. 將一枚均勻的硬幣拋兩次，事件 , 分別表示“第一次出現(xiàn)正面”，“兩次出現(xiàn)同一面”，“至少有一次出現(xiàn)正面”。試寫出樣本空間及事件 , 中的樣本點(diǎn)。 解： (正，正)，（正，反），（反，正），（反，反） A (正，正)，（正，反） ； B （正，正），（反，反） C (正，正)，（正，反），（反，正） 2. 在擲兩顆骰子的試驗(yàn)中，事件 , 分別表示“點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)”，“點(diǎn)數(shù)之和小于5”，“點(diǎn)數(shù)相等”，“至少有一顆骰子的點(diǎn)數(shù)為3”。試寫出樣本空間及事件 , 中的樣本點(diǎn)。 解： )6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( ； )1,3(),2,2(),3,1(),1,1( )1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( )2,2(),1,1( )4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1( 3. 以 , 分別表示某城市居民訂閱日報(bào)、晚報(bào)和體育報(bào)。試用 , 表示以下事件： （1）只訂閱日報(bào)； （2）只訂日報(bào)和晚報(bào)； （3）只訂一種報(bào)； （4）正好訂兩種報(bào)； （5）至少訂閱一種報(bào)； （6）不訂閱任何報(bào)； （7）至多訂閱一種報(bào)； （8）三種報(bào)紙都訂閱； （9）三種報(bào)紙不全訂閱。 解：（1） （2） （3） ； （4） ; （5） ； （6） （7） 或 （8）（9） 4. 甲、乙、丙三人各射擊一次，事件321, 別表示甲、乙、丙射中。試說明下列事件所表示的結(jié)果：2A , 32 , 21 21 , 321 313221 . 解：甲未擊中；乙和丙至少一人擊中；甲和乙至多有一人擊中或甲和乙至少有一人未擊中；甲和乙都未擊中；甲和乙擊中而丙未擊中；甲、乙、丙三人至少有兩人擊中。 5. 設(shè)事件 , 滿足 試把下列事件表示為一些互不相容的事件的和： ， ， . 解：如圖： ;6. 若事件 , 滿足 ，試問 是否成立？舉例說明。 解：不一定成立。例如： 5,4,3A ， 3B ， 5,4C ， 那么， ，但 。 7. 對于事件 , ，試問 )()( 是否成立？舉例說明。 解：不一定成立。 例如： 5,4,3A ， 6,5,4B ， 7,6C ， 那么 3)( 但是 7,6,3)( 8. 設(shè)31)( 21)( 試就以下三種情況分別求 )( （1） （2） ， （3）81)( 解： （1）21)()()()( （2）61)()()()( （3）838121)()()()( 9. 已知41)()()( 161)()( 0)( 事件, 全不發(fā)生的概率。 ： )(1)( = )()()()()()()(1 83016116104141411 10. 每個(gè)路口有紅、綠、黃三色指示燈，假設(shè)各色燈的開閉是等可能的。一個(gè)人騎車經(jīng)過三個(gè)路口，試求下列事件的概率： A “三個(gè)都是紅燈”=“全紅”； B“全綠”； C “全黃”； D “無紅”； E “無綠”； F “三次顏色相同”； G “顏色全不相同”； H “顏色不全相同”。 解： 271333111)()()( 278333222)()( 91271271271)( 92333!3)( 98911)(1)( 11. 設(shè)一批產(chǎn)品共100件，其中98件正品，2件次品，從中任意抽取3件（分三種情況：一次拿3件；每次拿1件，取后放回拿3次；每次拿1件，取后不放回拿3次），試求： （1） 取出的3件中恰有1件是次品的概率； （2） 取出的3件中至少有1件是次品的概率。 解： 一次拿3件： （1） （2） 每次拿一件，取后放回，拿3次： （1） P ； （2） P ； 每次拿一件，取后不放回，拿3次： （1） P ； （2） P 12. 從 9,2,1,0 中任意選出3個(gè)不同的數(shù)字，試求下列事件的概率： 501與三個(gè)數(shù)字中不含A ， 502或三個(gè)數(shù)字中不含A 。 ： 157)(310381 15142)(3103839215141)(31018213. 從 9,2,1,0 中任意選出4個(gè)不同的數(shù)字，計(jì)算它們能組成一個(gè)4位偶數(shù)的概率。 解：904145410283914. 