數(shù) 學(xué) 史,揚州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 朱家生,2012 年2月,參考書目:,1、M克萊因著：古今數(shù)學(xué)思想； 2、鮑爾加爾斯基著：數(shù)學(xué)簡史； 3、梁宗巨著：世界數(shù)學(xué)史簡編； 4、李  迪著：中國數(shù)學(xué)史簡編.,緒論：學(xué)習(xí)與研究數(shù)學(xué)史的意義,對數(shù)學(xué)科學(xué)有一個整體的認(rèn)識； 可幫助找到最根本的教學(xué)方法； 是進(jìn)行辯證唯物主義、歷史唯物主義和愛國主義教育的素材； 是數(shù)學(xué)課程改革與發(fā)展的需要。,法國著名數(shù)學(xué)家龐加萊曾說過:“如果我們想要預(yù)知數(shù)學(xué)的未來,最適合的途徑就是研究數(shù)學(xué)這門科學(xué)的歷史和現(xiàn)狀.”本課程以數(shù)學(xué)發(fā)展的脈絡(luò)為主線,系統(tǒng)介紹數(shù)學(xué)科學(xué)的歷史,并對其一些重要的思想方法進(jìn)行探討.,龐加萊 （Jules Henri Poincar， 18541912）,目 錄 1、數(shù)學(xué)的萌芽 2、希臘的數(shù)學(xué) 3、印度與阿拉伯的數(shù)學(xué) 4、中國的古代數(shù)學(xué) 5、歐洲文藝復(fù)興時期的數(shù)學(xué) 6、解析幾何的產(chǎn)生 7、微積分的創(chuàng)立 8、現(xiàn)代數(shù)學(xué)選論,1、源自河谷的古老文明數(shù)學(xué)的萌芽 1.1 古埃及的數(shù)學(xué) 1.2 古巴比倫的數(shù)學(xué),1.1 古埃及的數(shù)學(xué),古代埃及所處的地理位置,尼羅河是世界上最長的河流之一. 公元前3000年左右古埃及人在此建立起了早期的奴隸制國家. 農(nóng)業(yè),手工業(yè)與貿(mào)易的發(fā)展推動了自然科學(xué)各學(xué)科知識的積累.,胡夫金字塔大約建于公元前2500年左右. 該金字塔呈正四棱錐形, 面向東西南北四個正方向，邊長230.5m，塔高146.6m. 其底基正方形邊長的相對誤差不超過114000，四底角的相對誤差不超過127000，即不超過12“，四個方向的誤差也僅在2'5'之間.,古埃及的胡夫Khufu金字塔,保存至今有關(guān)數(shù)學(xué)的紙草書主要有兩種：蘭德紙草書,長544cm，寬33cm，共載有85個問題; 莫斯科紙草書, 長544cm，寬8cm，共載有25個問題.這兩份紙草書都是公元前2000年前后的作品，為古埃及人記錄一些數(shù)學(xué)問題的問題集.,古埃及紙草書,1.1.1 古埃及的記數(shù)制與算術(shù),古埃及人也有分?jǐn)?shù)的概念，但他們僅使用單位分?jǐn)?shù)也就是分子為1的分?jǐn)?shù)，表示整體的若干等份中的一份.,埃及人使用的是十進(jìn)記數(shù)制，并且有數(shù)字的專門符號,古埃及人的乘法運算與除法運算是通過迭加、而且是通過列表的方式來進(jìn)行的.,例:2633 =858,例:198=2+14+18,1.1.2 古埃及的代數(shù),例4:在一個人的財產(chǎn)中，有七間房子，每間房子里七只貓 ，每只貓能捉七只老鼠，每只老鼠能吃七穗大麥，而每穗大麥又能長出七俄斗大麥，問這份財產(chǎn)中房子、貓、老鼠、麥穗和麥子總共有多少?,（1）解方程的方法-”試位法”,例1:求解方程,例2:卡洪紙草書中記載了下列問題：將給定的100單位的面積分為兩個正方形，使二者的邊長之比為34.,（2）等差數(shù)列和等比數(shù)列問題,例3:蘭德紙草書中記載了下列問題：今將10斗麥子分給10個人，每人依次遞降 1/8斗，問各得多少?,1.1.3 古埃及的幾何學(xué),古埃及人知道: 任何三角形的面積均為底與高的乘積的一半； 圓的面積等于直徑的的平方，由此可知，他們把圓周率近似地取為3.16; 直圓柱的體積為底面積與高的乘積. 古埃及數(shù)學(xué)中“最偉大的埃及金字塔”:,1.2 古巴比倫的數(shù)學(xué),古巴比倫，又稱美索波大米亞，位于亞洲西部的幼發(fā)拉底與底格里斯兩河流域. 公元前2000年左右，古巴比倫人在這里建立起了自己的奴隸制王國.,古巴比倫 空中花園全景,古巴比倫空中花園一角,古巴比倫的數(shù)學(xué)記載在泥版書上.所用文字為楔形文字.,1.2.1古巴比倫的記數(shù)制與算術(shù),古巴比倫人很早就有了數(shù)的寫法，他們用楔形文字中較小的   (豎寫)代表，較大的   （豎寫）代表60.由此可知，古巴比倫人的記數(shù)系統(tǒng)是60進(jìn)制.他們還用 較小的  (橫寫) 代表10，較大的    (橫寫)代表100. 古巴比倫人也使用分?jǐn)?shù) 古巴比倫人的算術(shù)運算也是借助于各種各樣的表來進(jìn)行的.,1.2.2 古巴比倫的代數(shù),(1)求解方程 :例:英國大不列顛博物館13901號泥板記載了這樣一個問題：“我把我的正方形的面積加上正方形邊長的三分之二得35/60，求該正方形的邊長.”這個問題相當(dāng)于求解方程             其解法相當(dāng)于將方程        的系數(shù)代入公式 求解 . (2)在洛佛爾博物館的一塊泥板上，人們還發(fā)現(xiàn)了兩個級數(shù)問題.用現(xiàn)代形式可表述為,哥倫比亞大學(xué)普林頓收集館中收藏的第322號泥板,該泥板已缺損了一部分，在殘留的部分上刻有三列數(shù)，專家研究認(rèn)為：這是一張勾股數(shù)(即的整數(shù)解)表，并且極有可能用到了下列參數(shù)式 . 這是1000多年后古希臘數(shù)學(xué)一個極為重要的成就.,1.2.3古巴比倫的幾何,已熟悉了長方形、直角三角形、等腰三角形以及直角梯形面積的計算和長方體，以及特殊梯形為底的直棱柱體積計算的一般規(guī)則，他們知道取直徑的三倍為圓周的長，取圓周平方的1/12為圓的面積，還用底和高相乘求得直圓柱的體積.,古巴比倫人還有把相當(dāng)復(fù)雜的圖形拆成一些簡單圖形的組合的本領(lǐng).,但他們錯誤地認(rèn)為，圓臺或方棱臺的體積是兩底之和的一半與高的乘積.,1.2.4 古巴比倫的天文學(xué),古巴比倫人已開始使用年、月、日的天文歷法，一年有12個月，第一個月是以“金牛座”命名的，每月有30天，每6年加上第13個月作為閏月. 一個星期有7天，這7天是以太陽、月亮和金、木、水、火、土七星來命名的，每個星神主管一天，如太陽神主管星期日. 