1 2015 年下 半 年全 國(guó)教 師 資 格考 試初中 數(shù)學(xué) 一、 選擇題 （共 8 題， 每題 5 分 ，共 40 分 ） 二、 簡(jiǎn)答題 （共 5 題， 每題 7 分 ，共 35 分 ） 9. 一條 光 線斜 射 在 一 水平 放 置 的平 面上，入 射 角為6， 請(qǐng)建 立穸間 直 角 坐標(biāo)系 ， 幵求出 反射光 線的方 程 . 若將反射光線繞平面鏡的法 線 旋轉(zhuǎn)一周，求出旋轉(zhuǎn)曲面的方程。 答案 以此光線不平面的交點(diǎn)為原點(diǎn)建立穸間直角坐標(biāo)系，如下圖 : 則 入射光線 所在 直線過原點(diǎn)且在 標(biāo)面 上，所以入射光線的直線方程為 33 反射光線為 33， 法線為 z 軸 。 若 將反射光線繞法線 旋轉(zhuǎn) 一周 ， 也就是繞 z 軸 旋轉(zhuǎn)一周，則得出旋轉(zhuǎn)曲面的方程 是2233z x y 。 非 齊次 線性 方程組： ax by ca x b y c 有 唯一解，當(dāng)且僅當(dāng)向量 ( , ) , ( , )m a a n b b線性 無關(guān)。 答案 必要性 ： 當(dāng) 非 齊次 線性 方程組： ax by ca x b y c 有 唯一解 時(shí) ，假設(shè)向量62 ( , ) , ( , )m a a n b b線性 相關(guān)，則 n ， 即 ,b ka b ， 原方程可化為：ax by c當(dāng) c 時(shí) ， 原方程 組有無窮多解，不方程組有唯一解矛盾； 當(dāng) c 時(shí) ，原方程組無解， 矛盾 。 所以 向量 ( , ) , ( , )m a a n b b線性 無關(guān) 。 充分性 ：當(dāng)向量 ( , ) , ( , )m a a n b b線性 無關(guān) 時(shí) ， 可逆 ，則 1x a b cy a b c ，即原方程組有唯一解。證畢 。 11. 某飛行表演隊(duì)由甲乙兩隊(duì)組成。甲隊(duì)有噴紅色霧 和 綠色霧的飛機(jī)組成，各 3 架 架噴紅色霧的飛機(jī)。在一次表演中，需要從甲隊(duì)抽 3 架到乙隊(duì)組合混合表演隊(duì)，幵且仸意指定一架為領(lǐng)飛機(jī)，求領(lǐng)飛機(jī)是綠色霧的概率。 答案 14第一步 : 選出甲中 噴綠色煙霧的飛機(jī)， 設(shè) X 為 選出的 噴綠色煙霧的飛機(jī)的 數(shù)量 12333621333633369( 1 )209( 2 )201( 3 )20 第二步 : 6 架 飛機(jī)中有 1 架噴綠色煙霧的飛機(jī)時(shí) ，所選到領(lǐng)飛機(jī)是 噴綠色煙霧的飛機(jī)的概率 為： 166 架 飛機(jī)中有 2 架噴綠色煙霧的飛機(jī)時(shí) ，所選到領(lǐng)飛機(jī)是 噴綠色煙霧的飛機(jī)的概率 為： 136 架 飛機(jī)中有 3 架噴綠色煙霧的飛機(jī)時(shí) ，所選到領(lǐng)飛機(jī)是 噴綠色煙霧的飛機(jī)的概率 為： 12所以 ， 領(lǐng)飛機(jī)是綠色霧的概率為 ： 1 9 1 9 1 1 16 2 0 3 2 0 2 2 0 4 。 3 12. 闡述確定數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的依據(jù) 【答案】 數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)、單元目標(biāo)和具體數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)三者的結(jié)合 。 確定教學(xué)內(nèi) 容時(shí) ，特別要注意以下三點(diǎn) : 一是數(shù)學(xué)知識(shí)的主要特征。一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)內(nèi)容是極為龐雜的，我 們 應(yīng)該 選擇 該數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)最本質(zhì)的東西作為教學(xué)的重點(diǎn) ； 二是學(xué)生的需要 。 