一個(gè)宿舍中住有6位同學(xué)，計(jì)算下列事件的概率： （1）6人中至少有1人生日在10月份； （2）6人中恰有4人生日在10月份； （3）6人中恰有4人生日在同一月份； 解： （1） P ； （2） （3） 15. 從一副撲克牌（52張）任取3張（不重復(fù)），計(jì)算取出的3張牌中至少有2張花色相同的概率。 解： 、二、三等品各占60%，30%、10%，從中任取一件，結(jié)果不是三等品，求取到的是一等品的概率。 解： 令 取到的是 3,2,1i )()()()(3133131 2. 設(shè)10件產(chǎn)品中有4件不合格品，從中任取2件，已知所取2件產(chǎn)品中有1件不合格品，求另一件也是不合格品的概率。 解： 令 A “兩件中至少有一件不合格”， B “兩件都不合格” 511)(1)()()()|(21026210243. 為了防止意外，在礦內(nèi)同時(shí)裝有兩種報(bào)警系統(tǒng)種報(bào)警系統(tǒng)單獨(dú)使用時(shí)，系統(tǒng) （1） 兩種報(bào)警系統(tǒng)（2） 系統(tǒng)（3） 在系統(tǒng)統(tǒng)解：令 A “系統(tǒng)（）有效” ， B “系統(tǒng)（）有效” 則 (, （1） )()()()( ()()( （2） )()()( （3） )()|( 4. 設(shè) 1)(0 證明事件|()|( 證： ： A 與A 與)()|(),()|( )|()|( ： 1)(01)(0 又)()()|(,)()()|( )()()()()|()|( 即 )()()()()(1 )()()( ，故5. 設(shè)事件個(gè)事件只有 )( )( 解：41)()( ，又 41)()(1)()()( 41)(1)()()()( 41)()(),()(2 即21)()( 6. 證明 若 )(0， )(0，則有 （1） 當(dāng)與（2） 當(dāng)與證明： 0)(,0)( （1）因?yàn)橐?0)()()( （2）因?yàn)?0)( 而 0)()( )()()( ，7. 已知事件 , 相互獨(dú)立，求證 與證明：因?yàn)锳、B、 )()( )()()()()()()()()()()()()()()()( 與8. 甲、乙、丙三機(jī)床獨(dú)立工作，求在這段時(shí)間內(nèi)，最多只有一臺機(jī)床需要工人照顧的概率。 解： 令321, 別表示甲、乙、丙三機(jī)床不需要工人照顧， 那么 ,321 令 )()(321321321321 )()()(321321321321 如果構(gòu)成系統(tǒng)的每個(gè)元件能正常工作的概率為 )10( （稱為元件的可靠性），假設(shè)各元件能否正常工作是相互獨(dú)立的，計(jì)算下面各系統(tǒng)的可靠性。 解：令 A “系統(tǒng)（）正常工作” B “系統(tǒng)（）正常工作” 第 ,2,1 ,)( 相互獨(dú)立。 那么 )()()(22121 )2(2)()()()()()(22121122122121)()()(22211 (2)()()()()(121110. 10張獎(jiǎng)券中含有4張中獎(jiǎng)的獎(jiǎng)券，每人購買1張，求 （1） 前三人中恰有一人中獎(jiǎng)的概率； （2） 第二人中獎(jiǎng)的概率。 解：令 第 3,2,1i (1) )(321321321 注：利用第7題的方法可以證 明 )( 與 )( 時(shí)獨(dú)立。 系統(tǒng)I 1 2 n n+1 n+2 2n 系統(tǒng) n+1 2 n+2 n 2n )()()(321321321 )|()|()()|()|()()|()|()(21312121312121312121859410684951068596104 或213102614（2） )|()()|()()(1211212 529410693104 11. 在肝癌診斷中，有一種甲胎蛋白法，用這種方法能夠檢查出95%的真實(shí)患者，但也有可能將10%的人誤診。根據(jù)以往的記錄，每10 000人中有4人患有肝癌，試求： （1）某人經(jīng)此檢驗(yàn)法診斷患有肝癌的概率； （2）已知某人經(jīng)此檢驗(yàn)法檢驗(yàn)患有肝癌，而他確實(shí)是肝癌患者的概率。 解： 令 B “被檢驗(yàn)者患有肝癌”， A “用該檢驗(yàn)法診斷被檢驗(yàn)者患有肝癌” 那么， ,(,( （1） )|()()|()()( （2）)|()()|()()|()()|( 12. 一大批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為30%，每次任取1件，連續(xù)抽取5次，計(jì)算下列事件的概率： （1）取到的5件產(chǎn)品中恰有2件是優(yōu)質(zhì)品； （2） 在取到的5件產(chǎn)品中已發(fā)現(xiàn)有1件是優(yōu)質(zhì)品，這5件中恰有2件是優(yōu)質(zhì)品。 