他們把圓周分為360度，每度60分，每分60秒，1小時60分，1分60秒的記法，也是來自古巴比倫.,在古巴比倫或古埃及數(shù)學(xué)中，雖然出現(xiàn)了一些令人信服的數(shù)表和許多重要的公式，但: 僅表現(xiàn)為對于一些實際問題觀察的結(jié)果和某些經(jīng)驗的積累; 數(shù)學(xué)學(xué)科所特有的邏輯思維與理論概括甚至還未被他們覺察; 數(shù)學(xué)還只是作為一種用來處理日常生活中遇到的計算與度量問題的工具或者方法. 其所給出的僅僅是“如此去做”，而基本沒有涉及到“為什么要這樣做”，這標(biāo)志著他們的數(shù)學(xué)還遠(yuǎn)遠(yuǎn)地沒有進(jìn)入理性思維的階段.,第一章  思考題,1、世界四大文明古國是哪幾個？它們的古老文明各自又有哪些特征？ 2、數(shù)學(xué)最基本、最古老的概念有哪些？它們在數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展中有什么重要作用？ 3、古巴比倫人和古埃及人解方程各自用了什么方法?試舉例予以說明。 4、古巴比倫人在天文學(xué)研究方面有什么創(chuàng)見？他們留下的遺產(chǎn)哪些在我們的生活中還在使用？ 5、普林頓322號泥版書上記載了古巴比倫人怎樣的數(shù)學(xué)成就？其有什么重要的數(shù)學(xué)意義？ 6、人稱古埃及數(shù)學(xué)中“最偉大的金字塔”指的是什么？它有什么重要的數(shù)學(xué)價值？,2、地中海的燦爛陽光希臘的數(shù)學(xué),2.1 希臘數(shù)學(xué)文明的一些背景材料 2.2 愛奧尼亞學(xué)派 2.3 畢達(dá)哥拉斯學(xué)派 2.4 巧辯學(xué)派 2.5 柏拉圖學(xué)派 2.6 原子論學(xué)派,2.1 希臘數(shù)學(xué)文明產(chǎn)生,公元前8世紀(jì)前后，希臘進(jìn)入奴隸制形成時期，產(chǎn)生了許多奴隸制城邦，并在東西地中海及黑海一帶興建了許多殖民城市，這些城市加強(qiáng)了希臘與海外各地的聯(lián)系。,公元前6世紀(jì)開始，希臘出現(xiàn)了歐洲文化的第一個高峰，希臘數(shù)學(xué)就是其中的最重要的成就之一。,人們通常將公元前6世紀(jì)至公元前3世紀(jì)稱為古典時期，公元前3世紀(jì)至公元6世紀(jì)稱為亞歷山大時期。其中希臘數(shù)學(xué)古典時期的的眾多數(shù)學(xué)學(xué)派的工作將數(shù)學(xué)研究推到了一個新階段。,2.2.1 愛奧尼亞學(xué)派與泰勒斯,泰勒斯  （Thales，公元前636公元前546年）誕生于愛奧尼亞的海濱城市米利都； 泰勒斯早年是一個精明的商人，青壯年時代積累了足夠的財富，使他后半生能夠從事游歷與研究； 他的一些奇聞軼事。,“希臘科學(xué)之父”泰勒斯,下述五個命題的發(fā)現(xiàn)是應(yīng)歸功于泰勒斯的： ()圓被任一直徑二等分; ()等腰三角形的兩底角相等； ()兩條直線相交，對頂角相等； ()兩個三角形，有兩個角和一條邊對應(yīng)相等，則這兩個三角形全等； () (泰勒斯定理)內(nèi)接于半圓的角必為直角.,泰勒斯對數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)更重要的是在于泰勒斯對它們提供了某種邏輯推理. 例如對于“兩條直線相交，對頂角相等”.泰勒斯是這樣證明的：如圖，a加c等于平角，b加c也等于平角，因為所有的平角都是相等的，所以a等于b(等量減等量，余量相等).,這表明，從泰勒斯開始，人們已不再僅僅利用直觀和實驗來尋求數(shù)學(xué)結(jié)論了.換句話說，實際上泰勒斯已經(jīng)將邏輯學(xué)中的演繹推理引入了數(shù)學(xué)，奠定了演繹數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，這使得他獲得了第一位數(shù)學(xué)家和論證幾何學(xué)家鼻祖的美譽.,泰勒斯還被西方學(xué)者稱為“測量學(xué)的鼻祖”. 據(jù)說他曾利用相似直角三角形通過測量手杖和金字塔的影長求出金字塔的高度，還用全等三角形的知識計算出海船到海岸的距離.       愛奧尼亞學(xué)派在哲學(xué)特別是自然哲學(xué)方面的工作也是無與倫比的，他們肯定在一切表面現(xiàn)象的千變?nèi)f化之中，有一種始終不變的東西，這一原始物質(zhì)的內(nèi)蘊本質(zhì)是守恒的，而所有的物質(zhì)形式都可用它來解釋.這種理性思維的觀念，正是希臘科學(xué)精神的的精髓之所在.,2.1.2 畢達(dá)哥拉斯學(xué)派與“萬物皆數(shù)”,畢達(dá)哥拉斯(Pythagoras，約公元前572約公元前497)是古希臘哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文家和音樂理論家.出生于愛琴海中的薩摩斯島(Samos，今希臘東部小島).青年時期他曾經(jīng)離開家鄉(xiāng)到世界各地游學(xué).40歲左右，他定居意大利半島南部的克羅多內(nèi)(Crotone)，并在這里組織了一個集政治、宗教和學(xué)術(shù)研究于一體的秘密會社，這就是著名的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派.在學(xué)術(shù)方面，這個學(xué)派主要致力于哲學(xué)和數(shù)學(xué)的研究.,畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為:事物的本原是數(shù).世界上的萬事萬物及其運動變化規(guī)律都可以用整數(shù)或者整數(shù)之比表示出來. 這種“萬物皆數(shù)”的觀念從另一個側(cè)面強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)對客觀世界的重要作用，這也是數(shù)學(xué)化思想的最初表述形式.,1. “萬物皆數(shù)”的思想,2.對自然數(shù)的分類,畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的初步數(shù)學(xué)化思想促進(jìn)了對自然數(shù)的研究，他們定義了許多概念. 一個數(shù)等于其（除本身以外的）全部因子之和稱之為完全數(shù)，如28（124714）; 一個數(shù)小于其（除本身以外的）全部因子之和稱之為虧數(shù)，如 12（12346); 一個數(shù)大于其（除本身以外的）全部因子之和稱之為盈數(shù),10（125）. 若兩個數(shù)中任一個數(shù)（除本身以外的）全部因子之和都等于另一個數(shù)則稱為親和數(shù).,如220與284為親和數(shù).因為220的因子之和為（1245101120224455110）284，而284的因子和為（12471142）220 .,3.