本科畢業(yè)論文（設(shè)計）1摘要極坐標法是一種重要的解題方法，雖然高中數(shù)學(xué)教材已經(jīng)刪去極坐標的內(nèi)容，但這一思想和方法對解決平面幾何問題和高等數(shù)學(xué)問題都有很重要的作用，有必要加以深入研究。本文首先對極坐標的基礎(chǔ)知識進行闡述，給出了極坐標的相關(guān)概念，以及求曲線方程的方法與步驟，并求出了三種圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標方程，然后討論了極坐標在平面解析幾何中的應(yīng)用，最后探討了極坐標在解決高等數(shù)學(xué)問題的應(yīng)用。通過對極坐標在數(shù)學(xué)各方面的應(yīng)用的探討，我們能夠發(fā)現(xiàn)極坐標有很大的優(yōu)越性。通過探討研究，使我們對極坐標這一思想和方法有更深的了解，并使學(xué)生對高中平面解析幾何內(nèi)容有完整的把握，有更深層次的掌握。同時，這種對知識的深入掌握可以使教育者更好的完成對其的教學(xué)任務(wù)。關(guān)鍵詞：極坐標；應(yīng)用；優(yōu)越性本科畢業(yè)論文（設(shè)計）2AbstractThemethodofusingthepolarcoordinatesisanusuallyusedmethod.Althoughthecontentofthemethodhasbeendeletedintheprocessofeditingthemathematicaltextbookformiddleschoolstudents,thismethodisveryimportanttosolvetheproblemofplanegeometryandadvancedmathematics.Itisnecessarytostudythismethodfurther.Firstthispaperillustratesthebasicknowledgeofpolarcoordinates.Thewritergivestherelativeconceptsofpolarcoordinatesandthemethodandstepsofsolvingcurveequation,andworkoutthepolarcoordinatesequationofthreetapercurves.Seconditdiscussestheapplicationofthemethodinplaneanalyticgeometry.Andthenitprobesintotheapplicationofthemethodinsolvingtheadvancedmathematicalproblem.Byexploringtheapplicationofpolarcoordinatesinmanymathematicalaspects,wemaynoticetheadvantagesofpolarcoordinatesanditscertainapplicablerange.Bystudying,itmakesusunderstandtheconceptsandthethinkingfurther.Italsomakesthestudentsgraspthecontentofplaneanalyticgeometrywhollyanddeeperinmiddleschool.Also,thedeepunderstandingoftheknowledgemakestheteacherfinishtheeducationaltasksbetter.Keywords:polarcoordinates；application；advantages本科畢業(yè)論文（設(shè)計）3前言第一個用極坐標來確定平面上點的位置的是牛頓。他的流數(shù)法與無窮級數(shù)，大約于1671年寫成，出版于1736年。此書包括解析幾何的許多應(yīng)用，例如按方程描出曲線，書中創(chuàng)見之一，是引進新的坐標系。瑞士數(shù)學(xué)家J.貝努力利于1691年在教師學(xué)報上發(fā)表了一篇基本上是關(guān)于極坐標的文章，所以通常認為J.貝努利是極坐標的發(fā)現(xiàn)者。J.貝努利的學(xué)生J.赫爾曼在1729年不僅正式宣布了極坐標的普遍可用，而且自由地應(yīng)用極坐標去研究曲線。在平面內(nèi)建立直角坐標系，是人們公認的最容易接受并且被經(jīng)常采用的方法，但它并不是確定點的位置的唯一方法。有些復(fù)雜的曲線用直角坐標表示，形式極其復(fù)雜，但用極坐標表示，就變得十分簡單且便于處理，在此基礎(chǔ)上解決平面解析幾何問題也變的極其簡單。通過探究極坐標在平面解析幾何中的廣泛應(yīng)用，使我們能夠清楚的認識到，用極坐標來解決某些平面解析幾何問題和某些高等數(shù)學(xué)問題比用直角坐標具有很大的優(yōu)越性，故本文對其進行了初步探討。國內(nèi)外研究動態(tài)，不僅在數(shù)學(xué)理論方面，很多學(xué)者對極坐標以及極坐標方程做了深入探究，而且在如物理、電子、軍事等領(lǐng)域，很多學(xué)者對極坐標也有較深的研究。由此看來，極坐標已應(yīng)用到各個領(lǐng)域。