5.3平面向量的數(shù)量積最新考綱考情考向分析1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義2.了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系3.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算4.能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.主要考查利用數(shù)量積的定義解決數(shù)量積的運(yùn)算、射影、求模與夾角等問題，考查利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示求兩個(gè)向量的夾角、模以及判斷兩個(gè)平面向量的平行與垂直關(guān)系一般以選擇題、填空題的形式考查，偶爾會(huì)在解答題中出現(xiàn)，屬于中檔題.1向量的夾角已知兩個(gè)非零向量a和b，作a，b，則AOB就是向量a與b的夾角，向量夾角的范圍是0，2平面向量的數(shù)量積定義設(shè)兩個(gè)非零向量a，b的夾角為，則|a|b|cos 叫作a與b的數(shù)量積，記作ab射影|a|cos 叫作向量a在b方向上的射影，|b|cos 叫作向量b在a方向上的射影幾何意義ab的數(shù)量積等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的射影|b|cos 的乘積3.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a，b都是非零向量，e是單位向量，為a與b(或e)的夾角則(1)eaae|a|cos .(2)abab0.(3)當(dāng)a與b同向時(shí)，ab|a|b|；當(dāng)a與b反向時(shí)，ab|a|b|.特別地，aa|a|2或|a|.(4)cos .(5)|ab|a|b|.4平面向量數(shù)量積滿足的運(yùn)算律(1)abba；(2)(a)b(ab)a(b)(為實(shí)數(shù))；(3)(ab)cacbc.5平面向量數(shù)量積有關(guān)性質(zhì)的坐標(biāo)表示設(shè)向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，則abx1x2y1y2，由此得到(1)若a(x，y)，則|a|2x2y2或|a|.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A，B兩點(diǎn)間的距離|AB|.(3)設(shè)兩個(gè)非零向量a，b，a(x1，y1)，b(x2，y2)，則abx1x2y1y20.(4)若a，b都是非零向量，是a與b的夾角，則cos .知識(shí)拓展1兩個(gè)向量a，b的夾角為銳角ab0且a，b不共線；兩個(gè)向量a，b的夾角為鈍角ab0，則a和b的夾角為銳角；若ab0，則a和b的夾角為鈍角()題組二教材改編2已知向量a(2,1)，b(1，k)，a(2ab)0，則k_.答案12解析2ab(4,2)(1，k)(5,2k)，由a(2ab)0，得(2,1)(5,2k)0，102k0，解得k12.3已知|a|5，|b|4，a與b的夾角120，則向量b在向量a方向上的射影為_答案2解析由數(shù)量積的定義知，b在a方向上的射影為|b|cos 4cos 1202.題組三易錯(cuò)自糾4設(shè)向量a(1,2)，b(m,1)，如果向量a2b與2ab平行，那么a與b的數(shù)量積為_答案解析a2b(12m,4)，2ab(2m,3)，由題意得3(12m)4(2m)0，則m，所以ab121.5已知點(diǎn)A(1,1)，B(1,2)，C(2，1)，D(3,4)，則向量在方向上的射影為_答案解析(2,1)，(5,5)，由定義知，在方向上的射影為.6已知ABC的三邊長(zhǎng)均為1，且c，a，b，則abbcac_.答案解析a，bb，ca，c120，|a|b|c|1，abbcac11cos 120，abbcac.題型一平面向量數(shù)量積的運(yùn)算1設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形，|6，|4，若點(diǎn)M，N滿足3，2，則等于()A20 B. 15 C9 D6答案C解析，(43)(43)(16292)(1662942)9，故選C.2(2018屆“超級(jí)全能生”全國聯(lián)考)在ABC中，AB4，BC6，ABC，D是AC的中點(diǎn)，E在BC上，且AEBD，則等于()A16 B12C8 D4答案A解析以B為原點(diǎn)，BA，BC所在直線分別為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系(圖略)，A(4,0)，B(0,0)，C(0,6)，D(2,3)，設(shè)E(0，t)，(2,3)(4，t)83t0，t，即E，(0,6)16.故選A.思維升華 平面向量數(shù)量積的三種運(yùn)算方法(1)當(dāng)已知向量的模和夾角時(shí)，可利用定義法求解，即ab|a|b|cosa，b(2)當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時(shí)，可利用坐標(biāo)法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則abx1x2y1y2.