對形數(shù)的研究,畢達(dá)哥拉斯學(xué)派許多關(guān)于數(shù)的規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，都是借助圖形的直觀分析而得到的.他們常把數(shù)以點的形式排成各種圖形.如圖:,由圖知易1，1+2，1+2+3，1+2+3+4+這些和數(shù)都是三角形數(shù)，第n個三角形數(shù)是,又如,其中1，4，9，16，是正方形數(shù)，第n個正方形數(shù)是n2 .由此易得,前n個奇數(shù)之和即為n的平方.,4.關(guān)于數(shù)學(xué)美的研究,畢達(dá)哥拉斯學(xué)派還認(rèn)為，“美是和諧與比例”， 他們認(rèn)為，最美的圖形在平面上是圓，在空間是球，整個地球、天體和宇宙是一個圓球，宇宙中的各種物體都作均勻的圓周運動. 最完美的數(shù)是10，因為101234，并將1，2，3，4稱為四象. 在音樂研究中他們發(fā)現(xiàn)，如果一根弦是另一根弦長的兩倍，那么兩者發(fā)出的音就相差8度. 認(rèn)為音樂的基本原則是數(shù)量原則，音樂節(jié)奏的和諧是由高低、長短、輕重各種不同的音調(diào)，按照一定數(shù)量比例組成的.,他們研究了一些美的比和比例關(guān)系，提出了算術(shù)平均值（以表示）、幾何平均值（以表示）和調(diào)和平均值（以表示）：對，為兩已知數(shù)，,.,他們發(fā)現(xiàn)，MG=GH， AH=MB，稱前者為完全比例，后者為音樂比例.以此為出發(fā)點，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派建立了他們的音樂理論.畢達(dá)哥拉斯把“美是和諧與比例”的科學(xué)美學(xué)思想用于音樂和天文學(xué)，并十分廣泛地將其應(yīng)用到建筑、雕刻、地學(xué)、生物學(xué)、醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域.,5.關(guān)于勾股定理的研究,西方學(xué)者認(rèn)為，有關(guān)直角三角形的“勾股定理”最早是由畢達(dá)哥拉斯學(xué)派發(fā)現(xiàn)的.據(jù)傳，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派為了慶祝這條定理的發(fā)現(xiàn)，特地宰了一百頭牛來祭神，感謝科學(xué)藝術(shù)女神繆斯對他們的垂青，因此有人詼諧地將這個定理稱為“百牛定理”. 但迄今為止并沒有畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)和證明這一定理的直接證據(jù).,畢達(dá)哥拉斯數(shù)的探討:,通過分析正方形數(shù)的圖形畢達(dá)哥拉斯得到 :,這就是直角三角形整數(shù)邊長的公式.當(dāng)m=1，2，3，4，時可得滿足直角三角形邊長的整數(shù)組為3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；等等.,6.不可公度的發(fā)現(xiàn),畢達(dá)哥拉斯學(xué)派相信：在幾何上相當(dāng)于對于任何兩條給定的線段，總能找到第三條線段作為單位線段，將所給定的兩條線段劃分為整數(shù)段，他們稱這樣的兩條線段為“可公度量”，即有公共的度量單位.,畢達(dá)哥拉斯學(xué)派發(fā)現(xiàn)正方形的對角線和其一邊構(gòu)成不可公度線段.相傳該學(xué)派的成員希帕索斯(Hippasus,約公元前470年左右)還因為研究這一問題被拋入大海處以極刑.由于不可公度量的發(fā)現(xiàn)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派“萬物皆數(shù)”的信條受到了沖擊，這在數(shù)學(xué)史上稱為“第一次數(shù)學(xué)危機(jī)”.,希臘人對待這次危機(jī)的態(tài)度不是積極地去解決它，而是想方設(shè)法去回避它，這就使得從畢達(dá)哥拉斯學(xué)派開始的對數(shù)的研究轉(zhuǎn)向?qū)π蔚奶接懀m然這種轉(zhuǎn)向最終導(dǎo)致了幾何學(xué)的迅速發(fā)展，但在客觀上使得希臘數(shù)學(xué)是代數(shù)方面的發(fā)展與其幾何學(xué)的成就是很不相稱的.,2.1.3  芝諾悖論與巧辯學(xué)派,1.芝諾悖論 哲學(xué)家芝諾（Zeno,約公元前490-430年），針對當(dāng)時對無限、運動和連續(xù)等人們認(rèn)識模糊不清的概念，提出了45個違背常理的悖論，把這些矛盾暴露出來，在希臘數(shù)學(xué)界引起了巨大的震動.其中關(guān)于運動的三個悖論尤為引人注目 (1)二分說 (2)阿基里斯追龜說  (3)飛箭靜止說,芝諾的這些悖論已涉及到對于當(dāng)時的希臘數(shù)學(xué)家而言還很模糊的無限與連續(xù)的概念.更重要的是，人們明知他的悖論是不符合常理的，卻又不能駁倒他，這就促使人們開始思考一個理論能否自圓其說的問題，毫無疑問，這也成為公理化思想方法產(chǎn)生的一個重要原因.,2.巧辯學(xué)派所提出的三大著名作圖問題,巧辯學(xué)派創(chuàng)立、活動于雅典.這個學(xué)派中聚集了各方面的學(xué)者大師，如文法、修辭、辯證法、人文，以及幾何、天文和哲學(xué)方面的學(xué)者.他們研究的主要目標(biāo)之一是用數(shù)學(xué)來探討宇宙的運轉(zhuǎn). 該學(xué)派的名字與著名的尺規(guī)作圖不能問題是緊密地聯(lián)系在一起的.所謂三大尺規(guī)作圖問題是指: (1)化圓為方:只允許用圓規(guī)和直尺作一正方形，使其與給定的圓面積相等; (2)倍立方:給定立方體的一邊，求作另一立方體之邊，使后者體積兩倍于前者體積; (3)三等分角:即將任一已知角三等分.,圍繞這三大作圖問題，希臘數(shù)學(xué)家們表現(xiàn)出了杰出的數(shù)學(xué)思想和方法，許多數(shù)學(xué)成果都是研究這三個問題的副產(chǎn)品，例如，該學(xué)派的頭面人物希比亞斯(Hippias，約公元前5世紀(jì))為解決三等分任意角的問題，引入了一條割圓曲線.,希波克拉茨(Hippocrates，公元前5世紀(jì))在探索化圓為方時，成功地解決了一個把曲邊圖形化為直邊圖形的問題。,如圖，設(shè)ABC為等腰直角三角形，斜邊為AC，中點為O，半圓AEB以AB為直徑，則= =2，即半圓AEB面積=扇形AOB面積. 月牙形AEB面積=半圓AEB面積-弓形ADB面積 =扇形AOB面積-弓形ADB面積 =AOB面積.,希臘學(xué)者之所以要把作圖工具只限于直尺和圓規(guī)，反映了他們對數(shù)學(xué)有這樣的認(rèn)識：即強(qiáng)調(diào)在研究一個概念之前必須證明它的存在，只有從真理出發(fā)，依靠演繹推理才能獲得真理.