2017 年湖南省長沙市四縣聯(lián)考高考數(shù)學模擬試卷（理科）（ 3月份） 一、選擇題（共 12 小題，每小題 5 分，滿分 60 分） 1已知全集 U 為實數(shù)集，集合 A=x|2x 3 0， B=x|y=1 x） ，則 A （ （ ） A x|1 x 3 B x|x 3 C x|x 1 D x| 1 x 1 2 i 是虛數(shù)單位，若復數(shù) z 滿足 1+i，則復數(shù) z 的實部與虛部的和是（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 3已知 m， n 為不同的直線， ， 為不同的平面，給出下列命題： ； ； ； 其中的正確命題序號是（ ） A B C D 4如圖，在一個棱長為 2 的正方體魚缸內(nèi)放入一個倒置的無底圓錐形容器，圓錐的上底圓周與魚缸的底面正方形相切，圓錐的頂點在魚缸的缸底上，現(xiàn)在向魚缸內(nèi)隨機地投入一粒魚食，則 “魚食能被魚缸內(nèi)在圓錐外面的魚吃到 ”的概率是（ ） A 1 B C D 1 5已知點 A（ 3， 0），過拋物線 x 上一點 P 的直線與直線 x= 1 垂直相交于點 B，若 |則點 P 的橫坐標為（ ） A 1 B C 2 D 6某幾何體的三視圖如圖，若該幾何體的所有頂點都在一個球面上，則該球面的表面積為（ ） A 4 B C D 20 7函數(shù) f（ x） = 的圖象可能是（ ） A B C D 8執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的 N 是 10，那么輸出的 S 是（ ） A 2 B 1 C 1 D 2 1 9中國歷法推測遵循以測為輔、以算為主的原則例如周髀算經(jīng)和易經(jīng)里對二十四節(jié)氣的晷（ 長的記錄中，冬至和夏至的晷影長是實測得到的，其它節(jié)氣的晷影長則 是按照等差數(shù)列的規(guī)律計算得出的下表為周髀算經(jīng)對二十四節(jié)氣晷影長的記錄，其中 表示 115 寸 1 分（ 1 寸 =10 分） 節(jié)氣 冬至 小寒 （大雪） 大寒 （小雪） 立春 （立冬） 雨水 （霜降） 驚蟄 （寒露） 春分 （秋分） 清明 （白露） 谷雨 （處暑） 立夏 （立秋） 小滿 （大暑） 芒種 （小暑） 夏至 晷影長 （寸） 135 125 知易經(jīng)中記錄的冬至晷影長 為 ，夏至晷影長為 ，那么易經(jīng)中所記錄的驚蟄的晷影長應為（ ） A B C D 10設 雙曲線 =1（ a 0， b 0）的左、右焦點，若雙曲線右支上存在一點 P，使（ + ） =0（ O 為坐標原點），且 2| |=3| |，則雙曲線的離心率為（ ） A B C D 11已知集合 M=（ x， y） |y=f（ x） ，若對于任意實數(shù)對（ M，存在（ M，使 成立，則稱集合 M 是 “垂直對點集 ”，給出下列四個集合： M=（ x， y） |y= ； M=（ x， y） |y=； =（ x， y） |y=2x 2； M=（ x， y） |y=其中是 “垂直對點集 ”的序號是（ ） A B C D 12定義在（ 1， + ）上的函數(shù) f（ x）滿足下列兩個條件：（ 1）對任意的 x（ 1， + ）恒有 f（ 2x） =2f（ x）成立； （ 2）當 x （ 1， 2時， f（ x） =2 x；記函數(shù) g（ x） =f（ x） k（ x 1），若函數(shù) g（ x）恰有兩個零點，則實 數(shù) k 的取值范圍是（ ） A 1， 2） B C D 二、填空題 13若兩個非零向量 滿足 ，則向量 與 的夾角是 14已知（ ） 5 的展開式中含 x 的項的系數(shù)為 30，則實數(shù) a= 15我們可以利用數(shù)列 遞推公式 （ n N+），求出這個數(shù)列各項的值，使得這個數(shù)列中的每一項都是奇數(shù)，則 16實數(shù) x、 