本科畢業(yè)論文（設(shè)計）4第一章預(yù)備知識1.1極坐標系的建立在平面內(nèi)取一個定點O，叫作極點，引一條射線OX，叫做極軸，再選定一個長度單位和角度的正方向(通常取逆時針方向)。對于平面內(nèi)任意一點M，用表示線段OM的長度，表示從OX到OM的角度，叫點M的極徑，叫點M的極角，有序數(shù)對，就叫點M的極坐標。這樣建立的坐標系叫極坐標系，記作M，若點M在極點，則其極坐標為=0，可以取任意值。xOPMxPOM圖1-1圖1-2如圖1-2，此時點M的極坐標可以有兩種表示方法：(1)0，M，(2)0，M，同理，與，也是同一個點的坐標。又由于一個角加2nnZ后都是和原角終邊相同的角，所以一個點的極坐標不唯一。但若限定0，02或，那么除極點外，平面內(nèi)的點和極坐標就可以一一對應(yīng)了。1.2曲線的極坐標方程在極坐標系中，曲線可以用含有，這兩個變數(shù)的方程0，來表示，這種方程叫曲線的極坐標方程。求曲線的極坐標方程的方法與步驟：1建立適當(dāng)?shù)臉O坐標系，并設(shè)動點M的坐標為，；2寫出適合條件的點M的集合；本科畢業(yè)論文（設(shè)計）530列方程，；4化簡所得方程；5證明得到的方程就是所求曲線的方程。三種圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標方程：yxPBFOKAM圖1-3過點F作準線L的垂線，垂足為K，以焦點F為極點，F(xiàn)K的反向延長線FX為極軸，建立極坐標系。設(shè)M，是曲線上任意一點，連結(jié)MF，作MAL，MBFX，垂足分別為AB，那么曲線就是集合MFpMeMA.設(shè)焦點F到準線L的距離FKPMF，由，MABKPCOS得cosep即1cosepe這就是橢圓、雙曲線、拋物線的統(tǒng)一的極坐標方程。其中當(dāng)01e時，方程表示橢圓，定點F是它的左焦點，定直線L是它的左準線。1e時，方程表示開口向右的拋物線。1e時，方程只表示雙曲線右支，定點F是它的右焦點，定直線L是它的右準線。若允許0，方程就表示整個雙曲線。1.3極坐標和直角坐標的互化把直角坐標系的原點作為極點，X軸的正半軸作為極軸，并在兩種坐標系中取相同的長度單位，設(shè)M是平面內(nèi)任意一點，其直角坐標x，y，極坐標是，從點M作MNOX，由三角函數(shù)定義，得cossinxy，.本科畢業(yè)論文（設(shè)計）6yxyxNOM圖1-4進一步有222,0yxytgxx注：在一般情況下，由tg確定角時，可根據(jù)點M所在的象限取最小角。本科畢業(yè)論文（設(shè)計）7第二章極坐標在平面解析幾何中的應(yīng)用2.1極坐標法求到定點的線段長度解析幾何中涉及到某定點的線段長度時，可以考慮利用極坐標法求解。但是絕大多數(shù)解析幾何問題中題設(shè)條件是以直角坐標方程形式給出的，在求解過程中運算繁瑣復(fù)雜，將此類問題轉(zhuǎn)化為用極坐標方程求解，十分簡潔，收到良好的效果。巧設(shè)極點，建立極坐標系是解決問題的關(guān)鍵。2.1.1以定點為極點如果題設(shè)條件與結(jié)論中，涉及到過某定點M的線段長度問題，應(yīng)該取該點為極點，先將直角坐標原點移動到M點，施行平移公式、直角坐標與極坐標互化公式，化普通方程為極坐標方程求解。例1設(shè)等腰OAB的頂角為2，高為h，在OAB內(nèi)有一動點p，到三邊OAOB、OC的距離分別為PDPFPE、，并且滿足關(guān)系2PDPFPE，求P點的軌跡。xFEDPBAO圖2-1解:如圖2-1所示,以O(shè)為極點,AOB的平分線為極軸,建立極坐標系，設(shè)P點極坐標為p，,則sin,sin,PDPFcosPEh由2PDPFPE得22sinsincosh化簡得22222cos0coscoshh本科畢業(yè)論文（設(shè)計）8化成直角坐標方程為22222sincoscoshhxy這是以2cosh，0為圓心，以2sincosh為半徑的圓，所求的軌跡是該圓在等腰OAB內(nèi)部的部分。2.1.2以原點為極點如果題設(shè)條件或結(jié)論中涉及到直角坐標系原點的線段長度時，應(yīng)選取原點為極點，應(yīng)用互化公式，將直角坐標方程轉(zhuǎn)化極坐標方程求解。例2已知橢圓2212416xy，直線L:1128xy，P是L上一點，射線OP交橢圓于R，又點Q在OP上，且滿足2OQOPOR，當(dāng)點P在L上移動時，求點Q的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線。解:如圖2-2所示，以O(shè)為極點，OX為極軸，建立極坐標系。則由互化公式知橢圓的極坐標方程為2222cos3sin48(1)直線L的極坐標方程為2cos3sin24(2)12QRP設(shè)，、，、，則由(1)式知2122482cos3sin由(2)式知2242cos3sin又221,有22244802cos3sin2cos3sin22222cos3sin4cos6sin所以2223440xyxy本科畢業(yè)論文（設(shè)計）9即22111,05523xyxy不同時為點Q的軌跡是以1，1為中心，長軸、短軸分別為25103，且長軸平行與X軸的橢圓，去掉坐標原點。OPRQLyx圖2-22.1.3以焦點為極