在他們看來，直線和圓客觀上是存在的，所以只有用直線和圓構(gòu)作出來的圖形才能保證在邏輯上沒有矛盾.這樣的思想促進(jìn)了希臘數(shù)學(xué)的嚴(yán)密化. 2000多年來，三大問題的研究，花費了人們的大量心血.直至1831年，法國數(shù)學(xué)家萬采爾(Vantzal， 18141848)首先證明倍立方問題和三等分任意角問題不能用尺規(guī)作圖來解決，接著德國數(shù)學(xué)家林德曼(Lindemann， 18521939)于1882年又證明了的超越性，因而否定了用尺規(guī)化圓為方的可能性，這三大問題才徹底得以解決.,2.1.4 柏拉圖學(xué)派,柏拉圖(Plato，公元前427347年),古希臘哲學(xué)家和教育家. 曾拜蘇格拉底為師,是蘇格拉底最杰出的學(xué)生，深受蘇格拉底邏輯思想的影響. 公元前399年，因蘇格拉底被雅典民主政權(quán)處死，柏拉圖被迫開始了為期12年的游歷生涯. 公元前387年，柏拉圖在雅典創(chuàng)建了歐洲歷史上第一所綜合性的、傳授知識、培養(yǎng)上層統(tǒng)治者的學(xué)?！?柏拉圖學(xué)院”.,柏拉圖,柏拉圖學(xué)派特別強(qiáng)調(diào)要用數(shù)學(xué)來解釋宇宙，因而特別重視對立體幾何的研究. 在蘇格拉底邏輯思想的影響下，柏拉圖還明確提出了數(shù)學(xué)的演繹證明應(yīng)遵循的邏輯規(guī)則.從柏拉圖時代起，數(shù)學(xué)就已經(jīng)有了公理化的思想.,柏拉圖學(xué)派中最杰出的數(shù)學(xué)家應(yīng)首推歐多克索斯(Eudoxus,約公元前4世紀(jì)). 他對數(shù)學(xué)的最大貢獻(xiàn)是運用公理法建立了比例理論. 進(jìn)一步完善了安蒂豐的“窮竭法”，將“窮竭法”改造成為一種嚴(yán)格的證明方法. 此外，他還研究了“中末比”問題，并用求兩個已知量的兩個比例中項的方法，解決了立方倍積問題.,歐多克索斯的學(xué)生門奈赫莫斯（Menaechmus,公元前4世紀(jì)）是圓錐曲線理論的創(chuàng)始人，他在用平面與圓錐的一條母線垂直相截時發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線：當(dāng)圓錐頂角為直角時所得截線為拋物線，頂角為銳角時為橢圓，頂角為鈍角時為雙曲線的一支.他還發(fā)現(xiàn)了雙曲線的漸近線，并對這些曲線的性質(zhì)作了系統(tǒng)的闡述，形成了最早的圓錐曲線理論.,亞里士多德(Aristotle，公元前384公元前322). 對數(shù)學(xué)的最大貢獻(xiàn)是建立了形式邏輯學(xué). 他把形式邏輯規(guī)范化和系統(tǒng)化，使之上升為一門科學(xué).他提出了矛盾律、排中律等思維的規(guī)律；把邏輯學(xué)理解為論證的學(xué)問；從個別到一般的歸納和從一般到個別的演繹；他還研究了三段論法的格和規(guī)則，這些都為數(shù)學(xué)推理提供了基本的邏輯依據(jù). 亞里士多德的著作中也有許多重要的幾何定理.如多邊形外角之和等于四直角，在包圍給定面積的所有平面圖形中，圓的周長最小等.,亞里士多德,由于這些數(shù)學(xué)學(xué)派的工作，為希臘數(shù)學(xué)積累了豐富的素材，也為希臘數(shù)學(xué)后來的進(jìn)一步發(fā)展打下了堅實的基礎(chǔ).,2.2 希臘數(shù)學(xué)的黃金時代,從公元前334年起，亞歷山大舉兵東征，建立了一個空前龐大的帝國.公元前323年，亞歷山大病逝，其帝國被部將分割為安拉哥拉(歐洲部分)、塞流卡斯(亞洲部分)和托勒密(埃及部分)三個王國，歷史上稱之為希臘化國家，希臘數(shù)學(xué)從此進(jìn)入亞歷山大時期. 亞歷山大城位于埃及北部海岸，該城的規(guī)劃、施工和移民為亞歷山大大帝親自指揮，他準(zhǔn)備將這座城市作為其龐大帝國未來的首都. 帝國分裂后，這里成為托勒密王國的首都.經(jīng)歷代托勒密國王的經(jīng)營，成為當(dāng)時整個地中海地區(qū)最大的城市.在這里興建了藏書達(dá)六十萬卷的圖書館，國家設(shè)立了研究機(jī)構(gòu)，其研究人員由國家供養(yǎng).優(yōu)秀數(shù)學(xué)家云集于此，亞歷山大學(xué)派由此產(chǎn)生.,這個時期的數(shù)學(xué)發(fā)展有兩個方向： 其一是沿著畢達(dá)哥拉斯、柏拉圖開辟的方向，繼續(xù)致力于純粹數(shù)學(xué)理論的研究，并使之系統(tǒng)化，其代表人物有歐幾里得 (Euclid，約公元前330公元前275)、阿波羅尼斯(Apollonius，公元前262公元前190)； 其二是以阿基米德(Archimeds，公元前287公元前212)為代表，致力于研究數(shù)學(xué)與天文、物理、力學(xué)、光學(xué)等學(xué)科的結(jié)合，在繼承古典時期研究成果的基礎(chǔ)上，不斷開拓新的領(lǐng)域. 阿基米德、歐幾里得、阿波羅尼斯并稱亞歷山大時期的三大數(shù)學(xué)巨人.他們的工作，使得希臘數(shù)學(xué)的發(fā)展達(dá)到了前所未有的最高水平.,2.2.1 歐幾里得與他的幾何原本,歐幾里得出生于雅典，曾受教于柏拉圖學(xué)院.雅典衰落后，應(yīng)托勒密國王之邀來亞歷山大城主持?jǐn)?shù)學(xué)學(xué)派的工作. 歐幾里得首先收集、整理已有的數(shù)學(xué)成果，以命題的形式作出表述，完善前人的各種定理并給予重新證明.然后，他作出了自己的偉大創(chuàng)造：對定義進(jìn)行篩選，選擇出具有重大意義的公理，邏輯地、嚴(yán)密地按演繹方式組織命題及其證明，最后形成了具有公理化結(jié)構(gòu)和嚴(yán)密邏輯體系的幾何原本. 它是在公元前300年左右完成的.,歐幾里得,歐幾里得幾何原本抄本,歐幾里得幾何原本的原稿早已丟失，現(xiàn)代版本是以希臘評注家泰奧恩（Theon，約比歐幾里得晚七百年）編寫的修訂本為依據(jù)的.全書分13卷，共有465個命題.,歐幾里得幾何原本的主要內(nèi)容:,第 1卷首先用23個定義給出了點、線、面、圓以及平行線等原始概念，接著提出了5個公設(shè)和5個公理： 五條公設(shè)是： 從任一點到任一點作直線（是可能的）. 將有限直線不斷沿直線延長（是可能的）. 以任一點為中心與任一距離為半徑作一圓（是可能的）. 所有直角是相等的. 若一直線與兩直線相交，且同側(cè)所交兩內(nèi)角之和小于兩直角，則兩直線無限延長后必相交于該側(cè)的一點.,五個公理是： 與同一東西相等的一些東西彼此相等. 等量加等量，其和相等. 等量減等量，其差相等. 彼此重合的東西是相等的. 整體大于部分. 