第2課時(shí)直線(xiàn)與橢圓題型一直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系1若直線(xiàn)ykx1與橢圓1總有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是()Am1 Bm0C0m5且m1 Dm1且m5答案D解析方法一由于直線(xiàn)ykx1恒過(guò)點(diǎn)(0,1)，所以點(diǎn)(0,1)必在橢圓內(nèi)或橢圓上，則00且m5，m1且m5.2已知直線(xiàn)l：y2xm，橢圓C：1.試問(wèn)當(dāng)m取何值時(shí)，直線(xiàn)l與橢圓C：(1)有兩個(gè)不重合的公共點(diǎn)；(2)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；(3)沒(méi)有公共點(diǎn)解將直線(xiàn)l的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，得方程組將代入，整理得9x28mx2m240.方程根的判別式(8m)249(2m24)8m2144.(1)當(dāng)0，即3m3時(shí)，方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，可知原方程組有兩組不同的實(shí)數(shù)解這時(shí)直線(xiàn)l與橢圓C有兩個(gè)不重合的公共點(diǎn)(2)當(dāng)0，即m3時(shí)，方程有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，可知原方程組有兩組相同的實(shí)數(shù)解這時(shí)直線(xiàn)l與橢圓C有兩個(gè)互相重合的公共點(diǎn)，即直線(xiàn)l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)(3)當(dāng)0，即m3時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，可知原方程組沒(méi)有實(shí)數(shù)解這時(shí)直線(xiàn)l與橢圓C沒(méi)有公共點(diǎn)思維升華 研究直線(xiàn)與橢圓位置關(guān)系的方法(1)研究直線(xiàn)和橢圓的位置關(guān)系，一般轉(zhuǎn)化為研究其直線(xiàn)方程與橢圓方程組成的方程組解的個(gè)數(shù)(2)對(duì)于過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)，也可以通過(guò)定點(diǎn)在橢圓內(nèi)部或橢圓上判定直線(xiàn)和橢圓有交點(diǎn)題型二弦長(zhǎng)及弦中點(diǎn)問(wèn)題命題點(diǎn)1弦長(zhǎng)問(wèn)題典例 斜率為1的直線(xiàn)l與橢圓y21相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|的最大值為()A2 B. C. D.答案C解析設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，直線(xiàn)l的方程為yxt，由消去y，得5x28tx4(t21)0，則x1x2t，x1x2.|AB|x1x2|，當(dāng)t0時(shí)，|AB|max.命題點(diǎn)2弦中點(diǎn)問(wèn)題典例 已知橢圓E：1(ab0)的右焦點(diǎn)為F(3,0)，過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)交橢圓E于A，B兩點(diǎn)若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)，則E的方程為()A.1 B.1C.1 D.1答案D解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以運(yùn)用點(diǎn)差法，所以直線(xiàn)AB的斜率為k，設(shè)直線(xiàn)方程為y(x3)，聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓的方程得(a2b2)x26b2x9b2a40，所以x1x22，又因?yàn)閍2b29，解得b29，a218.命題點(diǎn)3橢圓與向量等知識(shí)的綜合典例 (2017沈陽(yáng)質(zhì)檢)已知橢圓C：1(ab0)，e，其中F是橢圓的右焦點(diǎn)，焦距為2，直線(xiàn)l與橢圓C交于點(diǎn)A，B，線(xiàn)段AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，且(其中1)(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求實(shí)數(shù)的值解(1)由橢圓的焦距為2，知c1，又e，a2，故b2a2c23，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)由，可知A，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線(xiàn)，設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，點(diǎn)B(x2，y2)若直線(xiàn)ABx軸，則x1x21，不符合題意；當(dāng)AB所在直線(xiàn)l的斜率k存在時(shí)，設(shè)l的方程為yk(x1)由消去y得(34k2)x28k2x4k2120.