(3)利用數(shù)量積的幾何意義求解題型二平面向量數(shù)量積的應(yīng)用命題點(diǎn)1求向量的模典例 (1)(2018屆廣州海珠區(qū)綜合測(cè)試)已知向量a，b的夾角為60，|a|2，|a2b|2，則|b|等于()A4 B2 C. D1答案D解析由|a2b|2，得(a2b)2|a|24ab4|b|24，即|a|24|a|b|cos 604|b|24，則|b|2|b|0，解得|b|0(舍去)或|b|1，故選D.(2)(2017衡水調(diào)研)已知在直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P是腰DC上的動(dòng)點(diǎn)，則|3|的最小值為_答案5解析建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，則A(2,0)，設(shè)P(0，y)，C(0，b)，則B(1，b)，則3(2，y)3(1，by)(5,3b4y)所以|3|(0yb)當(dāng)yb時(shí)，|3|min5.命題點(diǎn)2求向量的夾角典例 (1)(2017山西四校聯(lián)考)已知向量a，b滿足(2ab)(ab)6，且|a|2，|b|1，則a與b的夾角為_答案解析(2ab)(ab)6，2a2abb26，又|a|2，|b|1，ab1，cosa，b，又a，b0，a與b的夾角為.(2)(2018屆吉林百校聯(lián)盟聯(lián)考)已知單位向量e1與e2的夾角為，向量e12e2與2e1e2的夾角為，則等于()A B3C或3 D1答案B解析依題意可得|e12e2|，同理，|2e1e2|，而(e12e2)(2e1e2)4，又向量e12e2與2e1e2的夾角為，可知，由此解得或3，又40，3.思維升華 (1)求解平面向量模的方法寫出有關(guān)向量的坐標(biāo)，利用公式|a|即可當(dāng)利用向量的線性運(yùn)算和向量的數(shù)量積公式進(jìn)行求解，|a|.(2)求平面向量的夾角的方法定義法：cos ，注意的取值范圍為0，坐標(biāo)法：若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則cos .解三角形法：可以把所求兩向量的夾角放到三角形中進(jìn)行求解跟蹤訓(xùn)練 (1)(2017全國)已知向量a，b的夾角為60，|a|2，|b|1，則|a2b|_.答案2解析方法一|a2b|2.方法二(數(shù)形結(jié)合法)由|a|2b|2知，以a與2b為鄰邊可作出邊長(zhǎng)為2的菱形OACB，如圖，則|a2b|.又AOB60，所以|a2b|2.(2)(2017山東)已知e1，e2是互相垂直的單位向量，若e1e2與e1e2的夾角為60，則實(shí)數(shù)的值是_答案解析由題意知|e1|e2|1，e1e20，|e1e2|2.同理|e1e2|.所以cos 60，解得.題型三平面向量與三角函數(shù)典例 (2017廣州海珠區(qū)摸底)在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，向量m(cos(AB)，sin(AB)，n(cos B，sin B)，且mn.(1)求sin A的值；(2)若a4，b5，求角B的大小及向量在方向上的射影解(1)由mn，得cos(AB)cos Bsin(AB)sin B，所以cos A.因?yàn)?Ab，所以AB，則B，由余弦定理得(4)252c225c，解得c1.故向量在方向上的射影為|cos Bccos B1.思維升華 平面向量與三角函數(shù)的綜合問題的解題思路(1)題目條件給出向量的坐標(biāo)中含有三角函數(shù)的形式，運(yùn)用向量共線或垂直或等式成立等，得到三角函數(shù)的關(guān)系式，然后求解(2)給出用三角函數(shù)表示的向量坐標(biāo)，要求的是向量的?；蛘咂渌蛄康谋磉_(dá)形式，解題思路是經(jīng)過向量的運(yùn)算，利用三角函數(shù)在定義域內(nèi)的有界性，求得值域等跟蹤訓(xùn)練 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量m，n(sin x，cos x)，x.(1)若mn，求tan x的值；(2)若m與n的夾角為，求x的值解(1)因?yàn)閙，n(sin x，cos x)，mn.所以mn0，即sin xcos x0，所以sin xcos x，所以tan x1.(2)因?yàn)閨m|n|1，所以mncos，即sin xcos x，所以sin，因?yàn)?x，所以x，所以x，即x.利用數(shù)量積求向量夾角典例 已知直線y2x上一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為a，直線外有兩個(gè)點(diǎn)A(1,1)，B(3,3)求使向量與夾角為鈍角的充要條件錯(cuò)解展示現(xiàn)場(chǎng)糾錯(cuò)解錯(cuò)解中，cos 0包含了，即，反向的情況，此時(shí)a1，故，夾角為鈍角的充要條件是0a|b|答案A解析方法一|ab|ab|，|ab|2|ab|2.a2b22aba2b22ab.ab0.ab.故選A.方法二利用向量加法的平行四邊形法則在ABCD中，設(shè)a，b，由|ab|ab|知，|，從而四邊形ABCD為矩形，即ABAD，故ab.