn)動(dòng)到 x= - 時(shí)，有 )332c o s (126 t，解得：34 32 332 或t 因所求的是最短時(shí)間，上式取32，因此 s 5.0t 6一水平彈簧振子 K = 24 N/m， 重物的質(zhì)量 m = 6 止在平衡位置上 ,如圖 6示 設(shè)以一水平恒力 F = 10 計(jì)摩擦），使之從平衡位置向左運(yùn)動(dòng)了 m，此時(shí)撤去力 F 當(dāng)重物運(yùn)動(dòng)到左方最遠(yuǎn)位置時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)，求運(yùn)動(dòng)方程 解： 由題意 可知，物體在做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，設(shè)其運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為： )(c 根據(jù)能量守恒定律，系統(tǒng)的彈性勢(shì)能為： 221J 5.0 代入數(shù)據(jù)， 從而解得： m 又因 s 2， 0 , 0 時(shí) ， 從而解得 因此物體的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為： )2c ） 第 1 章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)和牛頓運(yùn) 動(dòng)定律 參考習(xí)題答案 1知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為 x = R y = R z = 2 ),其中 R、 、 ： （ 1） 質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程的矢量形式； （ 2） 任一時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度 解： )2/(s o s 2/(c i n ) )s i c o i o s 222 1徑為 R 的輪子沿 y = 0的直線作無(wú)滑滾動(dòng)時(shí)，輪邊緣質(zhì)點(diǎn)的軌跡為 ) ) 求質(zhì)點(diǎn)的速度；當(dāng) 為常量時(shí)，求速度為 0 的點(diǎn) 解： )c o s( ， s 即 1 c o s s i t i + j 當(dāng) )c o s ，速度為 0 即 0)c o 0s ,2,1,0,2 1質(zhì)點(diǎn)沿半徑為 R 的圓周按規(guī)律 20 12S t b t運(yùn)動(dòng)，其中0、 b 都是常量 （ 1） 求 t 時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的總加速度； （ 2） t 為何值時(shí)總加速度數(shù)值上等于 b ？ （ 3） 當(dāng)加速度達(dá)到 b 時(shí)，質(zhì)點(diǎn)已沿圓周運(yùn)行了多少圈？ 解： 速率 0， 切向加速度的大小 ， 法向加速度的大小R ( ，加速度nn 加速度的大小 240222 R n （ 2） a = b 時(shí)，即 402 02b ， (3) a = b 時(shí)， 12121 轉(zhuǎn)動(dòng)圈數(shù) 4220 1圖 1示的裝置中，兩物體的質(zhì)量為 體之間及物體與桌面間的摩擦系數(shù)都是 ，求在力 F 的作用下兩物體的加速度及繩內(nèi)張力，不計(jì)滑輪和繩 1題 1圖 的質(zhì)量及軸承摩擦，繩不可伸長(zhǎng) 解：根據(jù)題意，由滑輪的關(guān)系可知繩內(nèi)張力 T = 2F，設(shè) f1，受力如圖所示。 （ 1），若 時(shí)，此時(shí) 1 ，水平向右，還受到地面對(duì)它的靜摩擦力 滑動(dòng)，則 ( 211 ，而 可能大于( 21 ，故 021 T = 2F （ 2）若 時(shí)， 則 內(nèi)張力還是 T = 2F 111 1112 111 2 m 力如圖所示，由于 ， 則 02 a 1圖 1示的滑輪系統(tǒng)中，123 ，如果滑輪和繩的質(zhì)量和轉(zhuǎn)軸處的摩擦略去不計(jì)，且繩不可伸長(zhǎng)，求 1和 解：設(shè) 1111 ， 2222 ， 3323 ， 21 2 ， 32 聯(lián)立求解得 ， ， (4 ，豎直向上。 