2017 年春季湖北省六校聯(lián)合體四月聯(lián)考 高三數(shù)學(xué)理科試卷 第 卷（共 60 分） 一、 選擇題：本大題共 12 個(gè)小題 ,每小題 5 分 ,共 60 分 有一項(xiàng)是符合題目要求的 . 3 4 0 A x x x ， 3B x x，則集合 （ ） A 3, 1 B 3,4 C 1,3 D 3,4 1 ) ( ) 2 2i x y i i ，其中 , x （ ） A 1 B 2 C 3 D 2 視圖（單位： 如下圖所示，則該幾何體的體積是（ ） A 3 3 B 5 3 C 4 3 D 6 3 5 03 5 030y k ，若目標(biāo)函數(shù)1 3z x y的最小值的 7 倍與2 7z x y的最大值相等，則實(shí)數(shù) k 的值為（ ） A 1 B C D 2 d ，1 2若等比中項(xiàng)，則 k （ ） A 2 B 3 C 5 D 8 21的離心率為 233，且一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線 2 8的焦點(diǎn)相同，則此雙曲線的方程 是（ ） A 2 2 13y xB 2214 12C 22 13D 22112 4輸出的 S 值為 條件框內(nèi)應(yīng)填寫(xiě)（ ） A 4?i B 6?i C 5?i D 5?i 在 2,2 的圖象大致為（ ） ) 2 s i n s i n ( 3 )f x x x 是奇函數(shù)，其中 (0, )2，則函數(shù)( ) c o s ( 2 )g x x 的圖象（ ） A關(guān)于點(diǎn) ( ,0)12對(duì)稱(chēng) B關(guān)于軸 512x 對(duì)稱(chēng) C可由函數(shù) ()單位得到 D可由函數(shù) ()單位得到 1a，1 2nn a （ *）若11( 2 ) ( 1 )n a （ *），1 32b ，且數(shù)列 實(shí)數(shù) 的取值范圍是（ ） A 45B 1 C 32D 23斜邊上的高 成 0120 的二面角，已知直角邊 43，46，那么下面說(shuō)法正確的是（ ） A平面 平面 B四面體 D 的體積是 1663C二面角 A 的正切值是 425D 平面 成角的正弦值是 ) xf x e 有兩個(gè)零點(diǎn)12,2則下面說(shuō)法正確的是（ ） A122B C121有極小值點(diǎn)0x，且1 2 02x x x第 卷（共 90 分） 二、填空題（每題 5 分，滿(mǎn)分 20 分，將答案填在答題紙上） 13.設(shè) ，向量 ( ,1)， (1, 2)b ，且 2 ( 2 1)( 1)的展開(kāi)式中含 4x 項(xiàng)的系數(shù)是 （用數(shù)字作答） ， 2， 3， 4， 5， 6， 7 的 7 張電影票分給甲、乙、丙、丁、戊五個(gè)人，每人至少一張，至多分兩張，且分得的兩張票必須是連號(hào)，那么不同分法種數(shù)為 21（ 0 ）上的動(dòng)點(diǎn) M 作圓 2222的兩條切線，切點(diǎn)為 ，直線 x 軸和 y 軸的交點(diǎn)分別為 E 和 F ，則 面積的最小值是 三、解答題 （本大題共 6 小題，共 70 分 明過(guò)程或演算步驟 .） 17. 已知 ,三個(gè)內(nèi)角 ,對(duì)邊，且 c o s 3 s i a C b c . （ 1）求 A ； （ 2）若 7a ， 的面積為 332，求 b 與 c 的值 . 18. 如圖，在四棱錐中 P ， 平面 /C ， D ，且2A D C D， 22， 2. （ 1）求證： C ； （ 2）在線段 ，是否存在一點(diǎn) M ，使得二面角 M 的大小為 045 ，如果存在，求 平面 成角，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 . 19. 某單位共有 10 名員工，他們某年的收入如下表： 員工編號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年薪（萬(wàn)元） 4 5 51 （ 1）求該單位員工當(dāng)年年薪的平均值和中位數(shù)； （ 2）從該單位中任取 2 人，此 2 人中年薪收入高于 7 萬(wàn)的人數(shù) 記為 ，求 的分布列和期望； （ 3）已知員工年薪收入與工作年限成正相關(guān)關(guān)系，某員工工作第一年至第四年的年薪分別為 4 萬(wàn)元， 元， 6 萬(wàn)元， 元，預(yù)測(cè)該員工第五年的年薪為多少？ 附：線性回歸方程 y bx a中系數(shù)計(jì)算公式分別為： 121( ) ( ) 71 . 45()x y ， a y ，其中 , 20. 已知?jiǎng)訄A C 過(guò)定點(diǎn)2(1,0)F，并且內(nèi)切于定圓 221 : ( 1 ) 1 6F x y . （ 1）求動(dòng)圓圓心 C 的軌跡方程； （ 2）若 2 4上存在兩個(gè)點(diǎn) , 1）中曲線上有兩個(gè)點(diǎn) ,且2,M N ,N ，求四邊形 面積的最小值 . 