的判別式64k44(4k23)(4k212)144(k21)0.x1x22，k2.將k2代入方程，得4x22x110，解得x.又(1x1，y1)，(x21，y2)，即1x1(x21)，又1，.思維升華 (1)解決直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問(wèn)題，其常規(guī)思路是先把直線(xiàn)方程與橢圓方程聯(lián)立，應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系，解決相關(guān)問(wèn)題涉及弦中點(diǎn)的問(wèn)題時(shí)用“點(diǎn)差法”解決，往往會(huì)更簡(jiǎn)單(2)設(shè)直線(xiàn)與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB| (k為直線(xiàn)斜率)(3)利用公式計(jì)算直線(xiàn)被橢圓截得的弦長(zhǎng)是在方程有解的情況下進(jìn)行的，不要忽略判別式跟蹤訓(xùn)練 (2018長(zhǎng)春調(diào)研)已知橢圓1(ab0)的一個(gè)頂點(diǎn)為B(0，4)，離心率e，直線(xiàn)l交橢圓于M，N兩點(diǎn)(1)若直線(xiàn)l的方程為yx4，求弦MN的長(zhǎng)；(2)如果BMN的重心恰好為橢圓的右焦點(diǎn)F，求直線(xiàn)l方程的一般式解(1)由已知得b4，且，即，解得a220，橢圓方程為1.將4x25y280與yx4聯(lián)立，消去y得9x240x0，x10，x2，所求弦長(zhǎng)|MN|x2x1|.(2)橢圓右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2,0)，設(shè)線(xiàn)段MN的中點(diǎn)為Q(x0，y0)，由三角形重心的性質(zhì)知2，又B(0,4)，(2，4)2(x02，y0)，即故得x03，y02，即Q的坐標(biāo)為(3，2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1x26，y1y24，且1，1，以上兩式相減得0，kMN，故直線(xiàn)MN的方程為y2(x3)，即6x5y280.高考中求橢圓的離心率問(wèn)題考點(diǎn)分析 離心率是橢圓的重要性質(zhì)，是高考重點(diǎn)考查的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，這類(lèi)問(wèn)題一般有兩類(lèi)：一類(lèi)是根據(jù)一定的條件求橢圓的離心率；另一類(lèi)是根據(jù)一定的條件求離心率的取值范圍，無(wú)論是哪類(lèi)問(wèn)題，其難點(diǎn)都是建立關(guān)于a，b，c的關(guān)系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表示，轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的關(guān)系式，這是化解有關(guān)橢圓的離心率問(wèn)題難點(diǎn)的根本方法典例1 已知橢圓E：1(ab0)的右焦點(diǎn)為F，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為M，直線(xiàn)l：3x4y0交橢圓E于A，B兩點(diǎn)若|AF|BF|4，點(diǎn)M到直線(xiàn)l的距離不小于，則橢圓E的離心率的取值范圍是()A. B.C. D.解析設(shè)左焦點(diǎn)為F0，連接F0A，F(xiàn)0B，則四邊形AFBF0為平行四邊形|AF|BF|4，|AF|AF0|4，a2.設(shè)M(0，b)，則M到直線(xiàn)l的距離d，1b2.離心率e，故選A.答案A典例2 (12分)如圖，設(shè)橢圓方程為y21(a1)(1)求直線(xiàn)ykx1被橢圓截得的線(xiàn)段長(zhǎng)(用a，k表示)；(2)若任意以點(diǎn)A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個(gè)公共點(diǎn)，求橢圓離心率的取值范圍規(guī)范解答解(1)設(shè)直線(xiàn)ykx1被橢圓截得的線(xiàn)段為AM，由得(1a2k2)x22a2kx0，2分故x10，x2，因此|AM|x1x2|.4分(2)假設(shè)圓與橢圓的公共點(diǎn)有4個(gè)，由對(duì)稱(chēng)性可設(shè)y軸左側(cè)的橢圓上有兩個(gè)不同的點(diǎn)P，Q，滿(mǎn)足|AP|AQ|.