1 數(shù)學(xué)建模之 輸油管的布置 方案 一、問題的重述 某油田計(jì)劃在鐵路線一側(cè)建造兩家煉油廠， 同時(shí)在鐵路線上增建一個(gè)車站，用來 運(yùn)送成品油。由于這種模式具有一定的普遍性，油田設(shè)計(jì)院希望建立管線建設(shè)費(fèi)用最省的一般數(shù)學(xué)模型與方法。 1. 針對兩煉油廠到鐵路線距離和兩煉油廠間距離的各種不同情形，提出 你 的設(shè)計(jì)方案。在方案設(shè)計(jì)時(shí)，若有共用管線，應(yīng)考慮共用管線費(fèi)用與非共用管線費(fèi)用相同或不同的情形。 2. 設(shè)計(jì)院目前 需 對復(fù)雜情形進(jìn)行具體的設(shè)計(jì)。兩煉油廠的具體位置由附圖所示 ， 其中A 廠位于郊區(qū)（圖中的 I 區(qū)域）， B 廠位于城區(qū)（圖中的 域 ） ，兩個(gè)區(qū)域的分界線用圖中的虛線表示 。圖中各字母表示的距離（單位： 千米） 分別為 a = 5， b = 8， c = 15， l = 20。 若 所有 管線 的 鋪設(shè)費(fèi)用均為每千米 元。 鋪設(shè)在城區(qū)的 管線還需增加拆遷和工程補(bǔ)償?shù)雀郊淤M(fèi)用，為對此項(xiàng)附加費(fèi)用進(jìn)行估計(jì)，聘請三家工程咨詢公司（其中 公司一具有甲級資質(zhì)，公司二和公司三具有乙級資質(zhì)） 進(jìn)行了估算。估算結(jié)果如下表所示： 請為設(shè)計(jì)院給出管線布置方案 及相應(yīng)的費(fèi)用 。 3. 在該實(shí)際問題中，為進(jìn)一步節(jié)省費(fèi)用，可以根據(jù)煉油廠的生產(chǎn)能力，選用相適應(yīng)的油管。這時(shí)的管線鋪設(shè)費(fèi)用將分別降為輸送 A 廠成品油的每千米 元，輸送 B 廠 成品油的每千米 元，共用管線費(fèi)用為每千米 元 ，拆遷等附加費(fèi)用同上。請給出管線工程咨詢公司 公司一 公司二 公司三 附加費(fèi)用（萬元 /千米） 21 24 20 2 最佳布置方案 及相應(yīng)的費(fèi)用 。 二、模型假設(shè) 1、管道均以直線段鋪設(shè)，不考慮地形影響。 2、不考慮管道的接頭處費(fèi)用。 3、忽略鋪設(shè)過程中的勞動(dòng)力費(fèi)用，只考慮管線費(fèi)用。 4、將兩煉油廠和車站近似看作三個(gè)點(diǎn)。 5、將鐵路近似看作一條直線。 6、不考慮施工之中的意外 情況，所有工作均可順利進(jìn)行。 7、共用管線的價(jià)格如果和非公用管線不一致，則共用管線價(jià)格大于任意一條非公用管 線價(jià)格，小于兩條非公用管線價(jià)格之和。 8、根據(jù)查詢資料我們可以為所給出的三個(gè)工程咨詢公司進(jìn)行分權(quán)，甲級資質(zhì)分權(quán) 乙級資質(zhì)分權(quán)為 9、假設(shè)共用管線與非共用管線存在價(jià)格差時(shí)，共用管線價(jià)格大于非共用管線價(jià)格低于 兩倍的非共用管線價(jià)格。 10、默認(rèn) 煉油廠近。 3 三、符號說明 W：方案的經(jīng)費(fèi) a： b： c: l: A、 m：共用管道的費(fèi)用（萬元 /千米） n：非共用管道費(fèi)用（萬元 /千米） L: 為管線總長度 h：共用管線的長度 站的橫坐標(biāo)（問題二） 郊分界處拐點(diǎn)的縱坐標(biāo)（問題二） 用管線和非共用管線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)（問題三） 郊分界處拐點(diǎn)的縱坐標(biāo)（問題三） p：附加費(fèi)用的估計(jì)值。 