y 滿足 ，若 z=ax+y 的最大值為 3a+9，最小值為 3a 3，則 a 的取值范圍是 三、解答題（共 5 小題，滿分 60 分） 17（ 12 分） 在 ，角 A， B， C 的對邊分別為 a， b， c，且滿足 = （ ）求角 A 的大小； （ ）若 a=2 ，求 積的最大值 18（ 12 分）如圖，在四棱錐 P ，底面 菱形， 0，Q 是 中點 （ 1）若 D，求證：平面 平面 （ 2）若平面 平面 D=，點 M 在線段 且滿足二面角 M C 的大小 19（ 12 分）近年來我國電子商務行業(yè)迎來發(fā)展的新機遇 2016 年 618 期間，某購物平臺的銷售業(yè)績 高達 516 億人民幣與此同時，相關(guān)管理部門推出了針對電商的商品和服務的評價體系現(xiàn)從評價系統(tǒng)中選出 200 次成功交易，并對其評價進行統(tǒng)計，對商品的好評率為 服務的好評率為 中對商品和服務都做出好評的交易為 80 次 （ ）先完成關(guān)于商品和服務評價的 2 2 列聯(lián)表，再判斷能否在犯錯誤的概率不超過 前提下，認為商品好評與服務好評有關(guān)？ （ ）若將頻率視為概率，某人在該購物平臺上進行的 3 次購物中，設對商品和服務全好評的次數(shù)為隨機變量 X： 求對商品和服務全好評的次數(shù) X 的分布列； 求 X 的數(shù)學 期望和方差 附臨界值表： P（ k） k 2 的觀測值： k= （其中 n=a+b+c+d） 關(guān)于商品和服務評價的 2 2 列聯(lián)表： 對服務好評 對服務不滿意 合計 對商品好評 a=80 b= 對商品不滿意 c= d=10 合計 n=200 20（ 12 分）已知橢圓的長軸 長為 6，離心率為 ， 橢圓的右焦點 （ ）求橢圓的標準方程； （ ）點 M 在圓 x2+ 上，且 M 在第一象限，過 M 作圓 x2+ 的切線交橢圓于 P， Q 兩點，判斷 周長是否為定值并說明理由 21（ 12 分）已知函數(shù) f（ x） = 的圖象為曲線 C，函數(shù) g（ x） = ax+b 的圖象為直線 l （ 1）當 a=2， b= 3 時，求 F（ x） =f（ x） g（ x）的最大值； （ 2）設直線 l 與曲線 C 的交點的橫坐標分別為 證：（ x1+x2）g（ x1+ 2 請考生在 22、 23 題 中任選一題作答【選修 4標系與參數(shù)方程】 22（ 10 分）在直角坐標系 ，圓 C 的方程為（ x+6） 2+5 （ ）以坐標原點為極點， x 軸正半軸為極軸建立極坐標系，求 C 的極坐標方程； （ ）直線 l 的參數(shù)方程是 （ t 為參數(shù)）， l 與 C 交與 A， B 兩點，| ，求 l 的斜率 【選修 4等式選講】 23設函數(shù) f（ x） =|x a| 2|x 1| （ ）當 a=3 時，解不等式 f（ x） 1； （ ）若 f（ x） |2x 5| 0 對任意的 x 1， 2恒成立，求實數(shù) a 的取值范圍 2017 年湖南省長沙市四縣聯(lián)考高考數(shù)學模擬試卷（理科）（ 3 月份） 參考答案與試題解析 一、選擇題（共 12 小題，每小題 5 分，滿分 60 分） 1已知全集 U 為實數(shù)集，集合 A=x|2x 3 0， B=x|y=1 x） ，則 A （ （ ） A x|1 x 3 B x|x 3 C x|x 1 D x| 1 x 1 【考點】 交、并、補集的混合運算 【分析】 解不等式求出集合 A，求函數(shù)定義域得出集合 B，再根據(jù)交集與補集的定義寫出 A （ 【解答】 解：全集 U=R，集合 A=x|2x 3 0=x| 1 x 3， B=x|y=1 x） =x|1 x 0=x|x 1， 則 x|x 1， 所以 A （ =x|1 x 3 故選： A 【點評】 本題考查了集合的基本運算與不等式和函數(shù)定義域的應用問題，是基礎題目 2 i 是虛數(shù)單位，若復數(shù) z 