第 2章 動(dòng)量和角動(dòng)量 f1 f1 1題 1圖 A B T2 m1 m2 2 習(xí)題參考答案： 2物體上有一變力 F 作用，它隨時(shí)間變化的關(guān)系如下：在 ， F 均勻地由 0 增加到20N；又在以后 ， F 保持不變；再經(jīng) F 又從 20N 均勻地 減少到 0 畫出 F- t 圖； 求 這段時(shí)間內(nèi)力的沖量及力的平均值； 如果物體的質(zhì)量為 3 始速度為 1m/s， 且 與力的方向一致，問(wèn)在力剛變?yōu)?0 時(shí)，物體的 速度為多大？ 解： 根據(jù)定積分的定義，用計(jì)算面積的方法 ，可得 這段時(shí)間內(nèi)力的沖量 為 01d ( 0 . 2 0 . 4 ) 2 0 N s 6 N t 力的平均值 為 6 N 1 5 . 4IF t 根據(jù)動(dòng)量定理 ，有 0所以 0 6 3 1 m s 3 m m 顆子彈由槍口射出時(shí)速率為0子彈在槍筒內(nèi)被加速時(shí)，它所受的合力為( ) NF a b t （ a， b 為 正常數(shù) ） ，其中 t 的 單位為秒 (s ) 假設(shè)子彈運(yùn)行到槍口處合力剛好為零，試計(jì)算子彈走完槍筒全長(zhǎng)所需 的 時(shí)間； 求子彈所受的沖量 ； 求子彈的質(zhì)量 解： 子彈走完槍筒全長(zhǎng)所需 的 時(shí)間 t ，由題意， 得 ( ) 0F a b t ，所以 at b 子彈所受的沖量 t 221)( 將 t= 2 由動(dòng)量定理可求得子彈的質(zhì)量 20022量為 M 的 人 手里拿著一個(gè)質(zhì)量為 m 的物體，此人用與水平面成 角的 速率0向前跳去 當(dāng)他達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)，他將物體以相對(duì)于人為 u 的水平速率向后拋出 問(wèn)：由于人拋出物體，他跳躍的距離增加了多少 ?(假設(shè)人可視為 質(zhì)點(diǎn) ) 解： 取如圖所示坐標(biāo)把人與物視為一系統(tǒng)，當(dāng)人跳躍到最高點(diǎn)處，在向左拋物的過(guò)程中滿足動(dòng)量守恒，故有 0 c o M m u 式 中 為人拋物后相對(duì)地面的水平速率， u 為拋出物對(duì)地面的水平速率得 0 c o s 的水平速率的增量為 0 c o s 而人從最高點(diǎn)到地面的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 0 t g所以，人跳躍后增加的距離 0 s i m x m g 2圖 2示，一質(zhì)量為 m 的滑塊在 14圓弧形滑槽中從靜止滑下 設(shè)圓弧形滑槽的質(zhì)量為 M、 半徑為 R， 略 去 所有摩擦力 求當(dāng) 滑塊 m 滑到槽底時(shí)，滑槽 M 在水平方向移動(dòng)的距離 圖 2題 2圖 解： 以 m 和 M 為研究系統(tǒng)，所受的外力為重力 地面對(duì)滑槽的支持力 N，如圖 所示，系統(tǒng)在水平方向不受外力，因此在水平方向動(dòng) 量 守恒。設(shè)在下滑 過(guò)程中， m 相對(duì)于 M 的速度為 ， M 相對(duì)地的速度為 V 。 在水平方向有 0 V M V 求解上式，得 x m設(shè) m 在滑槽上滑行 的時(shí)間為 t， 在水平方向相對(duì)于 M 移動(dòng)的距離為 R，即 00 t V 滑槽在水平方向移動(dòng)的距離為 d t 第 3章 功和能 習(xí)題 參考答案： 3用在質(zhì)點(diǎn)上的力為 76F i j （ ） ，求： 當(dāng)一質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到 3 4 1 6 r i j F 所做的功 ； 如果質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到 3 4 1 6 r i j 求平均功率 解： 由題知， F 為恒力， 7 6 3 4 1 6 3 = F r = i j i j k 根據(jù)平均功率的定義式，得 3 5 . 6AP t 3點(diǎn)在外力 24 i + j 的作用下在一平面內(nèi)運(yùn)動(dòng) （ ） ，求下列情況下，質(zhì)點(diǎn)從 2x運(yùn)動(dòng)到 3x 處該力做的功 質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌 跡 為拋物線 2 4； 質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌 跡 為直線 46 解：由 d d d y x F y F z = F r，得 (3) 質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌道為拋物線 2 4時(shí)該力做的功為 2 2 2 21 1 1 1923 41 2165 d d 2 d 4 d d 4 d J 1 0 . 