其后用48個命題討論了關(guān)于直線和由直線構(gòu)成的平面圖形的幾何學(xué)，內(nèi)容涉及三角形、垂直、平行、平行四邊形和正方形，最后兩個命題給出了勾股定理及其逆定理的證明.,第2卷主要討論幾何代數(shù).第3卷是與圓有關(guān)的一些問題，包括圓、弦、割線、切線以及圓心角和圓周角的一些熟知的定理. 第4卷在引入了圓的內(nèi)接和外切圖形的概念以后討論了給定圓的某些內(nèi)接和外切正多邊形的尺規(guī)作圖問題. 第5卷討論了有關(guān)量的比例理論. 第6卷主要是將比例理論應(yīng)用于平面幾何，其中包括相似三角形等.,第7、8、9卷主要研究初等數(shù)論.從檢驗兩個整數(shù)是否互素開始，建立起了關(guān)于數(shù)值的比例理論以及數(shù)的基本性質(zhì)，給出了求兩個或多個整數(shù)的最大公因子的“歐幾里得算法”，討論了比例、幾何級數(shù)，還給出了許多關(guān)于數(shù)論的重要定理.,例如歐幾里得用歸謬法證明了素數(shù)有無窮多個. 反證法的依據(jù)是邏輯學(xué)中的排中律。 哈代：“反證法是遠(yuǎn)比任何棄子術(shù)更高超的一種策略。棋手可以犧牲的只是幾個棋子，而數(shù)學(xué)家可以犧牲整個一盤棋?！?第10卷討論無理數(shù)，重點研究了形如（其中a，b皆為有理線段）的無理量，并對所有25種可能的形式進(jìn)行了分類. 后3卷是立體幾何內(nèi)容.第11卷給出了立體幾何中一些概念的定義；第12卷用窮竭法證明了棱錐與棱錐、圓錐與圓錐、圓柱與圓柱以及球與球之間的體積比；第13卷論述正多邊形的性質(zhì)及其內(nèi)接于圓時的性質(zhì)、研究了如何將五種正多面體內(nèi)接于一個球的問題，并依賴關(guān)于多面體各面角之和必小于3600的結(jié)論，證明了凸正多面體不多于5種.,以外，歐幾里得還寫了許多其他出色的著作.他對天文學(xué)和光學(xué)都有研究，但在純數(shù)學(xué)方面保留下來的僅有兩本： （）數(shù)據(jù)（The Data）.這是在幾何原本基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究幾何學(xué)的一本問題集，共個問題； （）論圖形的分割（On Divisions of Figures）.研究將圖形分割后成比例的問題，共有36個問題.,2.2.2 阿基米德的數(shù)學(xué)成就,阿基米德出生于意大利西西里島的敘拉古. 青年時代的阿基米德曾到號稱“智慧之都”的亞歷山大城求學(xué)，阿基米德學(xué)成后返回故鄉(xiāng)，并終身保持同亞歷山大學(xué)派的聯(lián)系，研討學(xué)問，成為亞歷山大學(xué)派最杰出的代表.他一直住在敘拉古.公元前212前，阿基米德死于士兵劍下，臨死前他還在思考幾何問題.,阿基米德,阿基米德的數(shù)學(xué)著作流傳至今的，按時間順序，依次為：拋物線的求積、論球和圓柱、論螺線、論劈錐曲面體與球體、圓之度量、沙粒計. 這些論著無一不是數(shù)學(xué)創(chuàng)造的杰出之作，正如英國數(shù)學(xué)史家希思（Heath，18601941）所指出的，這些論著“無一例外地都被看作是數(shù)學(xué)論文的紀(jì)念碑.解題步驟的循循善誘，命題次序的巧妙安排，嚴(yán)格摒棄敘述的枝節(jié)及對整體的修飾潤色，總之，給人的完美印象是如此之深，使讀者油然而生敬畏的感情.”,對數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)主要有： 在平面幾何方面 開創(chuàng)計算值的古典方法，利用內(nèi)接和外切正多邊形逼近，求得             證明圓面積等于以圓周長為底、半徑為高的三角形的面積. 證明任何直線截拋物線所得弓形面積等于同底等高的三角形面積的. 定義了螺線a，并證明螺線第一圈與初始線所圍成的面積等于半徑為a的圓面積的. 橢圓與圓的面積之比等于橢圓長短軸之積與圓半徑平方之比.,在立體幾何方面 球表面積等于大圓面積的倍. 圓的外切圓柱體的體積是球體積的，其表面積（包括上下底）也是球表面積的. 任一正圓柱側(cè)面積等于以圓柱高與底面直徑的比例中項為半徑的圓面積. 任一圓錐的表面積等于以圓錐母線與底面半徑的比例中項為半徑的圓面積. 球冠側(cè)面積等于以其大圓弧所對弦長為半徑的圓面積. 橢圓、拋物線和雙曲線繞軸旋轉(zhuǎn)而生成的旋轉(zhuǎn)體體積公式. 此外，阿基米德還研究了等比級數(shù)求和公式、大數(shù)的記數(shù)法等等.,阿基米德是應(yīng)用力學(xué)方法進(jìn)行數(shù)學(xué)規(guī)律探索的倡導(dǎo)者和典范.,設(shè)有半徑為的球，圓錐和圓柱的高都是，底面半徑分別是2r與r.圖是它的軸截面圖. 考慮在三個立體上切下與的距離為、厚為的薄片，其近似體積為 球體：（）x 柱體：   x 錐體：   x 將球體和錐體的薄片掛在T點(TN=NS=2r)上，則它們關(guān)于支點N的組合矩為,把大量的這些薄片加在一起得 得,阿基米德關(guān)于圓的著作發(fā)表在單行本圓的度量中，全篇包括三個命題： 用“窮竭法”證明了圓面積公式； 斷言圓與它的外切正方形面積之比為/； 推算出圓周率在223/71與22/7之間.,阿基米德用窮竭法解決了圓的面積與一個兩條直角邊分別等于其周長和半徑的直角三角形的面積相等.,將運動觀點引入數(shù)學(xué)，也是阿基米德數(shù)學(xué)思想的重要組成部分，這集中反映在論螺線一書中. 在這本書中，阿基米德從運動觀點出發(fā)指出了螺線的定義，他說：“在平面上有一直線，把它的一個端點固定，使直線圍繞定點作勻速運動，如果直線上有一點同時從定點開始，沿直線作勻速運動，那么動點最后將描出一條螺線.”用我們熟知的極坐標(biāo)刻畫，其方程即為.,2.2.3 阿波羅尼斯與圓錐曲線,圓錐曲線共卷，有個命題，現(xiàn)存前卷.第卷給出了圓錐曲線的定義和基本性質(zhì)，在這一卷中，阿波羅尼斯首創(chuàng)了通過改變截面的角度，從一對對頂圓錐得到三種圓錐曲線的方法，并依據(jù)曲線的作法推導(dǎo)出它們的特征關(guān)系式，進(jìn)而導(dǎo)出了圓錐曲線的弦、直徑、共軛直徑、切線等的定義和性質(zhì)，甚至還得到類似于在坐標(biāo)變換下曲線性質(zhì)的不變性的結(jié)論.需要指出的是，阿波羅尼斯的方程是用幾何語言敘述的. 第卷討論雙曲線漸近線的作法、性質(zhì)和共軛雙曲線的性質(zhì)；圓錐曲線的直徑和軸的求法；有心圓錐曲線的中心的概念；怎樣求作滿足某種條件的圓錐曲線的切線.,第卷討論了切線與直徑所圍成的圖形的面積；極點和極線的調(diào)和性質(zhì)；橢圓和雙曲線的焦點的性質(zhì). 第卷討論了極點和極線的其他性質(zhì)；討論了圓錐曲線相交的各種情況；證明了兩條圓錐曲線至多有個交點. 第卷在尚存卷中最富獨創(chuàng)性，討論了從一點到圓錐曲線所能作的最長和最短線段，并給出了過一定點的法線的作圖和計算. 