滿足 1+i，則復數(shù) z 的實部與虛部的和是（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 【考點】 復數(shù)的基本概念；復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算 【分析】 利用復數(shù)的乘法求出復數(shù) z，然后求解結(jié)果即可 【解答】 解 ：復數(shù) z 滿足 1+i， 可得 z= = =1+i 復數(shù) z 的實部與虛部的和是： 1+1=2 故選： C 【點評】 本題考查復數(shù)的基本運算以及基本概念，考查計算能力 3已知 m， n 為不同的直線， ， 為不同的平面，給出下列命題： ； ； ； 其中的正確命題序號是（ ） A B C D 【考點】 命題的真假判斷與應用；平面與平面之間的位置關(guān)系 【分析】 由線面垂直及線線垂直的幾何特征可判斷 的真假；由線面垂直的性質(zhì)定理可判斷 的真假；根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理及面面 平行的判定方法可判斷 的真假；由面面平行的性質(zhì)及幾何特征可判斷 的真假，進而得到答案 【解答】 解： 或 n，故 錯誤； 由線面垂直的性質(zhì)定理可得 ，故 正確； 根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理及面面平行的判定方法可得 ，故 正確； 由面面平行的性質(zhì)及幾何特征可得 或 m， n 異面，故 錯誤； 故選 A 【點評】 本題考查的知識點是命題的真假判斷與應用，平面與平面之間的位置關(guān)系，熟練掌握空間線線關(guān)系，線面關(guān)系及面面關(guān)系的判定，性質(zhì)，及幾何特征是解答本題的關(guān)鍵 4如圖，在一個棱長為 2 的正方體魚缸內(nèi)放入一個倒置的無底圓 錐形容器，圓錐的上底圓周與魚缸的底面正方形相切，圓錐的頂點在魚缸的缸底上，現(xiàn)在向魚缸內(nèi)隨機地投入一粒魚食，則 “魚食能被魚缸內(nèi)在圓錐外面的魚吃到 ”的概率是（ ） A 1 B C D 1 【考點】 幾何概型 【分析】 由題意，直接看頂部形狀，及正方形內(nèi)切一個圓，正方形面積為 4，圓為 ，即可求出 “魚食能被魚缸內(nèi)在圓錐外面的魚吃到 ”的概率 【解答】 解：由題意，正方形的面積為 22=4圓的面積為 所以 “魚食能被魚缸內(nèi)在圓錐外面的魚吃到 ”的概率是 1 ， 故選： A 【點評】 本題考查概率的計算 ，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題 5已知點 A（ 3， 0），過拋物線 x 上一點 P 的直線與直線 x= 1 垂直相交于點 B，若 |則點 P 的橫坐標為（ ） A 1 B C 2 D 【考點】 拋物線的簡單性質(zhì) 【分析】 利用拋物線的定義，結(jié)合 |即可求出點 P 的橫坐標 【解答】 解：由題意，可知 F（ 1， 0）， 過拋物線 x 上一點 P 的直線與直線 x= 1 垂直相交于點 B， | | | P 的橫坐標為 2， 故選： C 【點評】 本題考查拋物線的定義與性質(zhì)，考查學生的計算能力，比較基礎 6某幾何體的三視圖如圖，若該幾何體的所有頂點都在一個球面上，則該球面的表面積為（ ） A 4 B C D 20 【考點】 球內(nèi)接多面體；球的體積和表面積 【分析】 由三視圖知，幾何體是一個三棱柱，三棱柱的底面是邊長為 2 的正三角形，側(cè)棱長是 2，根據(jù)三棱柱的兩個底面的中心的中點與三棱柱的頂點的連線就是外接球的半徑，求出半徑即可求出球的表面積 【解答】 解：由三視圖知，幾何體是一個三棱柱，三棱柱的底面是邊長為 2 的正三角形，側(cè)棱長是 2， 