記直線(xiàn)AP，AQ的斜率分別為k1，k2，且k10，k20，k1k2.5分由(1)知|AP|，|AQ|，故，所以(kk)1kka2(2a2)kk0.7分由k1k2，k10，k20得1kka2(2a2)kk0，因此1a2(a22)，因?yàn)槭疥P(guān)于k1，k2的方程有解的充要條件是1a2(a22)1，所以a.因此，任意以點(diǎn)A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個(gè)公共點(diǎn)的充要條件為1a，10分由e ，得02，即b0)，則c1.因?yàn)檫^(guò)F2且垂直于x軸的直線(xiàn)與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|3，所以，b2a2c2，所以a24，b2a2c2413，橢圓的方程為1.5從橢圓1(ab0)上一點(diǎn)P向x軸作垂線(xiàn)，垂足恰為左焦點(diǎn)F1，A是橢圓與x軸正半軸的交點(diǎn)，B是橢圓與y軸正半軸的交點(diǎn)，且ABOP(O是坐標(biāo)原點(diǎn))，則該橢圓的離心率是()A. B.C. D.答案C解析由題意可設(shè)P(c，y0)(c為半焦距)，kOP，kAB，由于OPAB，y0，把P代入橢圓方程得1，2，e.故選C.6已知橢圓E的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F1且斜率為2的直線(xiàn)交橢圓E于P，Q兩點(diǎn)，若PF1F2為直角三角形，則橢圓E的離心率為()A. B. C. D.答案A解析由題意可知，F(xiàn)1PF2是直角，且tanPF1F22，2，又|PF1|PF2|2a，|PF1|，|PF2|.根據(jù)勾股定理得22(2c)2，離心率e.7設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓y21的左、右焦點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)P，使()0(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則F1PF2的面積是()A4 B3 C2 D1答案D解析()()0，PF1PF2，F(xiàn)1PF290.設(shè)|PF1|m，|PF2|n，則mn4，m2n212,2mn4，mn2，mn1.8已知橢圓C：1(ab0)的左焦點(diǎn)為F，橢圓C與過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)相交于A，B兩點(diǎn)，連接AF，BF，若|AB|10，|AF|6，cosABF，則橢圓C的離心率e_.答案解析設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F1，在ABF中，由余弦定理可解得|BF|8，所以ABF為直角三角形，且AFB90，又因?yàn)樾边匒B的中點(diǎn)為O，所以|OF|c5，連接AF1，因?yàn)锳，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以|BF|AF1|8，所以2a14，a7，所以離心率e.9P為橢圓1上的任意一點(diǎn)，AB為圓C：(x1)2y21的任一條直徑，則的取值范圍是_答案3,15解析圓心C(1,0)為橢圓的右焦點(diǎn)，()()()()22|21，顯然|ac，ac2,4，所以|213,1510已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：1(ab0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F1的直線(xiàn)l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)若|AB|BF2|AF2|345，則橢圓C的離心率為_(kāi)答案11.如圖，橢圓C：1(ab0)的右焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)分別為A，B，且|AB|BF|.(1)求橢圓C的離心率；(2)若斜率為2的直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)(0,2)，且l交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，OPOQ，求直線(xiàn)l的方程及橢圓C的方程解(1)由已知|AB|BF|，即a，4a24b25a2，4a24(a2c2)5a2，3a24c2，e.(2)由(1)知a24b2，橢圓C：1.設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直線(xiàn)l的方程為y22(x0)，即2xy20.