第卷討論了圓錐曲線的全等、相似和圓錐曲線弓形的作圖和性質(zhì). 第卷討論有心圓錐曲線的兩條共軛直徑的性質(zhì).,總之，亞歷山大時期出現(xiàn)了許多著名的數(shù)學(xué)家，他們的工作大大開拓了希臘數(shù)學(xué)的領(lǐng)域，正是由于這個時期的成就，希臘數(shù)學(xué)才能作為一個比較完整的體系截入史冊. 在這一時期，定量研究有了很大進(jìn)展，但并沒有使偏重幾何的方向發(fā)生逆轉(zhuǎn)，算術(shù)和代數(shù)中，演繹式的邏輯結(jié)構(gòu)始終沒有建立起來，三角學(xué)的研究尚末擺脫天文學(xué)，這就決定了對于數(shù)的研究仍然是直觀的、經(jīng)驗的，其發(fā)展是緩慢的，從而使幾何的發(fā)展步履艱難.,2.3 希臘數(shù)學(xué)的衰落,希臘數(shù)學(xué)自阿波羅尼斯之后開始走下坡路，但在后來的歲月里也還是有一些數(shù)學(xué)成就值得人們?nèi)パ芯康? 1.代數(shù)大師丟番圖 (1)第一次系統(tǒng)地提出代數(shù)符號 (2)以高超的技巧解不定方程  2.托勒密  寫成三角學(xué)的最早系統(tǒng)性論著數(shù)學(xué)匯編.在該書中有著名的托勒密定理：在圓內(nèi)接四邊形中，兩對角線之積等于兩對對邊乘積之和. 3.海倫、梅乃勞斯和帕普斯等人的工作,整個希臘數(shù)學(xué)的消亡是由于羅馬人的入侵所導(dǎo)致的. 公元前146年，羅馬人征服了希臘本土. 公元前年，凱撒縱火焚毀停泊在亞歷山大港的埃及船隊，大火延及該城，并無情地將圖書館兩個半世紀(jì)以來收集的藏書毀于一炬. 羅馬統(tǒng)治者推崇的基督教的傳播，迅速地以強(qiáng)烈的宗教狂熱淹沒了豐富的科學(xué)想象，使希臘數(shù)學(xué)蒙受了更大的災(zāi)難，查封學(xué)園、禁止學(xué)習(xí)研究數(shù)學(xué)，使歐洲數(shù)學(xué)進(jìn)入了漫長的黑暗時期.,3、來自東方的繼承者與傳播者 印度與阿拉伯的數(shù)學(xué),在古希臘數(shù)學(xué)文明衰微、歐洲處于長達(dá)年的中世紀(jì)黑暗時期,“西方不亮東方亮”，在世界的東方，希臘殘留的火花得到了保存與傳播，這就是印度與阿拉伯的數(shù)學(xué).,印度的泰姬陵,3.1 印度的數(shù)學(xué),印度文明最早可以上溯到公元前3500年左右.從5世紀(jì)始，印度文明又不斷受到其它民族的侵占，多民族的文化在這里交融，這就孕育了印度數(shù)學(xué)的繁榮. 大約在年前印度人就興建起了具有相當(dāng)規(guī)模的城市與宮殿，并且有了書寫、計算和度量衡的體系.由于印度以農(nóng)業(yè)為經(jīng)濟(jì)來源，很早就開始觀察星象，編造歷書，因而帶動了數(shù)學(xué)研究.,公元世紀(jì)至世紀(jì)是印度數(shù)學(xué)的繁榮時期，而其繁榮的標(biāo)志表現(xiàn)為出現(xiàn)了一些著名的天文學(xué)家兼數(shù)學(xué)家.他們主要是：阿耶波多（Aryabhata，約476550）、婆羅門笈多（Brahmagupta，598665）、摩訶毗羅（Mahavira,850年左右）和婆什迦羅（Bhaskara,11141185）,阿耶波多，又譯圣使，出生于華氏城（今稱巴特那）. 其著作有阿耶波多文集，其中有一章專講數(shù)學(xué) ，介紹了比例、開方、二次方程、一次不定方程、算術(shù)級數(shù)等問題，他得出了圓周率為31416的較好的近似值.,婆羅門笈多，又譯梵藏.其著作婆羅門修正體系，包括“算術(shù)講義”、“不定方程講義”等章，其中有算術(shù)、勾股定理、面積、體積等內(nèi)容，并討論了二次方程，線性方程組及一次和二次不定方程的解法.還利用 內(nèi)插公式造了一張正弦表。開平方和開立方、二次方程及組合問題，也講到解二次不定方程等. 婆什伽羅對天文學(xué)和數(shù)學(xué)都有研究，是古代印度 最杰出的數(shù)學(xué)家.他的名著有麗羅娃提和算法本原，這兩部著作除了 整理前人的成果之外還論述了有理數(shù)的四則運算、線性方程組和不定方程.他 指出二次方程有兩個根，并對形如的二次不定方程提出解法 ，他的著作還被譯成波斯文，對海外影響很大. 12世紀(jì)以后，印度數(shù)學(xué)的發(fā)展日趨滯緩，直到19世紀(jì)才有新的起色.,3.1.1 印度的算術(shù),1.在印度數(shù)學(xué)中最值得稱道的是印度數(shù)碼和進(jìn)位值制記數(shù)法. 2.印度人也很早就引進(jìn)了負(fù)數(shù). 3.印度人分?jǐn)?shù)的概念也是較早的. 4.開平方和開立方的方法 5.還給出了一些級數(shù)求和公式,3.1.2 印度的代數(shù),1.使用縮寫文字和記號來記述代數(shù)方程 2.常用假設(shè)法作為解方程或方程組的工具 3.不定方程的研究  4.金字塔圖即二項式展開式系數(shù)所構(gòu)成的三角形,3.1.3 印度的幾何與三角,幾何相對于代數(shù)來說有些平淡無奇，主要是一些常見的幾何體的體積公式。 他們的三角學(xué)研究 卻繼承并發(fā)展了希臘人的工作.他們把圓分成360度或21600分，把半徑分為120等分. 計算半弦的長，這樣，他們的“正弦”就 相當(dāng)于現(xiàn)在的正弦線，與今天的正弦僅相差（為半徑）倍.此外，婆羅門笈多還首次利用內(nèi)插法編制了一張正弦表，所用的內(nèi)插公式在計算效能上與牛頓-斯特林公式是等價的。,3.2 阿拉伯的數(shù)學(xué),公元世紀(jì)前期，在穆罕默德的領(lǐng)導(dǎo)下，阿拉伯半島上分散的部落在強(qiáng)烈的伊斯蘭宗教熱情的感召下統(tǒng)一起來，并迅速崛起.在強(qiáng)悍的武力擴(kuò)張下，他們建立了一個東起印度西部，西至西班牙，北抵中亞，南達(dá)北非的龐大帝國.世紀(jì)中期，這個帝國一分為三，成為三個都講阿拉伯語的伊斯蘭國家. 阿拉伯人對數(shù)學(xué)的研究始于8世紀(jì)中葉或9世紀(jì)初.開始時，他們以翻譯和學(xué)習(xí)印度、希臘的數(shù)學(xué)經(jīng)典為主.隨后在消化、吸收這些著作的基礎(chǔ)上進(jìn)行獨立的 數(shù)學(xué)研究. 今天我們所說的“阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)”，主要是指那些用阿拉伯文寫成的數(shù)學(xué).,3.2.1 阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)的分期與杰出的數(shù)學(xué)家,（1）早期：8世紀(jì)中葉9世紀(jì) 這一時期最重要的數(shù)學(xué)家是阿爾花拉子米(Al-Khowarizi， 約780850) ,其最著名的是代數(shù)學(xué). 