三棱柱的兩個底面的中心的中點與三棱柱的頂點的連線就是外接球的半徑， r= = ，球的表面積 4 = 故選： B 【點評】 本題考查了由三視圖求三棱柱的外接球的表面積，利用棱柱的幾何特征求外接球的半徑是解題的關(guān)鍵 7函數(shù) f（ x） = 的圖象可能是（ ） A B C D 【考點】 函數(shù)的圖象 【分析】 由函數(shù)的解析式，可求出函數(shù)的定義域，可排除 B， D 答案；分析 x（ 2， 1）時，函數(shù)值的符號，進而可以確定函數(shù)圖象的位置后可可排除 【解答 】 解：若使函數(shù) 的解析式有意義 則 ，即 即函數(shù) 的定義域為（ 2， 1） （ 1， + ） 可排除 B， D 答案 當 x （ 2， 1）時， 0， x+2） 0 則 0 可排除 C 答案 故選 A 【點評】 本題考查的知識點是函數(shù)的圖象，熟練掌握函數(shù)定義域的求法及函數(shù)值符號的判定是解答的關(guān)鍵 8執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的 N 是 10，那么輸出的 S 是（ ） A 2 B 1 C 1 D 2 1 【考點】 程序框圖 【分析】 模 擬 執(zhí) 行 程 序 框 圖 可 知 程 序 框 圖 的 功 能 是 求 ，S= + + + + + 的值，用裂項法即可得解 【解答】 解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得 N=10， S=0， k=1 S= ， 滿足條件 k 10， k=2， S= + ， 滿足條件 k 10， k=3， S= + + ， 滿足條件 k 10， k=10，S= + + + + + = + += 1， 不滿足條件 k 10，退出循環(huán)，輸出 S 的值為 1 故選： C 【點評】 本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，考查了數(shù)列的求和，屬于基本知識的考查 9中國歷法推測遵循以測為輔、以算為主的原則例如周髀算經(jīng)和易經(jīng)里對二十四節(jié)氣的晷（ 長的記錄中，冬至和夏至的晷影長是實測得到的，其它節(jié)氣的晷影長則是按照等差數(shù)列的規(guī)律計算得出的下表為周髀算經(jīng)對二十四節(jié)氣晷影長的記錄，其中 表示 115 寸 1 分（ 1 寸 =10 分） 節(jié)氣 冬至 小寒 （大雪） 大寒 （小雪） 立春 （立冬） 雨水 （霜降） 驚蟄 （寒露） 春分 （秋分） 清明 （白露） 谷雨 （處暑） 立夏 （立秋） 小滿 （大暑） 芒種 （小暑） 夏至 晷影長 （寸） 135 125 知易經(jīng)中記錄的冬至晷影長為 ，夏至晷影長為 ，那么易經(jīng)中所記錄的驚蟄的晷影長應為（ ） A B C D 【考點】 函數(shù)與方程的綜合運用 【分析】 設晷影長為等差數(shù)列 公差為 d， 用等差數(shù)列的通項公式即可得出 【解答】 解：設晷影長為等差數(shù)列 公差為 d， 則 2d=得 d= 5= 易經(jīng)中所記錄的驚蟄的晷影長是 故選： C 【點評】 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)、等差數(shù)列的通項公式及其應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題 10設 雙曲線 =1（ a 0， b 0）的左、右焦點，若雙曲線右支上存在一點 P，使（ + ） =0（ O 為坐標原點），且 2| |=3| |，則雙曲線的離心率為（ ） A B C D 【考點】 雙曲線的簡單性質(zhì) 【分析】 由向量減法法則和數(shù)量積的運算性質(zhì)，可得 = =c，從而得 到 以為 邊的直角三角形由此結(jié)合 ，運用勾股定理算出 c， c，再根據(jù)雙曲線的定義得到 