故選A.2(2018屆河北武邑中學(xué)調(diào)研)已知向量a(2,1)，b(1,3)，則向量2ab與a的夾角為()A135 B60C45 D30答案C解析由題意可得2ab2(2,1)(1,3)(3，1)，則|2ab|，|a|，且(2ab)a(3，1)(2,1)615，設(shè)所求向量的夾角為，由題意可得cos ，則向量2ab與a的夾角為45.3(2017豫南九校聯(lián)考)已知向量a(m,2)，b(2，1)，且ab，則等于()A B1 C2 D.答案B解析ab，2m20，m1，則2ab(0,5)，ab(3,1)，a(ab)13215，|2ab|5，1，故選B.4(2018樂山質(zhì)檢)在ABC中，AB3，AC2，BC，則等于()A B C. D.答案D解析在ABC中，cosBAC，|cosBAC32.5(2017沈陽質(zhì)檢)在ABC中，|，AB2，AC1，E，F(xiàn)為BC的三等分點(diǎn)，則等于()A. B. C. D.答案B解析由|，化簡(jiǎn)得0，又因?yàn)锳B和AC為三角形的兩條邊，它們的長(zhǎng)不可能為0，所以AB與AC垂直，所以ABC為直角三角形以A為原點(diǎn)，以AC所在直線為x軸，以AB所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則A(0,0)，B(0,2)，C(1,0)不妨令E為BC的靠近C的三等分點(diǎn)，則E，F(xiàn)，所以，所以.6(2017駐馬店質(zhì)檢)若O為ABC所在平面內(nèi)任一點(diǎn)，且滿足()(2)0，則ABC的形狀為()A正三角形 B直角三角形C等腰三角形 D等腰直角三角形答案C解析因?yàn)?)(2)0，即()0，因?yàn)?，所?)()0，即|，所以ABC是等腰三角形，故選C.7(2017全國)已知向量a(1,2)，b(m,1)若向量ab與a垂直，則m_.答案7解析a(1,2)，b(m,1)，ab(1m,21)(m1,3)又ab與a垂直，(ab)a0，即(m1)(1)320，解得m7.8(2018銀川質(zhì)檢)已知向量a，b的夾角為，|a|，|b|2，則a(a2b)_.答案6解析a(a2b)a22ab2226.9(2018屆長(zhǎng)春普通高中一模)已知平面內(nèi)三個(gè)不共線向量a，b，c兩兩夾角相等，且|a|b|1，|c|3，則|abc|_.答案2解析因?yàn)槠矫鎯?nèi)三個(gè)不共線向量a，b，c兩兩夾角相等，所以由題意可知，a，b，c的夾角為120，又|a|b|1，|c|3，所以ab，acbc，|abc| 2.10(2017巢湖質(zhì)檢)已知a(，2)，b(3，2)，如果a與b的夾角為銳角，則的取值范圍是_答案解析a與b的夾角為銳角，則ab0且a與b不共線，則解得或0，所以的取值范圍是.11(2018貴陽質(zhì)檢)已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61.(1)求a與b的夾角；(2)求|ab|；(3)若a，b，求ABC的面積解(1)因?yàn)?2a3b)(2ab)61，所以4|a|24ab3|b|261.又|a|4，|b|3，所以644ab2761，所以ab6，所以cos .又0，所以.(2)|ab|2(ab)2|a|22ab|b|2422(6)3213，所以|ab|.(3)因?yàn)榕c的夾角，所以ABC.又|a|4，|b|3，所以SABC|sinABC433.12(2017江蘇)已知向量a(cos x，sin x)，b(3，)，x0，(1)若ab，求x的值；(2)記f(x)ab，求f(x)的最大值和最小值以及對(duì)應(yīng)的x的值解(1)因?yàn)閍(cos x，sin x)，b(3，)，ab，所以cos x3sin x.若cos x0，則sin x0，與sin2xcos2x1矛盾，故cos x0.于是tan x.又x0，所以x.(2)f(x)ab(cos x，sin x)(3，)3cos xsin x2cos.因?yàn)閤0，所以x，從而1cos，于是，當(dāng)x，即x0時(shí)，f(x)取得最大值3；當(dāng)x，即x時(shí)，f(x)取得最小值2.13已知ABC的外接圓的圓心為O，半徑為2，且0，則向量在向量方向上的射影為()A3 B. C3 D答案B解析ABC的外接圓的圓心為O，半徑為2，且0，四邊形OBAC為平行四邊形ABC的外接圓的圓心為O，半徑為2，|，四邊形OBAC是邊長(zhǎng)為2的菱形，且ABOACO60，因此，ACBACO30，向量在方向上的射影為|cosACB2cos 30，故選B.14(2017廣東七校聯(lián)考)在等腰直角ABC中，ABC90，ABBC2，M，N為AC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(M，N不與A，C重合)，且滿足|，則的取值范圍為_答案解析不妨設(shè)點(diǎn)M靠近點(diǎn)A，點(diǎn)N靠近點(diǎn)C，以等腰直角三角形ABC的直角邊所在直線為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則B(0,0)，A(0,2)，C(2,0)，線段AC的方程為xy20(0x2)設(shè)M(a,2a)，N(a1,1a)(由題意可知0a1)，(a,2a)，(a1,1a)，a(a1)(2a)(1a)2a22a222，0a1，由二次函數(shù)的知識(shí)可得.15(2018屆河北武邑中學(xué)調(diào)研)設(shè)a，b為單位向量，且ab，若向量c滿足|c(ab)|ab|，則|c|的最大值是()A2 B2 C.