四、問題分析 問題一：首先要考慮兩個(gè)工廠是否在鐵路的同一側(cè)，如果兩個(gè)工廠在鐵路的同 一側(cè)那么一定要考慮共用管線的問題。如果不在鐵路的同一 側(cè)那么就沒有必要考 慮共用管線這個(gè)問題。當(dāng)兩個(gè)工廠在鐵路兩邊時(shí)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短的原理 4 只要求出兩廠之間的距離，就可以得到最低費(fèi)用設(shè)計(jì)；當(dāng)兩個(gè)工廠在鐵路的同一 側(cè)時(shí)，且當(dāng)沒有共用管線時(shí)，只需利用光的傳播原理可得到最短路徑；在考慮到 有共用管線時(shí)，需建立方程求解最低消費(fèi)設(shè)計(jì)方案。 問題二：這個(gè)問題從市區(qū)和郊區(qū)分兩個(gè)部分分析，火車站建立在郊區(qū)費(fèi)用要少；因?yàn)榻紖^(qū)非共用管線與共用管線的費(fèi)用相同，所以可以用最短路徑的方法來考慮，同時(shí)又要求費(fèi)用最小，可以通過方程解出最低費(fèi)用及對應(yīng)的鋪設(shè)線路。 問題三：通 過建立坐標(biāo)系設(shè)兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，同時(shí)也是表示出管線的長度，然 后再與各自的費(fèi)用之積確定總的費(fèi)用，從而算出兩點(diǎn)的坐標(biāo)值。即確定了管線的 路線。 五、模型的建立與求解 的模型建立與求解 對于管線布置的分析，分為兩種情況： 1、 兩個(gè)煉油廠在鐵路兩側(cè)，如圖所示： 兩煉油廠 A,為車站位置 此時(shí) L= 22()a b l 此時(shí)為最低費(fèi)用設(shè)計(jì)方案。 2、兩個(gè)煉油廠位于鐵路的同一側(cè) ,則 需考慮有無共用管線兩種情況： C A E D a b l B 5 時(shí)找出兩廠與鐵路交點(diǎn)連線的最近路線即可，如圖： 過鐵路 A 點(diǎn)的對稱點(diǎn) A ，連接 A B，與鐵路相交于點(diǎn) E 即為車站所在位置，此時(shí) L= 22()a b l 此時(shí)為最低費(fèi)用設(shè)計(jì)方案。 b當(dāng)存在共用管線時(shí)： A、當(dāng)共用管線與非共用管線價(jià)格相同，均為 m 時(shí)： 設(shè)計(jì)方案如圖所示 假設(shè)公共管線長度為 h；（ 0 h b） x= （ 1） A C D B b l h E F a 2x x Y X C A E D a b l B A a 6 L= 22()x b l+h （ 2） L= 22()a h b l +h （ 3） W=Lm=m* 22()a h b l +m*h （ 4） 當(dāng)實(shí)際情況下已知 a， b， 式只存在一個(gè)未知數(shù) h，再結(jié)合 B、當(dāng)共用管線價(jià)格為 m，非共用管線價(jià)格為 n；（ n m 2n） 設(shè)計(jì)方案如圖所示： W=h*m+n* 22()a h x+n* 22( ) ( )b h l x 其中： 0 x l； 0 h b； 實(shí)際情況下的費(fèi)用可以根據(jù)已知道的常量 a、 b、 l 再結(jié)合 x、 h 的取值范圍可以得出最小費(fèi)用。 