2可得到該雙曲線的離心率 【解答】 解： = ， 得 =0，所以 = =c ，邊 的中線等于 |一半，可得 ， 設 ， ，（ 0） 得（ 3） 2+（ 2） 2=4得 = c c， c 由雙曲線的定義，得 2a=| |= c 雙曲線的離心率為 e= = 故選 A 【點評】 本題給出雙曲線上一點 P 滿足 直角，且兩 直角邊之比為 ，求雙曲線的離心率，著重考查了向量的運算和雙曲線的定義與簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題 11已知集合 M=（ x， y） |y=f（ x） ，若對于任意實數(shù)對（ M，存在（ M，使 成立，則稱集合 M 是 “垂直對點集 ”，給出下列四個集合： M=（ x， y） |y= ； M=（ x， y） |y=； =（ x， y） |y=2x 2； M=（ x， y） |y=其中是 “垂直對點集 ”的序號是（ ） A B C D 【考點】 集合的表示法 【分析】 利用數(shù)形結(jié)合的方法解決，根據(jù)題意，若集合 M=（ x， y） |y=f（ x） 是 “垂直對點集 ”，就是在函數(shù)圖象上任取一點 A，得直線 原點與 直的直線 與函數(shù)圖象相交即可 【解答】 解：由題意，若集合 M=（ x， y） |y=f（ x） 滿足： 對于任意 A（ M，存在 B（ M，使得 成立， 因此 所以，若 M 是 “垂直對點集 ”， 那么在 M 圖象上任取一點 A，過原點與直線 直的直線 與函數(shù)圖象相交于點 B 對于 ： M=（ x， y） |y= ，其圖象是過一、二象限，且關(guān)于 y 軸對稱， 所以對于圖象上的點 A，在圖象上存在點 B，使得 以 符合題意； 對于 ： M=（ x， y） |y=，畫出函數(shù)圖象， 在圖象上任取一點 A，連 原點作直線 垂線 因為 y= 的圖象沿 x 軸向左向右無限延展，且與 x 軸相切， 因此直線 會與 y= 的圖象相交 所以 M=（ x， y） |y=是 “垂直對點集 ”，故 符合題意； 對于 ： M=（ x， y） |y=2x 2，其圖象過點（ 0， 1）， 且向右向上無限延展，向左向下無限延展， 所以，據(jù)圖可知，在圖象上任取一點 A，連 過原點作 垂線 與 y=2 的圖象相交，即一定存在點 B，使得 立， 故 M=（ x， y） |y=2x 2是 “垂直對點集 ”故 符合題意； 對于 ： M=x， y） |y=對于函數(shù) y= 過原點做出其圖象的切線 點 T 在第一象限）， 則過切點 T 做 垂線，則垂線必不過原點， 所以對切點 T，不存在點 M，使得 所以 M=（ x， y） |y=是 “垂直對點集 ”；故 不符合題意 故選： D 【點評】 本題考查 “垂直對點集 ”的判斷，是中檔題，解題時要認真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運用 12定義在（ 1， + ）上的函數(shù) f（ x）滿足下列兩個條件：（ 1）對任意的 x（ 1， + ）恒有 f（ 2x） =2f（ x）成立； （ 2）當 x （ 1， 2時， f（ x） =2 x；記函數(shù) g（ x） =f（ x） k（ x 1），若函數(shù) g（ x）恰有兩個零點，則實數(shù) k 的取值范圍是（ ） A 1， 2） B C D 【考點】 函數(shù)零點的判定定理 【分析】 根據(jù)題中的條件得到函數(shù) 的解析式為： f（ x） = x+2b， x （ b， 2b，又因為 f（ x） =k（ x 1）的函數(shù)圖象是過定點（ 1， 0）的直線，再結(jié)合函數(shù)的圖象根據(jù)題意求出參數(shù)的范圍即可 【解答】 解：因為對任意的 x （ 1， + ）恒有 f（ 2x） =2f（ x）成立，且當 x （ 1， 2時， f（ x） =2 x 所以 f（ x） = x+2b， x （ b， 