由消去y，得x24(2x2)24b20，即17x232x164b20.3221617(b24)0，解得b.x1x2，x1x2.OPOQ，0，即x1x2y1y20，x1x2(2x12)(2x22)0，5x1x24(x1x2)40.從而40，解得b1，滿(mǎn)足b.橢圓C的方程為y21.綜上可知，直線(xiàn)l的方程為2xy20，橢圓C的方程為y21.12(2016全國(guó))設(shè)圓x2y22x150的圓心為A，直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)B(1,0)且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點(diǎn)，過(guò)B作AC的平行線(xiàn)交AD于點(diǎn)E.(1)證明|EA|EB|為定值，并寫(xiě)出點(diǎn)E的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線(xiàn)C1，直線(xiàn)l交C1于M，N兩點(diǎn)，過(guò)B且與l垂直的直線(xiàn)與圓A交于P，Q兩點(diǎn)，求四邊形MPNQ面積的取值范圍解(1)因?yàn)閨AD|AC|，EBAC，故EBDACDADC，所以|EB|ED|，故|EA|EB|EA|ED|AD|.又圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2y216，從而|AD|4，所以|EA|EB|4.由題設(shè)得A(1,0)，B(1,0)，|AB|2，由橢圓定義可得點(diǎn)E的軌跡方程為1(y0)(2)當(dāng)l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為yk(x1)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)由得(4k23)x28k2x4k2120.點(diǎn)(1,0)在橢圓內(nèi)部，故直線(xiàn)l與橢圓必有兩交點(diǎn)則x1x2，x1x2，所以|MN|x1x2|.過(guò)點(diǎn)B(1,0)且與l垂直的直線(xiàn)m：y(x1)，點(diǎn)A到m的距離為，所以|PQ|24.故四邊形MPNQ的面積S|MN|PQ|12.可得當(dāng)l與x軸不垂直時(shí)，四邊形MPNQ面積的取值范圍為(12,8)當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，其方程為x1，|MN|3，|PQ|8，四邊形MPNQ的面積為12.綜上，四邊形MPNQ面積的取值范圍為12,8)13(2018廣州模擬)已知橢圓C：1(ab0)的右焦點(diǎn)為F2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)A是直線(xiàn)MF2與橢圓C的一個(gè)交點(diǎn)，且|OA|OF2|2|OM|，則橢圓C的離心率為()A. B.C. D.答案D解析方法一|OA|OF2|2|OM|，M在橢圓C的短軸上，設(shè)橢圓C的左焦點(diǎn)為F1，連接AF1，|OA|OF2|，|OA|F1F2|，AF1AF2，從而AF1F2OMF2，又|AF1|2|AF2|2(2c)2，|AF1|c，|AF2|c，又|AF1|AF2|2a，c2a，即.故選D.方法二|OA|OF2|2|OM|，M在橢圓C的短軸上，在RtMOF2中，tanMF2O，設(shè)橢圓C的左焦點(diǎn)為F1，連接AF1，|OA|OF2|，|OA|F1F2|，AF1AF2，tanAF2F1，設(shè)|AF1|x(x0)，則|AF2|2x，|F1F2|x，e，故選D.14(2017安慶二模)已知橢圓1(ab0)短軸的端點(diǎn)為P(0，b)，Q(0，b)，長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)為M，AB為經(jīng)過(guò)橢圓中心且不在坐標(biāo)軸上的一條弦，若PA，PB的斜率之積等于，則點(diǎn)P到直線(xiàn)QM的距離為_(kāi)答案b解析設(shè)A(x0，y0)，則B點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，則，即，由于1，則，故，則，不妨取M(a,0)，則直線(xiàn)QM的方程為bxayab0，則點(diǎn)P到直線(xiàn)QM的距離為db.15(2017廣東廣州一模)已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：1(ab0)的左、右焦點(diǎn)，若橢圓C上存在點(diǎn)P使F1PF2為鈍角，則橢圓C的離心率的取值范圍是()A. B.C. D.答案A解析設(shè)P(x0，y0)，F(xiàn)1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)，由題易知|x0|a，因?yàn)榇嬖邳c(diǎn)P，使F1PF2為鈍角，所以xy有解，即c2(xy)min，又yb2x，b2c2a2，xb2，所以e2，又0e1，所以eb0)上的動(dòng)點(diǎn)M作