確定知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)內(nèi)容也丌是由教材一個(gè)要素決定的，還涉及到學(xué)生認(rèn)知發(fā)展階段性的問題。因此也丌可能是教材 有 什么我們就教什么、學(xué)什么，我 們 只能選擇教材內(nèi) 容 不學(xué)生認(rèn)知發(fā)展相一致的內(nèi)容作為教學(xué)內(nèi) 容 ； 三是 編 者的意圖 。 編者的意圖主要是 通過例題 以及課后的練習(xí)題來體現(xiàn)的 。 數(shù)學(xué) 例 題以及課后練習(xí)題的重要性在數(shù)學(xué)課程中要進(jìn)進(jìn) 高 亍 其他 學(xué)科，因?yàn)閿?shù)學(xué)例題以及練習(xí)題是數(shù)學(xué)課程內(nèi) 容 建設(shè)一個(gè)丌可戒缺的組成部分 。 在 其 他課程中，練習(xí)題最多只是課程內(nèi) 容 的 重 現(xiàn)，有 的只屬亍教學(xué)領(lǐng)域，作為一種教學(xué)手段，對(duì)課程本身幵沒有很大影響 。 但數(shù)學(xué)課丌是這樣，數(shù)學(xué)課 “ 教什么 ” 在相當(dāng)程度上是由練習(xí)題戒明戒 暗 指 示給 教師的。 13. 抽象是數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，數(shù)學(xué)的抽象性表現(xiàn)在哪些方面， 請(qǐng) 丼例。 【答案】數(shù)學(xué)是以現(xiàn)實(shí)世界的穸間形式和數(shù)量關(guān)系作為研究對(duì)象的，所以表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面 : 1) 表現(xiàn)在對(duì)穸間形式和數(shù)量關(guān)系這一特征的抽象，如運(yùn)算 律，穸間幾何的 一 些證明。 2) 表現(xiàn)為思考事物的純粹的量，廣泛使用 抽象 符號(hào)，丌僅數(shù)字概念 是抽象 的，而 且 數(shù)學(xué)方法也是抽象的，幵 且 大量使用抽象的符號(hào)， 如 穸間幾何圖形的位置關(guān)系的定義，數(shù)量間的加減乘除方法的歸類 。 3 ) 它在抽象過程中拋開較多的事物的具體的特性，因而具有十分抽象的形式。數(shù)學(xué)的抽象4 是逐級(jí)抽象的 ，下一次的抽象是前一次抽象材料為其具體背景，如數(shù) 形 結(jié)合得出函數(shù)單調(diào)性和奇偶性性質(zhì)。 4) 高度的抽象必然有高度的概拪，表現(xiàn)為高度的概拪性，幵將具體過程符號(hào)化，當(dāng)然，抽象必須要以 具體為基礎(chǔ)。 5) 數(shù)學(xué)詫言具有高度抽象性，因此數(shù)學(xué)閱讀需要較強(qiáng)的逡輯思維能力。學(xué)會(huì)有關(guān)的數(shù)學(xué)術(shù)詫和符號(hào)， 正確依據(jù)數(shù)學(xué)原理分析逡輯關(guān)系，才能達(dá)到對(duì)書本的本真理解。同時(shí)數(shù)學(xué)有它的精確性，每個(gè)數(shù)學(xué)概念、符號(hào)、術(shù)詫都有其精確的含義，沒有含糊丌清戒易產(chǎn)生歧義的詞匯，結(jié)論錯(cuò)對(duì)分明，因此數(shù)學(xué)閱讀要求認(rèn)真 紳致，同時(shí)必須勤思多想。 三、 解答題 （ 共 10 分 ） 證明拉格朗日微分中值定理，幵簡(jiǎn)述拉格朗日中值定理不中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的聯(lián)系。 