1 / 28 2017 年高考數(shù)學(xué)二診試卷（成都市理科附答案和解釋） 本資料為 檔，請(qǐng)點(diǎn)擊下載地址下載全文下載地址 2017年四川省成都市高考數(shù)學(xué)二診試卷（理科） 一、選擇題：本大題共 12個(gè)小題，每小題 5分，共 60分 . 1已知復(fù)數(shù) z=，則 ） A 1 1+ i 2設(shè) 前 n 項(xiàng)和， ， ） A 2B 0c 3D 6 3已知向量， =（ 3，）， R，則“ = 6”是“”的（ ） A充要條件 B充 分不必要條件 c必要不充分條件 D既不充分也不必要條件 4設(shè)函數(shù) f（ x） =區(qū)間（ 0， 5）上隨機(jī)取一個(gè)數(shù) x，則 f（ x） 2 的概率為（ ） A B c D 5一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則它的體積為（ ） A B c 20D 40 6已知 x， y 滿足條件（ k 為常數(shù)），若目標(biāo)函數(shù) z=x+3 28 的最大值為 8，則 k=（ ） A 16B 6c D 6 7定義運(yùn)算 a*b 為執(zhí)行如圖所示的程序框圖輸出的 的值為（ ） A B c 4D 6 8如圖， 在正四棱錐 S E， c， 點(diǎn) P 在線段 N 上運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列四個(gè)結(jié)論： 其中恒成立的為（ ） A B c D 9若曲線 y=與曲線 y=（ s， t）處具有公共切線，則實(shí)數(shù) a=（ ） A 2B c 1D 2 10已知 邊長(zhǎng)為的正三角形， 外接圓 o 的一條直徑，為 邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（ ） A 3B 4c 5D 6 3 / 28 11已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為 c， 0）， c，0）， A， x+c） 2+c 位于 雙曲線 ） A B c D 12若對(duì) ， n R，有 g（ +n） =g（） +g（ n） 3，求的最大值與最小值之和是（ ） A 4B 6c 8D 10 二、填空題（每題 5 分，滿分 20 分，將答案填在答題紙上） 13由直線 x=1， x=2，曲線及 14已知角的始邊是 x 軸非負(fù)半軸其終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則 15在直角坐標(biāo)系 ，點(diǎn) A（ 0， 3），直線 l： y=2x4，設(shè)圓 ，圓心在 圓 |A|=2|o|，則圓心 16數(shù)列 足，且，則 4 三、解答題（本大題共 6小題，共 70分 明過(guò)程或演算步驟 .） 17中央政府為了應(yīng)對(duì)因人口老齡化而造成的勞動(dòng)力短缺4 / 28 等問(wèn)題，擬定出臺(tái)“延遲退休年齡政策”，為了了解人們對(duì)“延遲退休年齡政策”的態(tài)度 ，責(zé)成人社部進(jìn)行調(diào)研，人社部從網(wǎng)上年齡在 15 65的人群中隨機(jī)調(diào)查 50人，調(diào)查數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖和支持“延遲退休”的人數(shù)與年齡的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表： 年齡 15， 25） 25， 35） 35， 45） 45， 55） 55， 65 支持“延遲退休”人數(shù) 5101021 （）由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填下面 2 2 列聯(lián)表，并問(wèn)是否有90%的把握認(rèn)為以 45歲為分界點(diǎn)對(duì)“延遲退休年齡政策”的支持度有差異； 45歲以下 45歲以上合計(jì) 支持 不支持 合計(jì) （）若從年齡在 45， 55）， 55， 65的被調(diào)查人中各隨機(jī)選取兩 人進(jìn)行調(diào)查，記選中的 4 人中支持“延遲退休”人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望 參考數(shù)據(jù)： P（ k） 5 / 28 18已知函數(shù) f（ x） =x（ 0）在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；如圖，四邊形 a， b， c 為 ， B， 滿足 （）證明： b+c=2a； （）若 b=c，設(shè) ，（ 0）， ，求四邊形 積的最大值 19在斜三棱柱 面 面 B=a， D 是 （ 1）求證： 面 （ 2）在側(cè)棱 確定一點(diǎn) E，使得二面角 E 20已知兩點(diǎn) A（ 2， 0）、 B（ 2， 0），動(dòng)點(diǎn) （ 1）求動(dòng)點(diǎn) 的方程； （ 2） 與 y 軸正半軸的交點(diǎn)，曲線 N，使得 以 H 