2b 由題意得 f（ x） =k（ x 1）的函數(shù)圖象是過定點（ 1， 0）的直線， 如圖所示紅色的直線與線段 交即可（可以與 B 點重合但不能與 A 點重合） 所以可得 k 的范圍為 故選 C 【點評】 解決此類問 題的關(guān)鍵是熟悉求函數(shù)解析式的方法以及函數(shù)的圖象與函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想是高中數(shù)學的一個重要數(shù)學思想，是解決數(shù)學問題的必備的解題工具 二、填空題 13若兩個非零向量 滿足 ，則向量 與 的夾角是 120 【考點】 數(shù)量積表示兩個向量的夾角 【分析】 將已知等式 平方得到 的模的關(guān)系及 ，然后利用向量的數(shù)量積公式求出 的夾角 【解答】 解： = = ， （ + ） （ ） = 2| |2， 設 的夾角為 0， 180 =120 故答案為 120 【點評】 求兩個向量的夾角，一般利用向量的數(shù)量積公式來求出夾角的余弦，進一步求出夾角，但一定注意向量夾角的范圍為 0， 180 14已知（ ） 5 的展開式中含 x 的項的系數(shù)為 30，則實數(shù) a= 6 【考點】 二項式系數(shù)的性質(zhì) 【分析】 根據(jù)二項式展開式的通項公式，列出方程即可求出 r 與 a 的值 【解答】 解：（ ） 5 展開式的通項公式為： = =（ a） r ， 令 = ，解得 r=1； 所以展開式中含 x 項的系數(shù)為： （ a） =30， 解得 a= 6 故答案為： 6 【點 評】 本題考查了二項式展開式的通項公式與應用問題，是基礎題目 15我們可以利用數(shù)列 遞推公式 （ n N+），求出這個數(shù)列各項的值，使得這個數(shù)列中的每一項都是奇數(shù)，則 66 【考點】 數(shù)列遞推式 【分析】 借助于遞推公式知道奇數(shù)項的值為其項數(shù)，而偶數(shù)項的值由對應的值來決定，寫出數(shù)列前幾項，即可得到所求值 【解答】 解：由題得：這個數(shù)列各項的值分別為 1， 1， 3， 1， 5， 3， 7， 1， 9，5， 11， 3 5=5=5=5=1+65=66 故答案為： 66 【點評】 本題是對數(shù)列遞推公式應用的考查，解題時要認真審題，仔細觀察，注意尋找規(guī)律，避免不必要的錯誤 16實數(shù) x、 y 滿足 ，若 z=ax+y 的最大值為 3a+9，最小值為 3a 3，則 a 的取值范圍是 1， 1 【考點】 簡單線性規(guī)劃 【分析】 作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用目標函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可 【解答】 解：由 z=ax+y 得 y= ax+z，直線 y= ax+z 是斜率為 a， y 軸上的截距為 z 的直線， 作出不等式組 對應的平面區(qū)域如圖： 則 A（ 3， 9）， B（ 3， 3）， C（ 3， 3）， z=ax+y 的最大值為 3a+9，最小值為 3a 3， 可知目標函數(shù)經(jīng)過 A 取得最大值，經(jīng)過 C 取得最小值， 若 a=0，則 y=z，此時 z=ax+y 經(jīng)過 A 取得最大值，經(jīng)過 C 取得最小值，滿足條件， 若 a 0，則目標函數(shù)斜率 k= a 0， 要使目標函數(shù)在 A 處取得最大值，在 C 處取得最小值， 則目標函數(shù)的斜率滿足 a 1， 即 a 1，可得 a （ 0， 1 若 a 0，則目標函數(shù)斜率 k= a 0， 要使目標函數(shù)在 A 處取得最大值，在 C 處取得最小值，可得 a 1 a 0，綜上 a 1， 1 故答案為： 1， 1 【點評】 本題主要考查線性規(guī)劃的應用，根據(jù)條件確定 A， B 是最優(yōu)解是解決本題的關(guān)鍵注意要進行分類討論，是中檔題 三、解答題（共 5 小題，滿分 60 分） 17（ 12 分）（ 2017長沙模擬）在 ，角 A， B， C 的對邊分別為 a， b，c，且滿足 = （ ）求角 A 的大?。?