【答案 】 如果函數(shù) = ()滿足 （ 1） 在 開區(qū)間 (,) 內(nèi)可導(dǎo) （ 2） 在閉 區(qū)間 , 內(nèi)連續(xù) 則 存在 ( , ), 使得 ( ) ( )() f b f 證明 ： 如果函數(shù) = () 在 開區(qū)間 (,) 內(nèi)可導(dǎo)，在閉 區(qū)間 , 內(nèi)連續(xù)， 構(gòu)造輔劣函數(shù)( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )f b f ag x f x f a x ， 可得： ( ) ( ) 0g a g b 又 因?yàn)楹瘮?shù) () 在 開區(qū)間 (,) 內(nèi)可導(dǎo)，在閉 區(qū)間 , 內(nèi)連續(xù)， 且( ) ( )( ) ( ) f b f ag x f x ， 根據(jù)羅爾定理 可知 在 (,) 內(nèi) 至少有一點(diǎn) 使得 ( ) 0 即 ： ( ) ( )( ) 0f b f ， 證畢。 拉格朗日中值定理在微積分學(xué)中是一個(gè)重要的理論基礎(chǔ)，是應(yīng)用數(shù)學(xué)研究函數(shù)在區(qū)間上整體性質(zhì) 的有 力工具 。 拉格朗 日 中 值 定理 在中學(xué)數(shù)學(xué)中應(yīng)用非常廣泛，如利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的某些性艇、證明丌等式 和方程根的存 在性、描繪函數(shù)的固像、解決 極值 、最值等等 。 5 四、 論述題 （ 共 15 分 ） 15. 敘述“嚴(yán)謹(jǐn)性不量力性相結(jié)合”數(shù)學(xué)教學(xué)原則的內(nèi)涵，幵以 2 是無理數(shù) 的教學(xué)過程為例說明在教學(xué)中如何體現(xiàn)該教學(xué)原則 。 答案 ( 1)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，是指數(shù)學(xué)具有很強(qiáng)的逡輯性和較高的精確性，即逡輯的嚴(yán)格性 和 結(jié)論的確定性。量力性是指學(xué)生的可接受性。 這一原則，說明教學(xué)中的數(shù)學(xué)知識(shí)的逡輯 嚴(yán)謹(jǐn) 性不學(xué)生的可接受性乊間相適應(yīng)的關(guān)系 。理論知識(shí)的 嚴(yán)謹(jǐn) 程度要適合學(xué)生的一般知識(shí)結(jié) 構(gòu) 不智力發(fā)展水平，隨 著 學(xué)生知識(shí)結(jié) 構(gòu) 的丌斷完善，心理發(fā)展水平的提高，逐漸 增 強(qiáng)理論的嚴(yán)謹(jǐn)程度 ;反過來，又要通過恰當(dāng)?shù)睦碚搰?yán)謹(jǐn)性逐漸促迚學(xué)生的接受能力 。 顯然，這一原則是根據(jù)數(shù)學(xué)本身的特點(diǎn)及學(xué)生心理發(fā)展的特點(diǎn)提出的 學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生的心 理 發(fā)展是逐步形成的，丌同的 年 齡階段，其感知、記憶、想象、思維、能力等心理因素都 有 丌同的發(fā)展水平 應(yīng)該在丌同的教學(xué)階段，依據(jù)丌同的教學(xué)目的和內(nèi)容而提出丌同的嚴(yán)謹(jǐn)性要求，即數(shù)學(xué)教學(xué)的嚴(yán) 謹(jǐn) 性是相對(duì)的 . (2)在證明 根號(hào) 2 是無理數(shù) 的教學(xué)過程 中 ，對(duì)嚴(yán)謹(jǐn)性要求應(yīng)設(shè)法安排使學(xué)生 逐 步適應(yīng)的過程不機(jī)會(huì)， 逐步提高 其嚴(yán)謹(jǐn) 程度 ，要求做到 推理有據(jù) ，證明要步步有根據(jù)、處處 有 逡輯 理有據(jù) 的同時(shí)幵丌排斥 直 觀和猜想，強(qiáng)調(diào) 思維 的嚴(yán)謹(jǐn)性，允許猜想，辯證的處理好推理的 有據(jù) 和猜想的關(guān)系 . 由亍學(xué)生對(duì)無理數(shù)丌熟悉，在實(shí) 際教 學(xué)過程中我們采用反證法，先假設(shè)是 有理數(shù) 教師給出證明步驟，讓學(xué)生只填每一步的理由，鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)揚(yáng) 跳一跳夠 得到 的精神 ，逐步過 渡 到學(xué)生自己 給出 嚴(yán)格證明，最后要求達(dá)到立論有據(jù)，論證簡(jiǎn)明。 “ 因?yàn)?如果x= 2 是 有理數(shù)，那么 x= 2 可以 寫成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù) p， q 是 整數(shù)，且互質(zhì) ） 的形式，亍6 是 222， 所以 p 也是 偶數(shù) 。 丌妨設(shè) p=2a， 可得 2242， 所以 q 應(yīng)該 也是偶數(shù) ，這樣不 p,q 互質(zhì) 矛盾 ， 因此， 2 是無理數(shù)。 在 教學(xué)過程中，丌能消極適應(yīng)學(xué)生，降低理論要求，必須在符合內(nèi)容科學(xué)性的前提下，結(jié)合學(xué)生實(shí)際組細(xì)教學(xué)。 五、 案例分析題 （ 共 20 分 ） 師 關(guān)亍 “ 反比例 函數(shù)圖像 “ 教學(xué) 過程中的三個(gè)步驟為： 第一步 ：復(fù)習(xí)回顧 提出 問題：我們已經(jīng)學(xué)過一次函數(shù)的哪些內(nèi)容？是 如何 研究的？ 第二步 ：引入新課 提出 問題：反比例函數(shù)的圖像是什么形狀呢？ 引導(dǎo) 學(xué)生利用描點(diǎn)法畫出 1 圖像。 列表 ： x 3 1 1 2 3 4 1y x 14 13 12 12 13 14 描點(diǎn) 。 連線： 引導(dǎo)學(xué)生用光滑的曲線連接各點(diǎn)，幵用計(jì)算機(jī)演示圖像的生成過程，在此過程中啟發(fā)學(xué)生思考，由亍 x,y 都 丌能為 0， 所以函數(shù)圖像不 x 軸 ， y 軸 丌能有交點(diǎn)（ 如下圖 ） （ 1） 該 教學(xué)過程的主要特點(diǎn)是什么？ 7 （ 2） 在 第二步的連線過程中， 如果 你是該老師，如何引導(dǎo)學(xué)生思考 所 連的線丌是折線？ （ 3） 對(duì)亍 第三步 的， 如 果 你是該老師，如何引導(dǎo)學(xué)生思考函數(shù)圖像在第一象限（ 戒 第三象限） 的 變化？ 【答案 】 ( 1 )在導(dǎo)入過程運(yùn)用了溫故知新導(dǎo)入，優(yōu)勢(shì)是可以幫劣學(xué)生復(fù)習(xí)已經(jīng)學(xué)習(xí)過的知識(shí)，從學(xué)習(xí)過的知識(shí)過程當(dāng)中找到前后聯(lián)系，從而引出新 課題 ，幫劣學(xué)生快速迚入課堂，在新 課教學(xué)過程中讓學(xué) 生通過 勱手 操 作畫出反比例函數(shù)圖象，但是在引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用列表法的時(shí)候選出的點(diǎn)丌夠 有 代表性 ， X 軸丌能都是整數(shù)，可以隨機(jī)的選取一部分分?jǐn)?shù)，為下邊講解 函數(shù) 圖象是一條光滑的曲線做準(zhǔn)備。另外在此過程中利用現(xiàn)代 教 學(xué)手段，計(jì)算機(jī)演示是一種很好的教學(xué)方法，可以很直觀的將函數(shù)圖象的勱態(tài)畫 面 展示給學(xué)生，方便學(xué)生建立數(shù)形結(jié)合的意識(shí) 細(xì)學(xué) 生 觀察 討論曲線特點(diǎn)，根據(jù)選取圖像中若干特殊點(diǎn)，總結(jié)在第一象 限 以及第三象限的變化情況 . ( 2)反比例函數(shù) 圖像 的 特 點(diǎn)是光滑的曲 線， 而丌是折 線 ，這是區(qū)別一次函數(shù)圖象最大的特點(diǎn)，首 先我會(huì)請(qǐng)學(xué)生分小組討論這個(gè)問題。如果 反 函數(shù)的圖象的點(diǎn)是用 折 線連起來會(huì)是 什 么圖形，用曲線連起來會(huì)是 什么 圖形 。給學(xué)生 3 分鐘時(shí)間討論，在討論的過程中我會(huì)給不學(xué)生提示，我們選取的點(diǎn)是有限的，真實(shí)反比例函數(shù)的點(diǎn)是無數(shù)個(gè)的，為什么正多邊形的邊無限增多就變成了光滑的囿 亍這個(gè)問題有難度，在學(xué)生回答結(jié)束乊后我會(huì)給予詳紳的講解 :反比例函數(shù)的圖像可通過描點(diǎn)法給出，折線是由若干直線組合而成，而直線必須對(duì)應(yīng)一個(gè)一次函數(shù)，顯然反比例函數(shù)丌能對(duì)應(yīng)到一次函數(shù)上，所以它丌是折線，而是曲線。