為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)說(shuō)明有幾個(gè)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 21已知函數(shù) f（ x） =（ 2 a）（ x 1） 2g（ x） =x（ a R， e 為自然對(duì)數(shù)的底） （）求 f（ x）的單調(diào)區(qū)間； （）若對(duì)任意給定的 0， e，在區(qū)間（ 0， e上總6 / 28 存在兩個(gè)不同的 i=1， 2），使得 f（ =g（ 立，求 a 的取值范圍 22直角坐標(biāo)系中曲線 為參數(shù)） （ 1）求曲線 （ 2）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（ 0， 1）作直線 l 交曲線 c 于 A， B 兩點(diǎn)（ 上方），且滿足 |B|=2|A|，求直線 2017年四川省成都市高考數(shù)學(xué)二診試卷（理科） 參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題共 12個(gè)小題，每小題 5分 ，共 60分 . 1已知復(fù)數(shù) z=，則 ） A 1 1+ i 【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算；復(fù)數(shù)的基本概念 【分析】復(fù)數(shù)分子、分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)，化簡(jiǎn)為 a+a， b R）的形式，即可得到選項(xiàng) 【解答】解：復(fù)數(shù) z= 所以它的共軛復(fù)數(shù)為： 1 i 故選 A 2設(shè) 前 n 項(xiàng)和， ， 7 / 28 ） A 2B 0c 3D 6 【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求得公差 d， 再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求出答案 【解答】解：設(shè)等差數(shù)列 公差為 d， ， 2+4d=3（ 2+2d），解得 d= 2 則 a3=d=2+2（ 2） = 2 故選： A 3已知向量， =（ 3，）， R，則“ = 6”是“”的（ ） A充要條件 B充分不必要條件 c必要不充分條件 D既不充分也不必要條件 【考點(diǎn)】平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示 【分析】由 1（ 2+） 2 2=0，即可得出 【解答】解： =（ 1， 2） +（ 3，） =（ 2， 2+） 由 1（ 2+） 2 2=0， = 6 因此“ = 6”是“”的充要條件 故選： A 4設(shè)函數(shù) f（ x） =區(qū)間（ 0， 5）上隨機(jī)取一個(gè)數(shù) x，則 f（ x） 2 的概率為（ ） 8 / 28 A B c D 【考點(diǎn)】幾何概型 【分析】解不等式 f（ x） 2的解，利用幾何概型的概率公式即可得到結(jié)論 【解答】解： x（ 0， 5） 由 f（ x） 2， 得 2 解得 0 x 4， 根據(jù)幾何概型的概率公式可得若從區(qū)間 （ 0， 5）內(nèi)隨機(jī)選取一個(gè)實(shí)數(shù) x， f（ x） 2的概率為： =， 故選 D 5一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則它的體積為（ ） A B c 20D 40 【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積 【分析】幾何體是四棱錐，根據(jù)三視圖判斷相關(guān)幾何量的數(shù)據(jù)，把數(shù)據(jù)代入棱錐的體積公式計(jì)算 【解答】解：由三視圖知： 該幾何體是四棱錐，如圖： 9 / 28 其中 面 ，四邊形 D=4， 幾何體的體積 V=（ 1+4） 4 4= 故選： B 6已知 x， y 滿足條件（ k 為常數(shù)），若目標(biāo)函數(shù) z=x+3，則 k=（ ） A 16B 6c D 6 【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃 【分析】由目標(biāo)函數(shù) z=x+3，我們可以畫出滿足條件（ k 為常數(shù)）的可行域，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的解析式形式，分析取得最優(yōu)解的點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)分析列出一個(gè)含參數(shù) 參后即可得到 k 的取值 【解答】解：畫出 x， k 為常數(shù)）可行域如下圖： 由于目標(biāo)函數(shù) z=x+3y 的最大值為 8， 可得直線 y=x+3 A（ 2， 2）， 使目標(biāo)函數(shù) z=x+3 將 x=2， y=2代入 2x+y+k=0 得： k= 6 故選 B 10 / 28 7定義運(yùn)算 a*b 為執(zhí)行如圖所示的程序框圖輸出的 的值為（ ） A B c 4D 6 