1,第八章 重積分,8.4 重積分的應(yīng)用,8.4.5 三重積分習(xí)題課,基本方法：化三重積分為三次積分計(jì)算。,關(guān)鍵步驟：,(1)坐標(biāo)系的選取,(2)積分順序的選定（直角）,(3)定出積分限,2,要結(jié)合被積函數(shù)、積分區(qū)域兩方面的因素綜合考慮才能找到好的方案。,對(duì)積分區(qū)域要有一定的空間想象力，最好能畫出的圖形。如 的圖不好畫，也要畫出在某坐標(biāo)面上的投影區(qū)域的圖形。,3,1、利用直角坐標(biāo)系計(jì)算三重積分。,(1)“投影法”又叫“先單后重法”,設(shè)往xoy平面上的投影區(qū)域?yàn)镈xy，過Dxy內(nèi)任一點(diǎn)而穿過內(nèi)部的平行于軸的直線與的邊界曲面至多兩個(gè)交點(diǎn)，則,適用性較廣，要有一定的空間想象力。,對(duì)z積分后的結(jié)果F(x,y)作為被積函數(shù)在Dxy上作對(duì)x、y的二重積分。,4,這時(shí)再依被積函數(shù)和積分區(qū)域的特點(diǎn)選定積分順序。,“先單”的“單”選哪一個(gè)變量？, 往另兩個(gè)坐標(biāo)面上投影的情況與此類似。,依被積函數(shù)f (x,y,z)及積分區(qū)域共同確定。,5,設(shè)夾在平面z = c1和z = c2之間，豎坐標(biāo)為z的平面(c1 z c2)截所得截面記為Dz，則有,通常選用此法時(shí)應(yīng)滿足：,Dz較簡(jiǎn)單：圓、橢圓、矩形、三角形等，容易算得其面積；,(2)“截面法”又稱“先重后單法”、“切片法”。,6,2、柱面坐標(biāo)系下計(jì)算三重積分,計(jì)算可分“兩步走”，化為三次積分則應(yīng)一次完成。,7,3、球面坐標(biāo)系下計(jì)算三重積分。,有的三重積分可能有多種選擇：不同的坐標(biāo)系、不同的順序積等。總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，選取簡(jiǎn)單的方法。,8,4、三重積分中的對(duì)稱性的應(yīng)用。, 1是 的z0的部分,(1)設(shè)關(guān)于平面xoy對(duì)稱。,9,(2)設(shè)關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱， 1是的z0 (或x 0，或y 0) 的部分，則,10,(3)若關(guān)于變量x,y,z具有輪換對(duì)稱性，,即若(a,b,c),則(b,c,a),(c,a,b)則有,11,使用對(duì)稱性時(shí)應(yīng)注意：,1、積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)面的對(duì)稱性；,2、被積函數(shù)在積分區(qū)域上的關(guān)于三個(gè)自變量的奇偶性。,被積函數(shù)f(x,y,z)是關(guān)于z的奇函數(shù)，則三重積分為零.,若被積函數(shù)f(x,y,z)是關(guān)于z的偶函數(shù)，則三重積分為在xoy平面上方的半個(gè)閉區(qū)域的三重積分的兩倍.,例如：當(dāng)積分區(qū)域關(guān)于平面xoy對(duì)稱。,12,解,13,（利用球面坐標(biāo)）,14,15,16,17,18,19,20,21,解,22,例8 證明曲面z =x2+y2+1上任一點(diǎn)的切平面與曲面z =x2+y2所圍立體的體積為定值。,證明 設(shè)M0(x0,y0,z0)是曲面z =x2+y2+1上任意取 定的一點(diǎn)，,整理得,該曲面在M0點(diǎn)的法向量可取,切平面與曲面z =x2+y2的交線在xoy平面上的投影曲線方程為,切平面方程：,23,例8 證明曲面z =x