21. 已知函數(shù) 21( ) ( 1 ) 2 ( 1 ) l x x a x a x ， 23( ) ( 4 2 ) l x x x a x . （ 1）若 1a ，討論函數(shù) () （ 2）是否存在實(shí)數(shù) a ，對(duì)任意12, ( 0 , )，12 有1212( ) ( ) 0f x f x 恒成立，若存在，求出 a 的范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由； （ 3）記 ( ) ( ) ( )h x f x g x，如果12,)1 2 14x x x， ()明： 122( ) 03 . 請(qǐng)考生在 22、 23 兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分 . 標(biāo)系與參數(shù)方程 已知直線112:36 （ t 為參數(shù)），曲線1co s:（ 為參數(shù)） . （ 1）設(shè) l 與1 （ 2）若把曲線12倍，縱坐標(biāo)壓縮 為原來(lái)的 32倍，得到曲線2C，設(shè)點(diǎn) P 是曲線2它到直線 l 的距離的最大值 . 等式選講 已知函數(shù) ( ) 3f x x （ 1）解不等式： ( ) ( 1 ) 2f x f x ； （ 2）若 0a ，求證： ( ) ( 3 ) ( )f a x f a a f x. 2017 年春季湖北省重點(diǎn)高中聯(lián)考協(xié)作體期中考試 高三數(shù)學(xué) (理科 )試卷答案 一、選擇題 1 6 11、 12： 、填空題 13. 5 14. 15 15. 1200 16. 34答題 17.【解析】 （ 1） c o s 3 s i a C b c ，由正弦定理得： s i n c o s 3 s i n s i n s i n s i A C B C ，即 s i n c o s 3 s i n s i n s i n s i n A C A C ， 化簡(jiǎn)得： 3 s i n c o s 1， 1s 在 中， 0 A ， 66A ，得3A ， （ 2）由已知得 1 3 3s i 2 ，可得 6， 由已知及余弦定理得 22 2 c o s 7b c b c A ， 2( ) 25， 5 ， 聯(lián)立方程組 65，可得 23或 32. 18.【解析】 （ 1）證明： 如圖，由已知得四邊形 直角梯形， 由已知 2 , 2 2A D C D B C ， 可得 是等腰直角三角形，即 C ， 又 平面 則 B ，又 C A ，所以 平面 所以 C . （ 2）存在，觀察圖形特點(diǎn)，點(diǎn) M 可能是線段 一個(gè)三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn) D ），下面證明當(dāng) M 是線段 三等分點(diǎn)時(shí)，二面角 M 的大小為 045 ，過(guò)點(diǎn) M 作 D于 N ，則 /A ，則 平面 過(guò)點(diǎn) M 作 C 于 G ，連接 則 是二面角 M 的平面角， 因?yàn)?M 是線段 一個(gè)三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn) D ），則 22,233M N A N， 在四邊形 求得 23則 045， 所以當(dāng) M 是線段 一個(gè)靠近點(diǎn) D 的三等分點(diǎn)時(shí)，二面角 M 的大小為 045 ， 在三棱錐 M 中，可得 13M A B C A B M N，設(shè)點(diǎn) B 到平面 距離是 h ， 13B M A C M A h， 則A B C M A N S h ，解得 2h ， 在 中，可得 22， 設(shè) 平面 成的角為 ，則 1s ， 所以 平面 成的角為 030 . 19.【解析】 （ 1）平均值為 11 萬(wàn)元，中位數(shù)為 7 萬(wàn)元 . （ 2）年薪高于 7 萬(wàn)的有 5 人，低于或等于 7 萬(wàn)的有 5 人； 取值為 0， 1， 2. 252102( 0 )9 ， 11552105( 1 )9 ， 252102( 2 )9 ， 所以 的分布列為 0 1 2 P 29 59 29 數(shù)學(xué)期望為 2 5 20 1 2 19 9 9E . （ 3）設(shè) )4,3,2,1(, 6， 4 21( ) 2 . 2 5 0 . 2 5 0 . 2 5 2 . 2 5 5 41( ) ( ) 1 . 5 2 0 . 5 0 . 5 0 . 5 0 1 . 5 2 . 5 7x y y （ - ） （ - ） （ - ） 121( ) ( ) 7 1 . 45()x y 6 1 . 4 2 . 5 2 . 5a y b x ， 得線性回歸方程： . 可預(yù)測(cè)該員工第 5 年的年薪收入為 元 . 20.