【考點(diǎn)】程序框圖 【分析】由已知的程序框圖可知程序的功能是：計(jì)算并輸出分段函數(shù)的值，比較 a， b 的值，即可計(jì)算得解 【解答】解：由已知的程序框圖可知本程序的功能是： 計(jì)算并輸出分段函數(shù) S=的值， a=， = a=， b=， 可得： a b， S=（） = 故選： B 8如圖，在正四棱錐 S E， c， 點(diǎn) P 在線段 N 上運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列四個(gè)結(jié)論： 11 / 28 其中恒成立的為（ ） A B c D 【考點(diǎn)】直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的判定 【分析】如圖所示， 連接 交于點(diǎn) o，連接 E， （ 1）由正四棱錐 S 得 面 而得到 得 面 已知 E， N 分別是中點(diǎn)，利用三角形的中位線可得 E N是平面 面 而得到 面 P （ 2）由異面直線的定義可知： 此不可能 （ 3）由（ 1）可知：平面 面 得 面 （ 4）由（ 1）同理可得： E平面 用反證法證明：當(dāng) P 與不 重合時(shí)， 【解答】解：如圖所示，連接 o，連接 E， 對(duì)于（ 1），由正四棱錐 S 得 面 12 / 28 BD=o， 面 E， N 分別是 E N E N=N， 平面 面 面 正確 對(duì)于（ 2），由異面直線的定義可知： 可能 此不正確； 對(duì)于（ 3），由（ 1）可知：平面 面 面 此正確 對(duì)于（ 4），由（ 1）同理可得： E平面 面 E，與 E=此當(dāng) 垂直即不正確 故選： A 9若曲線 y=與曲線 y=（ s， t）處具有公共切線，則實(shí)數(shù) a=（ ） A 2B c 1D 2 【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程 【分析】求出兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)然后求出公共點(diǎn)的斜率，利用向量相等，有公共點(diǎn)解方程即可求出 a 的值 【解答】解：曲線 y=的導(dǎo)數(shù)為 ： y =，在 P（ s， t）處的斜率為： k= 曲線 y=y =，在 P（ s， t）處的斜率為：13 / 28 k= 曲線 y=與曲線 y=它們的公共點(diǎn) P（ s， t）處具有公共切線， 可得，并且 t=， t= 即，解得 解得 s2=e 可得 a=1 故選： c 10已知 邊長(zhǎng)為的正三角形， 外接圓 o 的一條直徑，為 邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（ ） A 3B 4c 5D 6 【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算 【分析】首先，以邊 在直線為 x 軸，以其中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，然后，對(duì)點(diǎn)的取值情況分三種情形進(jìn)行討論，然后運(yùn)用數(shù)量積的坐標(biāo)表示和二次函數(shù)的最值求法，求解其最大值 【解答】解：如圖所示，以邊 以其中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系， 該正三角形 ， A（， 0）， B（， 0）， c（ 0， 3）， E（ 0， 1）， F（ 0， 3）， 14 / 28 當(dāng)點(diǎn)在邊 點(diǎn)（ 0）， 則 =（ 1）， =（ 3）， = ， 的最大值為 3， 當(dāng)點(diǎn)在邊 直線 直線 x+y 3=0， 設(shè)點(diǎn)（ 3 則 0 =（ 4）， =（ =24 0 的最大值為 0， 當(dāng)點(diǎn)在邊 直線 直線 x y+3=0， 設(shè)點(diǎn)（ 3+則 0， =（ 4）， =（ = 44 0， 的最大值為 3， 15 / 28 綜上，最大值為 3， 故選： A 11已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為 c， 0）， c，0）， A， x+c） 2+c 位于 雙曲線 ） A B c D 【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì) 【分析】連接 雙曲線的定義，可得 |2a+2c，|2c 2a，在 ，和 ，運(yùn)用余弦定理求得 得 ，即有 ，化簡(jiǎn)整理，由離心率公式計(jì)算即可得到所求值 【解答】解：連接 由雙曲線的定義，可得 | |2a， | |2a， 由 |2c， 可得 |2a+2c， |2c 2a， 在 得 ， 在 得 ， 由 得 ，即有 6 / 28 ， 可得 +=0， 化為 23， 得 23e 1=0，解得 e=（負(fù)的舍去）， 故選： c 12若對(duì) ， n R，有 g（ +n） =g（） +g（ n） 3，求的最大值與最小值之和是（ ） A 4B 6c 8D 10 【考點(diǎn)】函數(shù)的最值及其幾何意義 【分析】構(gòu)造 h（ x） =g（ x） 