解：令 5件中有 5,4,3,2,1,0i （1） (32252 （2）)()()|()|(002025121)(502 ，其次品數(shù)從0到2是等可能的。開箱檢驗(yàn)時(shí)，從中任取1件，如果檢驗(yàn)是次品，則認(rèn)為該箱產(chǎn)品不合格而拒收。假設(shè)由于檢驗(yàn)有誤，1件正品被誤檢是次品的概率是2%，1件次品被誤判是正品的概率是5%，試計(jì)算： （1）抽取的1件產(chǎn)品為正品的概率； （2）該箱產(chǎn)品通過驗(yàn)收的概率。 解：令 A “抽取一件產(chǎn)品為正品” 箱中有 2,1,0i B “該箱產(chǎn)品通過驗(yàn)收” （1） ()()(2020 （2） )|()()|()()( 14. 假設(shè)一廠家生產(chǎn)的儀器，該廠新生產(chǎn)了 )2( 儀器（假設(shè)各臺儀器的生產(chǎn)過程相互獨(dú)立），求： （1）全部能出廠的概率； （2）其中恰有2件不能出廠的概率； （3）其中至少有2件不能出廠的概率。 解：令 A “儀器需進(jìn)一步調(diào)試” ； B “儀器能出廠” A “儀器能直接出廠” ； “儀器經(jīng)調(diào)試后能出廠” 顯然 ， 那么 (, ()( 所以 )()( 令 ,1,0 （1）( （2）2222222)(（3）)(1)(1112015. 進(jìn)行一系列獨(dú)立試驗(yàn)，每次試驗(yàn)成功的概率均為p，試求以下事件 的概率： （1）直到第（2）第（3）在1( 次成功； （4）直到第1( 次成功。 解： （1）1)1(（2）1(11（3） )1( （4） )1(1116. 對飛機(jī)進(jìn)行3次獨(dú)立射擊，被擊中三次，則飛機(jī)必被擊落。求射擊三次飛機(jī)未被擊落的概率。 解：令 恰有 3,2,1,0i B “飛機(jī)被擊落” 顯然： (01)(23而 0)|(0 (1 (2 1)|(3所以 ()()(30 1)( ，且 ( ,2,1k ), 則 （1） 判斷上面的式子是否為X 的概率分布； （2） 若是，試求 ）為偶數(shù)和 )5( 解：令 ,2,1,21)( ）顯然 10 且 1121212111 所以 ,2,1,21)( （2） 為偶數(shù)31121)41411212 161121)5(2121555 ( ( ,2,1k ), 且 0 ，求常數(shù)C . 解： 1!1，而 1!010即1)1(3. 設(shè)一次試驗(yàn)成功的概率為 )10( 不斷進(jìn)行重復(fù)試驗(yàn)，直到首次成功為止。用隨機(jī)變量X 表示試驗(yàn)的次數(shù)，求X 的概率分布。 解： ,2,1,)1()(1設(shè)自動生產(chǎn)線在調(diào)整以后出現(xiàn)廢品的概率為p=生產(chǎn)過程中出現(xiàn)廢品時(shí)立即進(jìn)行調(diào)整，求 （1）X 的概率分布； （2） )5( 解： （1） ,2,1,0,1()( ）555)()5( 5. 一張考卷上有5道選擇題，每道題列出4個(gè)可能答案，其中有1個(gè)答案是正確的。求某學(xué)生靠猜測能答對至少4道題的概率是多少？ ：因?yàn)閷W(xué)生靠猜測答對每道題的概率為41p ，所以這是一個(gè) 5n ,41641)43()41(43)41()4(0555445 6. 為了保證設(shè)備正常工作，需要配備適當(dāng)數(shù)量的維修人員。臺設(shè)備工作情況相互獨(dú)立。 （1）若由1人負(fù)責(zé)維修20臺設(shè)備，求設(shè)備發(fā)生故障后不能及時(shí)維修的概率； （2）設(shè)有設(shè)備100臺，1臺發(fā)生故障由1人處理，問至少需配備多少維修人員，解： （1） 1920 （按泊松)分布近似） （2） 00 按泊松)分布近似） )1(100111001100100查表得 4N 7. 設(shè)隨機(jī)變量X 服從參數(shù)為的松)分布，且21)0( 求 （1）； （2） )1( 解： 21!0)0(0 )1()0(1)1(1)1( )212 8. 設(shè)書籍上每頁的印刷錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)松)分布。經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)在某本書上，有一個(gè)印刷錯(cuò)誤與有兩個(gè)印刷錯(cuò)誤的頁數(shù)相同，求任意檢驗(yàn)4頁，每頁上都沒有印刷錯(cuò)誤的概率。 