的模型建立與求解 因?yàn)樵诔菂^(qū)和郊區(qū)鐵路管線的費(fèi)用相同，而在城區(qū)有拆遷和工程補(bǔ)償?shù)荣M(fèi)用，所以城區(qū)和郊區(qū)要分為兩部分來考慮。我們從三家咨詢公司給出的三個(gè)方案來看，我們考慮到甲級資質(zhì)和乙級資質(zhì)的評估準(zhǔn)確性，所以我們對三家公司進(jìn)行分權(quán)，甲級資質(zhì)的權(quán)重為 40%，乙級資質(zhì)的權(quán)重為 30% 所需要的附加費(fèi)預(yù)估值為 p=1+4+0=元 /千米 ) A a C l x h F E b B D 7 由于城區(qū)管線鋪設(shè)所花費(fèi)的費(fèi)用比較大 ，所以車站站點(diǎn)建設(shè)在郊區(qū)才是相 對節(jié)約經(jīng)費(fèi)的。 我們根據(jù)共用管線與非共用價(jià)格相同設(shè)計(jì)出如下圖所示模型： 如上圖所示建立坐標(biāo)系， W= h+ 22( 1 5 2 ) 1 5 ） +22(8 1) 5y （ 1） x=5 （ 2） W= h+ 22( 1 5 2 ) 1 5 ） +22(8 1) 5y （ 3） 其中 0 h 8 0 8 利用 C+程序編輯器編輯程序求解： 最小費(fèi)用 W=。 F（ h） G（ 5， A 5 C h E B D 8 20 15 x 2x Y X 8 的模型建立與求解 根據(jù)城郊管線之間以及共用管線之間存在價(jià)格差異，我們建立出如下圖的模型： G 為 B 管線與分界線之間的交點(diǎn)； F 為 A， B 管線間的交點(diǎn)； A 廠到 F 點(diǎn)距離： 22( 5 ) ( 2 0 2 ) ； 間 距離： 22( 2 5 ) ( 2 )x y h ； B 廠到 G 點(diǎn)距離： 225 (8 2 )y ； 共用管道 離為 h； 0 h 8； 5 20； 0 8； F（ h） G（ 5， A 5 C h E B D 8 20 15 x 2x Y X 9 總費(fèi)用： W=F+6*F+（ ） * (1) W=22( 5 ) ( 2 0 2 ) +6* 22( 2 5 ) ( 2 )x y h +7.2*h+25 (8 2 )y 利用 C+程序編輯器編輯程序求解： 得到最低的費(fèi)用為 W=元。 六、模型的評價(jià)與應(yīng)用 從實(shí)際的生活出發(fā)輸油管道是石油生產(chǎn)過程中的重要環(huán)節(jié)，石油工業(yè)始終離不 開輸油管線的鋪設(shè)問題。它是煉油廠、車站、用戶、產(chǎn)地之間的重要環(huán)節(jié)。 優(yōu)點(diǎn) ：利用數(shù)學(xué)模型的建立，是復(fù)雜的實(shí)際問題簡單化，同時(shí)又與實(shí)際情況相 聯(lián)系。建立合適的數(shù)學(xué)模型可以使設(shè)計(jì)達(dá)到最優(yōu)的目的，使解決復(fù)雜的時(shí)間問題 更加簡單化，更加得節(jié)約和快捷。 缺點(diǎn) ：該模型進(jìn)行了很多假設(shè)，比如忽略接頭問題，和施工費(fèi)用問題，以及忽 略了地形對施工的影響。在計(jì)算過程中由于 C+程序編程循環(huán)過于龐大，即采用 由粗至細(xì)的運(yùn)算方法，存在一定誤差。 應(yīng)用 ：模型在實(shí)際運(yùn)用中，不僅僅可以用在成品油運(yùn)輸管布置，還可運(yùn)用到原 油輸送和污水處理，電線電纜的布置還有公路鐵路的修建等一些列的線路布置問 10 題。 附錄 問題二的 C+程序片段 # h,