3，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義可判定函數(shù) h（ x）為奇函數(shù)，利用奇函數(shù)圖象的性質(zhì)即可求出答案 【解答】解： ， n R，有 g（ +n） =g（） +g（ n） 3， 令 =n=0時(shí)， g（ 0） =g（ 0） +g（ 0） 3， g（ 0） =3， 令 = g（ 0） =g（ n） +g（ n） 3， g（ x） +g（ x） =6， 令 h（ x） =g（ x） 3，則 h（ x） +h（ x） =0 即 h（ x）為奇函數(shù)， 17 / 28 奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，它的最大值與最小值互為相反數(shù)， g（ x） ax+g（ x） ， 設(shè) F（ x） =，則 F（ x） = F（ x），函數(shù)為奇函數(shù)，最大值與最小值之和為 0， 的最大值與最小值之和是 6 故選 B 二、填空題（每題 5 分，滿分 20 分，將答案填在答題紙上） 13由直線 x=1， x=2，曲線及 【考點(diǎn)】定積分在求面積中的應(yīng)用 【分析】先確定積分上限為 2，積分下限為 1，從而利用定積分表示出曲邊梯形的面積，最后用定積分的定義求出所求即可 【解答】解：曲線，直線 x=1和 x=2及 2= 故答案為： 14已知角的始邊是 x 軸非負(fù)半軸其終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則 【考點(diǎn)】任意角的三角函數(shù) 的定義 18 / 28 【分析】由題意， =， =，利用 ） = 得結(jié)論 【解答】解：由題意， =， = ） = 故答案為 15在直角坐標(biāo)系 ，點(diǎn) A（ 0， 3），直線 l： y=2x4，設(shè)圓 ，圓心在 圓 |A|=2|o|，則圓心 【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系 【分析】設(shè)（ x， y），由 A=2o，利用兩點(diǎn)間的距離公式列出關(guān)系式，整理后得到點(diǎn)的軌跡為以（ 0， 1）為圓心， 2為半徑的圓，可記為圓 D，由在圓 c 上，得到圓 c 與圓 D 相切，根據(jù)兩圓的半徑長(zhǎng)，能求出結(jié)果 【解答】解：設(shè)點(diǎn)（ x， y），由 A=2o，知： =2， 化簡(jiǎn)得： y+1） 2=4， 點(diǎn)的軌跡為以（ 0， 1）為圓心， 2 為半徑的圓，可記為圓 D， 又點(diǎn)在圓 c 上存在唯一一點(diǎn)，使 |A|=2|o|， 圓 c 與圓 |1 或 ， |，解得 a=0或 a= 19 / 28 圓心 故答案為： 16數(shù)列 足，且，則 4 【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式 【分析】先由數(shù)列的遞推公式得到 =，再用累加法求出得 + +=，根據(jù)，得到 ， 再根據(jù)基本不等式即可求出最值 【解答】解：， 1=1）， =， =， =， =， ， 累加可得 + +=， ， =2， 2=， 即 1=， 23 0， 20 / 28 4 （ +） 2 2 =2 2 =，當(dāng)且僅當(dāng) 等號(hào)， 故答案為： 三、解答題（本大題共 6小題，共 70分 明過(guò)程或演算步驟 .） 17中央政府為了應(yīng)對(duì)因人口老齡化而造成的勞動(dòng)力短缺等問(wèn)題，擬定出臺(tái)“延遲退休年齡政策”，為了了解人們對(duì)“延遲退休年齡政策”的態(tài)度，責(zé)成人社部進(jìn)行調(diào)研，人社部從網(wǎng)上年齡在 15 65的人群中隨機(jī)調(diào)查 50人，調(diào)查數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖和支持“延遲退休”的人數(shù)與年齡的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表： 年齡 15， 25） 25， 35） 35， 45） 45， 55） 55， 65 支持“延遲退休”人數(shù) 5101021 （）由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填下面 2 2 列聯(lián)表，并問(wèn)是否有90%的把握認(rèn)為以 45歲為分界點(diǎn)對(duì)“延遲退休年齡政策”的支持度有差異； 45歲以下 45歲以上合計(jì) 支持 不支持 合計(jì) （）若從年齡在 45， 55）， 55， 65的被調(diào)查人中各隨21 / 28 機(jī)選取兩人進(jìn)行調(diào)查，記選中的 4 人中支持“延遲退休”人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望 參考數(shù)據(jù)： P（ k） 【考點(diǎn)】獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用；頻率分布直方圖 【分析】（）根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù) ，可得 