（ ）若 a=2 ，求 積的最大值 【考點】 正弦定理；余弦定理 【分析】 （ I）把條件中所給的既有角又有邊的等式利用正弦定理變化成只有角的形式，整理逆用兩角和的正弦公式， 根據(jù)三角形內(nèi)角的關(guān)系，得到結(jié)果 （ 用余弦定理寫成關(guān)于角 A 的表示式，整理出兩個邊的積的范圍，表示出三角形的面積，得到面積的最大值 【解答】 解：（ ） ， 所以（ 2c b） a正弦定理，得（ 2 整理得 2 2A+B） = 在 ， 0 ， （ ）由余弦定理 ， b2+20=220 20，當且僅當 b=c 時取 “=” 三角形的面積 三角形面積的最大值為 【點評】 本題考查正弦定理和余弦定理，本題解題的關(guān)鍵是角和邊的靈活互化，兩個定理的靈活應用和兩角和的公式的正用和逆用 18（ 12 分）（ 2017長沙模擬）如圖，在四棱錐 P ，底面 菱形， 0， Q 是 中點 （ 1）若 D，求證：平面 平面 （ 2）若平面 平面 D=，點 M 在線段 且滿足二面角 M C 的大小 【考點】 二面角的平面角及求法；平面與平面垂直的判定 【分析】 （ 1）推導出 而 平面 此能證明平面 平面 （ 2）以 Q 為原點， x 軸， y 軸， z 軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角 M C 的大小 【解答】 證明：（ 1） 在四棱錐 P ，底面 菱形， 0， Q 是 中點 D， D= ， 平面 平面 平面 平面 解：（ 2） 平面 平面 D=，點 M 在線段 且滿足 以 Q 為原點， x 軸， y 軸， z 軸，建立空間直角坐標系， Q（ 0， 0， 0）， B（ 0， ， 0）， P（ 0， 0， ）， C（ 2， ， 0）， M（， ， ）， =（ 0， ， 0）， =（ ， ， ）， 設平面 法向量 =（ x， y， z）， 則 ，取 z=1，得 =（ ）， 平面 法向量 =（ 0， 0， 1）， 設二面角 M C 的平面角為 ， 則 = ， =60， 二面角 M C 的大小為 60 【點評】 本題考查面面垂直的證明，考查二面角的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng) 19（ 12 分）（ 2017長沙模擬）近年來我國電子商務行業(yè)迎來發(fā)展的新機遇 2016年 618 期間，某購物平臺的銷售業(yè)績高達 516 億人民幣與此同時，相關(guān)管理部門推出了針對電商的商品和服務的評價體系現(xiàn)從評價系統(tǒng)中選出 200 次成功交易，并對其評價進行統(tǒng)計，對商品的好評率為 服務的好評率為 中對商品和服務都做出好評的交易為 80 次 （ ） 先完成關(guān)于商品和服務評價的 2 2 列聯(lián)表，再判斷能否在犯錯誤的概率不超過 前提下，認為商品好評與服務好評有關(guān)？ （ ）若將頻率視為概率，某人在該購物平臺上進行的 3 次購物中，設對商品和服務全好評的次數(shù)為隨機變量 X： 求對商品和服務全好評的次數(shù) X 的分布列； 求 X 的數(shù)學期望和方差 附臨界值表： P（ k） k 2 的觀測值： k= （其中 n=a+b+c+d） 關(guān)于商品和服務評價的 2 2 列聯(lián)表： 對服務好評 對服務不滿意 合計 對商品好評 a=80 b= 40 120 對商品不滿意 c= 70 d=10 80 合計 150 50 n=200 【考點】 獨立性檢驗的應用 【分析】 （ ）由已知列出關(guān)于商品和服務評價的 2 2 列聯(lián)表，代入公式求得值，對應數(shù)表得答案； （ ） 每次購物時，對商品和服務全好評的概率為 X 的取值可以是 0，1， 2， 3， X B（ 3， 求出 相應的概率，可得對商品和服務全好評的次數(shù)X 的分布列（概率用組合數(shù)算式表示）； 利用二項分布的數(shù)學期望和方差求 X 的數(shù)學期望和方差 【解答】 解：（ 1）由題意可得關(guān)于商品和服務評價的 2 2 列聯(lián)表如下： 對服務好評 對服務不滿意 合計 對商品好評 80 40 120 對商品不滿意 70 10 80 合計 150 50 200 2 分 4 分 故能在犯錯誤的概率不超過 前提下，認為商品好評與服務好評有關(guān) 5分 （ 2） 每次購物時，對商品和服務都好評的概率 為 X 的取值可以是 0，1， 2， 3 其中 P（ X=0） =； P（ X=1） =； 7 分 P（ X=2） =； P（ X=3） = 9 分 X 的分布列為： X 0 1 2 3 P 10 分 由于 X B（ 3， 則 E（ X） =3 D（ X） =3 2分 【點評】 本小題主要考查統(tǒng)計與概率的相關(guān)知識，對考生的對數(shù)據(jù)處理的能力有很高要求，是中檔題 20（ 12 分） （ 2017長沙模擬）已知橢圓的長軸長為 6，離心率為 ， 橢圓的右焦點 （ ）求橢圓的標準方程； （ ）點 M 在圓 x2+ 上，且 M 在第一象限，過 M 作圓 x2+ 的切線交橢圓于 P， Q 兩點，判斷 周長是否為定值并說明理由 【考點】 橢圓的簡單性質(zhì) 【分析】 （ ）由題意可知： 2a=6， ，求得 a 和 c 的值，由 b2=得 b，寫出橢圓方程； （ ）設 P（ Q（ 分別求出 | |結(jié)合相切的條件可得 |=| | ，可得 ， 同理|3，即可證明； 【解答】 解：（ I）根據(jù)已知，設橢圓的標準方程為 ， 2a=6， a=3， ， c=1； b2=， （ 周長是定值， 設 P（ Q（ 則 ， ， 0 3， ，（ 7 分） 在圓中， M 是切點， ，（ 11 分） ， 同理 |3，（ 13 分） |3+3=6， 因此 周長是定值 6 （ 14 分） 【點評】 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相 交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、直線與圓相切性質(zhì)、勾股定理、三角形的周長問題，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題 21（ 12 分）（ 2017長沙模擬）已知函數(shù) f（ x） = 的圖象為曲線 C，函數(shù) g（ x） = ax+b 的圖象為直線 l （ 1）當 a=2， b= 3 時，求 F（ x） =f（ x） g（ x）的最大值； （ 2）設直線 l 與曲線 C 的交點的橫坐標分別為 證：（ x1+x2）g（ x1+ 2 【考點】 導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用；分析法和綜合法 【分析】 （ 1） 由 a=2， b= 3，知 ， x （ 0，1）， F（ x） 0， F（ x）單調(diào)遞增， x （ 1， + ）， F（ x） 0， F（ x）單調(diào)遞減，由此能求出 F（ x） =f（ x） g（ x）的最大值 （ 2）設 證（ x1+g（ x1+ 2，只需證 ，由此入手，能夠證明（ x1+g（ x1+ 2 【解答】 解：（ 1） ， ， x （ 0， 1）， F（ x） 0， F（ x）單調(diào)遞增， x （ 1， + ）， F（ x） 0， F（ x）單調(diào)遞減， F（ x） （ 1） =2 （ 2 ）不妨設 要證（ x1+ g （ x1+ 2 ，只需證， ， ， ，即 ， ， 令 ， x （ + ）只需證， ，