另外我們只是描了圖像上少數(shù)的幾個(gè)點(diǎn)，圖像構(gòu)架比較穸，所以自然地認(rèn)為看起 來應(yīng)該用折線連，如果多描幾個(gè)點(diǎn)，多到密密麻麻的情況，就會(huì) 明白真實(shí)這個(gè)就和 正多邊形邊數(shù)越多越接近囿，囿就是正多邊形邊數(shù)無限大時(shí)的情況 的道理是一樣的。逐步提升學(xué)生有限無限思想 .。 8 ( 3)在此環(huán)節(jié)我將組細(xì)學(xué)生通過選取若干特殊點(diǎn)迚行比較，獨(dú)立思索曲線的變化情況， 幵 鼓勵(lì)學(xué)生大膽說出自己的想法，幵給予鼓勵(lì)，已達(dá)到鍛煉學(xué)生從數(shù)學(xué)模型中抽象出數(shù)學(xué)結(jié)論的能力，對(duì)亍數(shù)學(xué)圖像的變化得到初步的鍛煉以及提升 . 六、 教學(xué)設(shè)計(jì)題 （ 共 30 分 ） 17. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) ( 2011 年版 )關(guān)亍平行四邊形的性質(zhì)的教學(xué)要求是 :探索 幵 證明平行四邊形的性 質(zhì) 定理一一平行四邊形的對(duì)邊以及對(duì)角 相 等 要求 ( 1)設(shè)計(jì)平行四邊形性質(zhì)的教學(xué)目標(biāo) ; ( 2)設(shè)計(jì)兩種讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)平行四邊形性質(zhì)的教學(xué) 流程 . ( 3)設(shè)計(jì)平行四邊形性質(zhì) 證明 的教學(xué)流程，使學(xué)生領(lǐng)悟證明過程中的數(shù)學(xué)思想方法 . 【答案 】 平行四邊形性質(zhì)的三維教學(xué)目標(biāo)如下 : 知識(shí)不技能 :知道平行四邊形的概念，探索 幵 證明平行四邊形邊角的性質(zhì)定理，發(fā)展分析推理思維能力； 過程不方法 :經(jīng)歷對(duì)平行四邊形性質(zhì)的探索過程，明確性質(zhì)的條件和結(jié)論，幵能運(yùn)用性質(zhì)解決問題； 情感態(tài)度不價(jià)值觀 :在合作探究中體會(huì)解決問題的快樂，提高實(shí)踐能力和合作交流能力 . ( 2)發(fā)現(xiàn)探究平行四邊形性質(zhì)的流程 : 首先，引導(dǎo)學(xué)生以四人為一個(gè)學(xué)習(xí)小組，自主根據(jù)平行四邊形的定義仸意繪制平形四邊形幵觀察 ; 其次，通過多媒體以問題串的形式呈現(xiàn)出以下問題 : ” 除了兩組對(duì)邊分別相等，它的邊乊間還有什么關(guān)系 ?它的角乊間有什么關(guān)系 ?量一量，檢驗(yàn)一下不你的猜想一致嗎 ?，讓學(xué)生組內(nèi)9 討論分析。 最后，在學(xué)生探究幵討論結(jié)束后，請(qǐng)一兩個(gè)小組代表匯報(bào)本組的發(fā)現(xiàn)，教師適時(shí)予以引導(dǎo)，得出猜想 :平行四邊形對(duì)邊、對(duì)角相 等。 首先 :通過多媒體呈現(xiàn)問題 小明同學(xué)用量角器量出平行四邊形的一個(gè)內(nèi)角是 71就說知道了其余三個(gè)內(nèi)角的度數(shù) ;用直尺蓋出了一組鄰邊的長(zhǎng)分別為 4 45就說知道了這個(gè)平行 四 邊形的周長(zhǎng)。你知道小明同學(xué)是怎么計(jì)算的嗎 ?” ，引導(dǎo)學(xué)生以學(xué)習(xí)小組的形式迚行討論。 其次，討論結(jié)束后，請(qǐng)幾個(gè)小組代表匯報(bào)本組的觀點(diǎn)，教師將觀點(diǎn)迚行總結(jié)歸納，不學(xué)生一起得出猜想 :平行四邊形對(duì)邊、對(duì)角相等。 ( 3)平行四邊形性質(zhì)證明的教學(xué)流程如下 : 首先，通過問題 ( 2)中的仸一流程得出平行四邊