2 2列聯(lián)表，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，計(jì)算 可得到結(jié)論； （）的可能取值有 0， 1， 2， 3，求出相應(yīng)的概率，可得的分布列及數(shù)學(xué)期望 【解答】解：（） 2 2列聯(lián)表： 45歲以下 45歲以上合計(jì) 支持 25328 不支持 15722 合計(jì) 401050 ， 所以有 90%的把握認(rèn)為以 45歲為分界點(diǎn)對(duì)“延遲退休年齡政策”的支持度有差異； （）所有可能取值有 0， 1， 2， 3， P（ =0） =， 22 / 28 P（ =1） =+=， P（ =2） =+=， P（ =3） =， 所以 的分布列是 0123 P 所以的期望值是 0 +1 +2 +3 = 18已知函數(shù) f（ x） =x（ 0）在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；如圖，四邊形 a， b， c 為 ， B， 滿足 （）證明： b+c=2a； （）若 b=c，設(shè) ，（ 0）， ，求四邊形 積的最大值 【考點(diǎn)】?jī)山呛团c差的正弦函數(shù)；余弦定理 【分析】（）由題意知，解之可得，代入已知條件化簡(jiǎn)可得 由正弦定理可得 b+c=2a； （）由條件和（）的結(jié)論可得 等邊三角形，可得，可化簡(jiǎn)為，由的范圍可得結(jié)論 【解答】解：（）由題意知：，解得 ， 23 / 28 A+B） +A+c） =2 b+c=2a （）因?yàn)?b+c=2a， b=c，所以 a=b=c，所以 等邊三角形， = =， （ 0，）， 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取最大值， 最大值為 19在斜三棱柱 面 面 B=a， D 是 （ 1）求證： 面 （ 2）在側(cè)棱 確定一點(diǎn) E，使得二面角 E 【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的判定 【分析】（ 1）證明 有 1c，D 為 可證明： 面 24 / 28 （ 2）求出平面的法向量，利用二面角 E A 的大小為，即可得出結(jié)論 【解答】（ 1）證明：面 有 又 1c， （ 2）解：如圖所示以點(diǎn) x 軸， z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系 c 有 A（ a， 0， 0），B（ a， a， 0）， 0， 0， a）， 0， a， a）， a， 0，a）， 設(shè) E（ x， y， z），且，即有（ x a， y a， z） =（ a，0， a）， 所以 E 點(diǎn)坐標(biāo)為（ 1） a， a， a） 由條件易得面 設(shè)平面 由可得， 令 y=1，則有， 則 =，得 所以，當(dāng)時(shí)，二面角 E A 的大小為 20已知兩點(diǎn) A（ 2， 0）、 B（ 2， 0），動(dòng)點(diǎn) 25 / 28 （ 1）求動(dòng)點(diǎn) 的方程； （ 2） 與 y 軸正半軸的交點(diǎn)，曲線 N，使得 以 H 為直角頂點(diǎn)的等腰直角 三角形？若存在，請(qǐng)說(shuō)明有幾個(gè)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題；軌跡方程 【分析】（ 1）設(shè)點(diǎn) x， y）（ y 0），求 用，化簡(jiǎn)可得動(dòng)點(diǎn) 的方程； （ 2）設(shè)能構(gòu)成等腰直角三角形 中 H 為（ 0， 1），由題意可知，直角邊 H， 可設(shè)H 所在直線的方程為 y=，（不妨設(shè) k 0）則 定交點(diǎn)、 N 的坐標(biāo)，求出 H 的長(zhǎng)，利用|H|=|即可求得結(jié)論 【解答】解：（ 1）設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（ x， y）（ y 0），則， ，化簡(jiǎn)得， 動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡 E 的方程為（ y 0）注：如果未說(shuō)明 y 0，扣 （ 2）設(shè)能構(gòu)成等腰直角三角形 中 0， 1）， 由題意可知，直角邊 H， x 軸，故可設(shè) y=，（不妨設(shè) k 0） 則 求得交點(diǎn)，（另一交點(diǎn) H（ 0，1） ， 26 / 28 用代替上式中的 k，得， 由 |H|=|得 k（ 4+=1+4 4k 1=0（ k 1）（ 3k+1） =0， 解 得： k=1或， 當(dāng) k=1時(shí)， 1；當(dāng) 率；當(dāng)H 斜率時(shí)， 綜上述，符合條件的三角形有 3 個(gè) 21已知函數(shù) f（ x） =（ 2 a）（ x 1） 2g（ x） =x（ a R， e 為自然對(duì)數(shù)的底） （）求 f（ x）的單調(diào)區(qū)間； （）若對(duì)任意給定的 0， e，在區(qū)間（ 0， e上總存在兩個(gè)不同的 i=1， 2），使得 f