塔比庫拉（Thabitibn Qurra，826901），一位知識淵博的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家，曾創(chuàng)辦了一所翻譯學(xué)校，有力地推進(jìn)了希臘著作的翻譯.,阿爾花拉子米,這時期是阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)發(fā)展的高峰期，出現(xiàn)的著名數(shù)學(xué)家 有巴塔尼，阿布瓦法和奧馬海雅姆. 巴塔尼(al-Battani，約858929) 主要研究天文學(xué)，著作有星的科學(xué).由于天文學(xué)研究的需要，主要致力于三角學(xué)的研究. 阿布瓦法(Abu al-Wafa，940998) 曾翻譯過丟蕃圖的著作，本人對三角學(xué)和算術(shù)都有重要貢獻(xiàn). 奧馬海雅姆(Omar Khayyami，10441223) 著作有代數(shù)學(xué)，在這部著作中，他詳盡地研究了三次方程的根的幾何作圖法，提出了利用圓錐曲線圖形求根的理論，這是阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)最重大的成就之一.,（2）中期：10世紀(jì)12世紀(jì),（3）后期：世紀(jì)世紀(jì)上半葉,這一時期阿拉伯帝國走向崩潰.這一時期的重要數(shù)學(xué)家有納西爾丁圖西和卡西. 納西爾丁圖西（Nasir alDiu alTusi，1201 1274），是一位學(xué)識淵博的學(xué)者， 編制伊爾漢歷，對科學(xué)發(fā)展有很大的影響.他 對三角學(xué)的重要貢獻(xiàn)是編寫了一本脫離天文學(xué)的著作論四邊形. 卡西（alKashi，？1429）是烏茲別克人，著名的天文學(xué)家和數(shù)學(xué)家，著有算術(shù)之鑰.此書內(nèi)容廣泛，特別在二項式展開、高次方程的數(shù)值解法等方面都有引人注目的貢獻(xiàn).有人認(rèn)為，他的高次方程的解法可能是從中國傳入的.他精于計算，算得的值精確到小數(shù)點后16位.,3.2.2 阿拉伯的算術(shù)與代數(shù),阿拉伯的算術(shù)成就最杰出者首推花拉子米, 他的著作代數(shù)學(xué)首次把代數(shù)學(xué)作為一門有別于其他學(xué)科的、獨立的數(shù)學(xué)分支來處理.此書 內(nèi)容分三大部分：第一部分講述現(xiàn)代意義下的初等代數(shù)；第二部分論及各種實 用算術(shù)問題；第三部分列舉了有關(guān)繼承遺產(chǎn)的各種類型的問題.其中第一部分 是全書最有價值的部分，在這里，花拉子米系統(tǒng)地討論了種類型的一次或二次方程的解法，并介紹了配平方法.,1.花拉子米的,更加重要的是，花拉子米采取演算與論證并舉的方式來闡述解方程的過程.例如,他對形如          的方程采用的解法是:如左圖,在邊長為x的正方形的四條邊,上向外作邊長為x和p/4的矩形，再在這個圖形的四角作邊長為/4的 四個小正方形，使全圖成為邊長為x+(p/2)的大正方形 .由此推知,而,則有,(右圖自己考慮),花拉子米系統(tǒng)地討論了型如下列種類型的一次或二次方程的解法 平方等于根（根即未知數(shù)）                ； 平方等于數(shù)                              ； 根等于數(shù)                                ； 平方加根等于數(shù)                          ； 平方加數(shù)等于根                          ； 根加數(shù)等于平方                          . 指出：通過“復(fù)原”與“對消 ”兩種變換，可將其他形式的一次、二次方程化成這種標(biāo)準(zhǔn)方程，這里所謂的“ 復(fù)原”與“對消”相當(dāng)于今天的移項和合并同類項，他將這兩種變換看作是解方程的兩種最基本的變換.,2.海雅姆的代數(shù)學(xué),用圓錐曲線來解代數(shù)方程，是該著作中也是阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)中最有創(chuàng)見的成就之一.例如，他用幾何方法給出形如 的三次方程的解，其中a，b，c，都被看作是線段的長度.他首先應(yīng)用求第四比例項的基本作圖法，由已知線段a，b，c作出線段，如圖，作AB=m 及BC=c，以AC為直徑作一半圓，并過點B作BDAC交半圓于D.在BD上截取BE=b，過點E作EFAC，在BC上作點G，使ABBG=EDBE，并作矩形DBGH， 過點H作一條以EF和ED為漸近線的等軸雙曲線.設(shè)該雙曲線和半圓相交于J，過J 作JLDB，交AC于L，則BL即為所給三次方程的一個根.,3.2.3 阿拉伯的幾何與三角,1.卡西的工作   在阿拉伯幾何中，最精彩的篇章是卡西關(guān)于圓周率的計算.,在半徑為r的圓中定義弦的序列        的值，它們所對的弧依次是：1=30， 2 =15， 3 =7.5，如圖，AB為直徑，D是弧BC的中點，卡西在計算中引用了下面的公式 設(shè)          則此公式即,根據(jù)這一公式，計算了一系列具有確定的n值的圓內(nèi)接正      邊形的周長，其每一條邊長an可據(jù)勾股定理得             ，取r=1,卡西依次計算到當(dāng)n=28時，                     用同樣的方法，卡西求出圓的外切正邊形的周長，然后取二者的算術(shù)平均數(shù)作為圓的近似周長.通過這樣的計算程序，卡西最后求 得圓周率的近似值為3.1415926535897932.,2.巴塔尼的三角學(xué),巴塔尼從三角線出發(fā)，用代數(shù)方法得到下列關(guān)系(用現(xiàn)代記號表示)： 等等.由此可見，巴塔尼掌握了種三角線的概念和相互關(guān)系，他還研究了三角形的解法，其基本方法是作出某一條邊上的高，把問題轉(zhuǎn)化為直角三角形來解.,3.阿布瓦法和納西爾丁圖西對三角學(xué)的貢獻(xiàn),阿布瓦法對三角學(xué)的貢獻(xiàn)在于把所有三角線都定在同一個圓中，而三角學(xué)的系統(tǒng)化則應(yīng)歸功于納西爾丁圖西，他在論四邊形中指出，由球面三角形的三個角可以求出三條邊，反之由三條邊可求出三個角，并且從基本概念和比例開始，直到給出各種類型問題的解法，較完整地建立起三角學(xué)的系統(tǒng).