解： )2()1( ，即 2,!2!12120 （ 842)( 9. 在長度為的時(shí)間間隔內(nèi)，某急救中心收到緊急呼救的次數(shù)服從參數(shù)為的與時(shí)間間隔的起點(diǎn)無關(guān)（時(shí)間以小時(shí)計(jì)），求 （1）某一天從中午12時(shí)至下午3時(shí)沒有收到緊急呼救的概率； （2）某一天從中午12時(shí)至下午5時(shí)收到1次緊急呼救的概率； 9. 在長度為急救中心收到緊急呼救的次數(shù)松)分布，而與時(shí)間間隔的起點(diǎn)無關(guān)（時(shí)間以小時(shí)計(jì)）. 求 （1）某一天從中午12時(shí)至下午3時(shí)沒有收到緊急呼救的概率； （2）某一天從中午12時(shí)至下午5時(shí)收到1次緊急呼救的概率； ： （1）23)0(23,3 （2）251)0(1)1(25,5 10. 已知X 的概率分布為： X 1 0 1 2 3 P 2a 1013a a a 2a 試求（1）a； （2） 12 概率分布。 解： （1） 1231012 101a 。 （2） Y 1 0 3 8 P 103511035111. 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X 試求:（1） （2）X 的概率密度； （3） )22( 解： （1） 21t 1t f (x) x t o 1 2 3 （2）其它，0)3,0,2161)0,1,2121)( （3）1211)2161()2121()220120 12. 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X 的概率密度為 其他,00,試確定常數(shù)6( 解：令 1)( 即 1即2,0 23|(262613. 乘以什么常數(shù)將使2變成概率密度函數(shù)? 解：令 12 141)21(2 141 411 4. 隨機(jī)變量 ),(2其概率密度函數(shù)為 644261)( x ) 試求2, ；若已知()( ，求C . 解： 222)3(2)2(64432161)( 2 , 32 ()( ，由正態(tài)分布的對稱性 可知 2c . 15. 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X 的概率密度為 其他,010,2)(以三次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中“21X ”出現(xiàn)的次數(shù)，試求概率 )2( 解：412)21(210649)43()41()2(223 16. 設(shè)隨機(jī)變量X 服從1,5上的均勻分布，試求 )(21 . 如果 （1） 5121 （2）2151 . 解：X 的概率密度為其他,051,41)(（1）21221)1(4141)(（2）51211)5(4141)(17. 設(shè)顧客排隊(duì)等待服務(wù)的時(shí)間X （以分計(jì)）服從51 的指數(shù)分布。某顧客等待服務(wù)，若超過10分鐘，他就離開。他一個(gè)月要去等待服務(wù)5次，以求1( 解： 2105111)10(1)10( 5,4,3,2,1,0,)1()()(5225(1)1(52 )1( ( ( 試求X 的分布函數(shù)； ) 畫出 )(曲線。 解： 3,132,)(； )(線： 2. 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X 的分布函數(shù)為 331111,1,)(1）X 的概率分布； （2） )1|2( 解： （1） X 1 1 3 P （2）32)1()1()1|2( 3. 從家到學(xué)校的途中有3個(gè)交通崗，假設(shè)在各個(gè)交通崗遇到紅燈的概率是相互獨(dú)立的，X 為途中遇到紅燈的次數(shù)，試求（1）X 的概率分布； （2） X 的分布函數(shù)。 解： （1） 3,2,1,0,)53()52()(33x)( （2）3,132,12511721,1258110,125270,0)(4. 分布函數(shù)，并畫出 )(曲線。 解： 313041211210141214110)(225. 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X 的分布函數(shù)為 00,0,)(21） 的值； （2） )11( （3）概率密度函數(shù) )( 解： （1） 11)(2 又 10)0()( 1x)( （2）21)1()1()11( （3）0,00,2)()(2設(shè)X 為連續(xù)型隨機(jī)變量，其分布函數(shù)為 .,;1,)(的