【解析】 （ 1）設(shè)動(dòng)圓的半徑為 r ，則2CF r，1 4CF r，所以1 2 1 24C F C F F F ， 由橢圓的定義知?jiǎng)訄A 圓心 C 的軌跡是以12,2, 1，所以 3b ，動(dòng)圓圓心 C 的軌跡方程是 22143. （ 2）當(dāng)直線 率不存在時(shí)，直線 斜率 為 0，易得 4 , 4M N P Q，四邊形面積 8S . 當(dāng)直線 率存在時(shí)，設(shè)其方程為 ( 1 ) ( 0 )y k x k ，聯(lián)立方程得 2( 1)4y k ，消元得 2 2 2 2( 2 4 ) 0k x k x k 設(shè)1 1 2 2( , ) , ( , )M x y N x y，則 12 2124 21xx 2222441 ( 2 ) 4 4M N k N ，直線 方程為 1 ( 1) ， 221 ( 1)143 ，得 2 2 2( 3 4 ) 8 4 1 2 0k x x k 設(shè)3 3 4 4( , ) , ( , )P x y Q x y，則34 2212 28344 1 234 2222 2 2 21 8 4 1 2 1 2 ( 1 )1 ( ) 43 4 3 4 3 4k k k 四邊形 面積 2 2 22 2 2 21 1 4 1 2 ( 1 ) ( 1 )( 4 ) ( ) 2 42 2 3 4 ( 3 4 ) N P Qk k k k ， 令 2 1 ， 1t ，上式 2211 332 4 2 4( 1 ) ( 3 1 ) 3 ( 1 ) ( 3 1 )t t t t ， 令 2 1 , ( 3 )t z z ， 2 1 48 1 8 1 8 13 3 1 1( 1 ) ( 3 1 ) 3 ( ) 1 022 1 103z z （ 3z ）， 13 ( ) 1 0 0z z ， 8 (1 0 ) 8S ， 綜上可得 8S ，最小值為 8. 21.【解析】 （ 1） ()0, ) 2 ( 2 ) ( 1 )1 ( 1 ) 2 ( 1 )( ) ( 1 ) 2 ( 1 ) x x ax a x af x x a a x x x 若 12a ，則 3a ， 2 ( 2 )( ) 0， ()0, ) 上單調(diào)遞增； 若 12a ，則 3a ，而 1a ， 13a， 當(dāng) ( 1, 2) 時(shí)， ( ) 0；當(dāng) (0, 1)及 (2, ) 時(shí) ( ) 0， 所以 () 1,2)a 上單調(diào)遞減，在 (0, 1)a 及 (2, ) 單調(diào)遞增； 若 12a ，則 3a ，同理可得 ()2, 1)a 上單調(diào)遞減，在 (0,2) 及 ( 1, )a 單調(diào)遞增 . （ 2）假設(shè)存在 a ，對(duì)任意1 2 1 2, ( 0 , ) ,x x x x ，有1212( ) ( ) 0f x f x 恒成立， 不妨設(shè)120 ，只要2121( ) ( ) 0f x f x ，即 2 2 1 1( ) ( )f x a x f x a x ， 令 ( ) ( )g x f x ，只要 () (0, ) 上為增函數(shù)， 21( ) 2 ( 1 ) l x x x a x 2219( ) 22 ( 1 ) 2 ( 1 ) 24( ) 1 x x ag x xx x x 只要 ( ) 0在 (0, ) 恒成立，只要 992 0 ,48 ，故存在 9 ,8a 時(shí)，對(duì)任意1 2 1 2, ( 0 , ) ,x x x x ，有1212( ) ( ) 0f x f x 恒成立 . （ 3）由題意知， 2 2 213( ) ( 1 ) 2 ( 1 ) l n ( 4 2 ) l n 2 l x x a x a x x x a x x x a x 221 1 1 1 2 2 2 2( ) 2 l n 0 , ( ) 2 l n 0h x x x a x h x x x a x 兩式相減，整理得2 1 2 1 2 2 112 l n ( ) ( ) ( )x x x x x a x ，所以 2121212 l n()x ，又因?yàn)?2( ) 2h x x ， 所以21 2 2 11 2 1 221 2 2 1 11332 6 2 2 1 ( ) ( 2 ) l n ( )3 2 3 32xx x x xh x x a x x x x 令2133(1 , 4 ) , ( ) l n 2x tt t ，則 2( 1 ) ( 4 )( ) 0( 2 ) ， 所以 ()t 在 (1,4) 上單調(diào)遞減，故 ( ) (1) 0t 又1221 0 , ( ) 03 ，所以 122( ) 0322.【解析】 （ 1） l 的普通方程 3 ( 1)3，121，聯(lián)立方程組223 ( 1)31 解得 l 與11,0)A ， 13( , )22B ，則 3 （ 2）2co （ 為參數(shù)），故點(diǎn) P 的坐標(biāo)是 13( c o s , s i n )22，從而點(diǎn) P 到直線 l 的距離是1013 s i n ( ) 1c o s s i n 122222 ，由此當(dāng)) 1時(shí)， d 取得最大值，且最大值為