這部著作在世紀(jì)時即傳入歐洲，對歐洲三角學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了重要的影響.,由上述可知，從世紀(jì)到世紀(jì)期間，在歐洲的數(shù)學(xué)發(fā)展處于低潮時期，阿拉伯人在數(shù)學(xué)方面取得了顯著成績，雖然其創(chuàng)造性和深刻性比不上希臘數(shù)學(xué)，但是相對于當(dāng)時的歐洲和地中海地域來說，他們算得上是最有學(xué)問的人了，更重要的是，他們擔(dān)負(fù)起精神財富的保存者和傳輸者的使命，把印度和希臘的數(shù)學(xué)傳播到歐洲，對歐洲和整個世界數(shù)學(xué)的發(fā)展作出了巨大的貢獻(xiàn).,4、源遠(yuǎn)流長、成就卓著的中國古代數(shù)學(xué),中國是一個有著悠久歷史和燦爛文化的文明古國.中國古代的四大發(fā)明曾經(jīng)極大地推動了世界文明的進(jìn)步.同樣，作為中國文化的一個重要組成部分，中國古代數(shù)學(xué)，由于其自身的歷史淵源和獨特的發(fā)展過程，形成了與西方迥然不同的風(fēng)格，成為世界數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史長河中的一支不容忽視的源頭. 與世界上其他民族的數(shù)學(xué)相比，中國數(shù)學(xué)淵源深遠(yuǎn)流長，成就卓著.本章按照年代的順序，巡視一下中國古代數(shù)學(xué)發(fā)展的狀況.,4.1 先秦時期中國古代數(shù)學(xué)的萌芽,中國是世界著名的文明古國，和古巴比倫、埃及和印度一樣，她也是人類文化的 發(fā)源地之一.數(shù)學(xué)作為中國文化的重要組成部分，它的起源可以追溯到遙遠(yuǎn)的 古代.根據(jù)古籍記載、考古發(fā)現(xiàn)以及其他文字資料推測，至少在公元前3000年左右，在中華古老的土地上就有了數(shù)學(xué)的萌芽.一般認(rèn)為，這一時期的數(shù)學(xué)成就主要有以下幾點：,4.1.1 結(jié)繩記事,中國古代記數(shù)方法的起源是很早的. 易系辭傳稱：“上古結(jié)繩而治.” 易九家義解釋了這種方法：“事大，大結(jié)其繩；事小，小結(jié)其繩.結(jié)之多少，隨物眾寡.” 史記記載：“伏羲始畫八卦，造書契，以代結(jié)繩之治.”,4.1.2 規(guī)矩的使用,周禮、荀子、淮南子、莊子等古籍都有明確的記載：“圓者中規(guī)，方者中矩.” 史記記載，夏禹在治水時就“左準(zhǔn)繩，右規(guī)矩，載四時，以開九州，通九道”. 漢武梁祠 中還有“伏羲手執(zhí)矩，女媧手執(zhí)規(guī)”的浮雕像，將這兩種工具的最早使用歸功于傳說中的伏羲與女媧.,4.1.十進(jìn)位制記數(shù)法、分?jǐn)?shù)的應(yīng)用及籌算,商代（公元前世紀(jì)到公元前世紀(jì)）甲骨文就已發(fā)展成熟.據(jù)對河南安陽發(fā)掘的殷墟甲骨文及周代金文的考古證明，中國當(dāng)時已采用了“十進(jìn)位值制記數(shù)法”，并有十、百、千、萬等專用的大數(shù)名稱.,殷墟出土甲骨文中的數(shù)名記法,中國古代對分?jǐn)?shù)概念的認(rèn)識也比較早，分?jǐn)?shù)的概念及其應(yīng)用，在管子 、墨子、商君書、考工記等春秋戰(zhàn)國時代的書籍中都有明確的記載. 到了春秋戰(zhàn)國時代,算術(shù)四則運算也已經(jīng)發(fā)展成熟.據(jù)漢時燕人韓嬰所撰的韓詩外傳介紹，標(biāo)志著乘除法運算法則成熟的“九九歌”在春秋時代已相當(dāng)普及. 呂氏春秋所載 “齊桓公招賢” 的故事 ,從一個側(cè)面說明了在當(dāng)時九九歌已被人們廣泛地應(yīng)用了.,算籌是中國古代的計算工具.相應(yīng)的一套算法也就稱為籌算.從春秋戰(zhàn)國時期一直到元代末年，算籌在我國沿用了兩千多年.用算籌表示數(shù)有縱橫兩種擺法:,算籌記數(shù)的表示方法,4.1.4 精湛的幾何思想,戰(zhàn)國時期（公元前475-221年）的諸子百家，他們和古希臘的數(shù)學(xué)學(xué)派一樣其著作包含了理論數(shù)學(xué)的萌芽.其中最為杰出的是“墨家”和“名家”. 墨經(jīng)記載了許多幾何概念. 如“平，同高也”；“中，同長也”；“圜 ，一中同長也”等等.還涉及到有窮和無窮的概念 .“或不容尺，有窮；莫不容尺，無窮也.” 莊子記載惠施曾提出：“至大無外謂之大一，至小無外謂之小一”. 還記載有：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”. “飛鳥之影，未嘗動也；鏃矢之疾，而有不行不止時” . 這些可以說與古希臘的芝諾悖論具有異曲同工之妙，也是世界數(shù)學(xué)史早期最光輝的數(shù)學(xué)思想之一.,4.1.5 數(shù)學(xué)教育的開始,周禮地官中保氏稱：“保氏掌諫王惡，而養(yǎng)國子以道.乃教之六藝：一曰五禮，二曰六樂，三曰五射，四曰五御，五曰六書，六曰九數(shù).” 其中禮、樂、射、御為大藝，書、數(shù)為小藝，前者為大學(xué)所授，后者乃小學(xué)所習(xí).并稱：“六年教之?dāng)?shù)（sh），十年學(xué)書計.” 由此可見,早在周代國家就已把數(shù)學(xué)列為貴族子弟的必修課藝之一.對數(shù)學(xué)教學(xué)如此重視，且以典制的形式規(guī)定下來，這在世界歷史上是罕見的.,4.2 漢唐時期中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)體系的形成,從漢代開始，中國的經(jīng)濟(jì)文化有了進(jìn)一步的發(fā)展，經(jīng)濟(jì)的繁榮給科學(xué)的進(jìn)步提供了物質(zhì)基礎(chǔ)，特別是從秦代開始實施的文字與度量衡的統(tǒng)一、鐵器的使用以及大量興修水利工程和水陸交通的工程，為人們探索大自然的奧秘增強(qiáng)了動力，數(shù)學(xué)也有了長足的發(fā)展，其主要標(biāo)志是以九章算術(shù)為代表的中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)體系的形成.,4.2.1 周髀算經(jīng)和勾股定理,周髀算經(jīng) 該書原名周髀，大約成書于公元前2世紀(jì)的西漢時期，其許多內(nèi)容甚至可以追溯到西周（公元前11世紀(jì)-公元前8世紀(jì)）.這是一部介紹“蓋天說”宇宙模型的天文學(xué)著作，但它包含了相當(dāng)深刻的數(shù)學(xué)內(nèi)容，其主要成就包括分?jǐn)?shù)運算、勾股定理及其在天文測量中的應(yīng)用.,卷首記述：“昔者周公問于商高曰：古者包犧立周天歷度，夫天不可階而升，地不可得尺寸而度，請問數(shù)安從出？商高曰：數(shù)之法，出于圓方.圓出于方，方出于矩，矩出于九九八十一.故折矩以