8 y x y x x F y y x y x y =(4) 質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌道為拋物線 46 時(shí)該力做的功為 2 2 2 21 1 1 193 42 216 8 5 d d 2 d 4 d d 4 d J 2 1 . 2 5 y x y x x F y y x y x y = 3量為 m 的木板 B 靜止在光滑桌面上，質(zhì)量 也 為 m 的物體 A（ A 可視為質(zhì)點(diǎn)）放在木板 給物體 A 一初始速度0使其在 B 板上滑動(dòng)，設(shè) A、 B 間的摩擦因數(shù)為 ，并設(shè) A 滑到 、 B 恰好具有相同的速度 求 B 板的長(zhǎng)度 L 及 B 板走過(guò)的距離 x 解： A 向右滑動(dòng)時(shí)， B 給 A 一向左 的摩擦力， A 給 B 一向右的摩擦力，摩擦力的大小為 將 A、 B 視為一系統(tǒng)，摩擦力是內(nèi)力，因此系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒，設(shè) A 滑到 B 的右端時(shí)二者的共同速度為 ， 則有 0 2m 得 02 再對(duì) A、 B 系統(tǒng)應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理并注意到摩擦力的功是一對(duì)力的功，可設(shè) B 不動(dòng) ， A 相對(duì)B 移動(dòng)了 B 的長(zhǎng)度為 L，摩擦力的功應(yīng)為 ，代入質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理 22011222 m g L m m 可得 204L g為了計(jì)算 B 板走過(guò)的距離 x ，再單獨(dú)對(duì) B 板應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理，此時(shí) B 板受的摩擦 力做正功 212m g x m 得 208x g3 質(zhì)量為1過(guò)如圖 3示的擺錘后，速率由 減少到2已知擺錘的質(zhì)量為2m，擺線長(zhǎng)度為 l ，如果擺錘能在垂直平面內(nèi)完成一個(gè)完全的圓周運(yùn)動(dòng)，彈丸的速度的最小值應(yīng)為多少 ? 解：由水平方向的動(dòng)量守恒定律，有 1 1 22m 式中 為擺錘在圓周最低點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速率 為使擺錘恰好能在垂直平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)，在最高點(diǎn)時(shí)，擺線中的張力T 0F ，則 222 mg l 式中擺錘在圓周最高點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速率 又?jǐn)[錘在垂直平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中滿足機(jī)械能守恒定律，故有 圖 3題 3圖 222 2 211 222 m m g l 聯(lián)立 上述三個(gè)方程 求 解，可得彈丸所需速率的最小值為 212 5m . 3圖 3示，一個(gè)輕彈簧上端固定，下端系一個(gè)金屬圓盤，彈簧伸長(zhǎng)為1 10一個(gè)質(zhì)量和圓盤相同的泥球，從高于盤 底 30處由靜止下落到盤上求此盤向下運(yùn)動(dòng)的最大距離2l 解： 第一個(gè)過(guò)程為泥球自由下落過(guò)程。 為 從距離頂端為 h 處自由落下，與 盤 碰撞前的速 度為 ，由機(jī)械能守恒，得 212 m m 1 第二個(gè)過(guò)程為泥球與盤碰撞過(guò)程 。 將盤和泥球看做 一個(gè)系統(tǒng)， 因二者之間的沖力遠(yuǎn)大于它們所受的外力 (包 括重力和彈簧的彈力 )， 而且作用時(shí) 間很短，可以認(rèn)為動(dòng) 量守恒。設(shè)它們的質(zhì)量均為 m，它 們碰撞后結(jié)合在 起 以共同的速度 V 運(yùn)動(dòng)。沿 y 方向 的動(dòng)量守恒定 律的分量 式為 2m 2 第三過(guò)程為泥球和盤共同下降的過(guò)程。選彈簧、泥球、盤和地 球?yàn)橄到y(tǒng)。以泥球與盤共同開(kāi)始運(yùn)動(dòng)為系統(tǒng)的始態(tài)，二者到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)為末態(tài)。在此過(guò)程中只有重力、彈性力 (均為保守力 )做功，系統(tǒng)機(jī)械能守恒。以彈簧的原長(zhǎng)為彈性勢(shì)能的零點(diǎn)，以盤 到達(dá)最低位置為重力勢(shì)能的零點(diǎn)。則系統(tǒng)的機(jī)械能守恒表達(dá)式為 2222 1 1 21 1 1222 2 2m V m g l k l k l l 3 依題意，又由 圖 3題 3圖 1kl 4 將式 1 、 2 、 3 、 4 聯(lián)立，代人數(shù)據(jù)，可得 2 30 或 2 10 （舍去） 所以，盤向下運(yùn)動(dòng)的最大距離為2 30 第 4章 剛體力學(xué) 習(xí)題參考答案 2一質(zhì)量為 m、半徑為 R 的均勻半圓盤的質(zhì)心 解： 建立 如圖所示 坐標(biāo)系 ，設(shè)薄板半徑為 R，質(zhì)量為 m面密度 22 由 質(zhì)量分布的對(duì)稱性可得板的質(zhì)心在 x 軸上而 2242 R x 2圖 2示，質(zhì)量為 m、線長(zhǎng)為 l 的單擺，可繞點(diǎn) O 在豎直平面內(nèi)面內(nèi)擺動(dòng)，初始時(shí)刻擺線被拉至水平，然后自由落下，求： 擺線與水平線成 角時(shí)，擺球所受到的力矩及擺球?qū)c(diǎn) O 的角動(dòng)量； 擺球到達(dá) B 時(shí)角速度的大小 解：擺球受力如圖 2示。擺線的張力 T 通過(guò)點(diǎn) O，因此其力矩 為零； 重力 G 對(duì)點(diǎn) O 產(chǎn)生力矩，其 大小為 co sM m g l 可見(jiàn) M 隨 角而變化，其方向垂直 紙面向里。 由角動(dòng)量定理，得 d c o M m g l t 圖 2題 2圖 ， 2L 代入上式，并積分，得 2300d c o s L L m g l 擺線與水平線成 角時(shí)，擺球?qū)c(diǎn) O 的角動(dòng)量 為 232 s i nL m g l 當(dāng)擺球擺到 B 時(shí)， 2/ ，因此擺球角動(dòng)量 32 擺球到達(dá) B 時(shí)角速度的大小 4半徑為 10滑輪 ,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 kg （ 位制）沿著切線方向作用于滑輪的邊緣 試求滑輪在 4s 初的角速度 . 解：滑輪所受力矩大小為 20 . 0 5 0 . 0 3M F r t t 由轉(zhuǎn)動(dòng)定律 即 3050( 2積分得 232 5 1 0 3t s 時(shí) 0 s 4圖 4示 ， 質(zhì)量為 m 、長(zhǎng)為 l 的均勻細(xì)棒 轉(zhuǎn)軸到中心 O 點(diǎn)的距離為 h 并與棒垂直 ， 試求細(xì)棒對(duì)于該轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 . 解：如圖 在棒上距軸為 棒的質(zhì)量線密度為，則該長(zhǎng)度元的質(zhì)量 軸通過(guò) 棒上距中心為 h 的點(diǎn)并和棒垂直時(shí)，有 22222222 121 4圖 3示 ， 質(zhì)量為 m 、半徑為 R 的圓柱體中挖有四個(gè)半徑均為3 空洞中心軸與圓柱體中心軸平行 ， 且間距均為2R。 試求圓柱體對(duì)其中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 。 解： 如果用同樣的材料將空洞填滿 ， 設(shè)四個(gè)小圓柱的質(zhì)量為 m ，則填滿后的總質(zhì)量為 4， 則有 224 93m m R L 即 15 填滿后大圓柱體對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 221 109)4(21 由平行軸定理 ,填滿后的四個(gè)小圓柱對(duì)大圓柱中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 2222 45112131214 由組合定理得 22221 90594511109 4圖 4示 ,一質(zhì)量均勻分布的圓盤 ， 質(zhì)量為 M ， 半徑為 R ， 放在一粗糙的水平面上 ,圓盤可繞通過(guò)其中心的 光滑轉(zhuǎn)軸 O 轉(zhuǎn)動(dòng) ，圓盤與水平面間的摩擦系數(shù)為 。 開(kāi)始時(shí) ， 圓盤保持靜止 ， 一質(zhì)量為 m 的子彈以水平速度0垂直于圓盤半徑打入圓盤邊緣并嵌入其中 。 試求 ： 子彈擊中圓盤后 ，