,第四節(jié) 幾類特殊類型函數(shù)的積分,從前面幾節(jié)的學(xué)習(xí)，大家可能已經(jīng)體會(huì)到：,求不定積分不象求導(dǎo)數(shù)有一個(gè)固定的方法。,求不定積分的方法很靈活，怎樣將一個(gè)不定積分,求出來(lái)，具體用什么方法，因具體的積分而異。,不僅如此，另外，還有這樣的情況：,某些函數(shù)積不出來(lái)！,即：它的原函數(shù)不能用初等函數(shù)的有限形式表示。,例如：,積不出來(lái)！,于是，人們就想：,是否有某些類型的函數(shù),按照特定的方法就一定能積出來(lái)？,答案是肯定的！,下面就來(lái)給大家介紹幾類這樣的函數(shù)。,一. 有理函數(shù)的積分,有理函數(shù)：,兩個(gè)多項(xiàng)式的商,假分式,多項(xiàng)式除法,多項(xiàng)式,+,真分式,例,計(jì)算步驟：,1. 將,化為真分式,2. 用待定系數(shù)法將真分式,分解為部分分式,之和,(1),將,分解為質(zhì)因式之積，,即：因式分解,(2),含有因式,時(shí)，,的分解式中就對(duì)應(yīng)著,個(gè)部分分式：,含有因式,時(shí)，,的分解式中就對(duì)應(yīng)著,個(gè)部分分式：,（3）,確定系數(shù),3. 求積分, 0, 0,用遞推公式,例1,求,解,是真分式,設(shè),即,比較系數(shù)，得,解得,（*）,另解：,在（*）式中，,例2,解,設(shè),即,取,代入得,取,代入得,比較,的系數(shù)，,得,例3,解,是真分式,設(shè),取,得,比較,的系數(shù)，,得,比較,常數(shù)項(xiàng)，,得,例4,解,是假分式,真分式,設(shè),取,得,取,得,例5,解,是真分式,設(shè),比較系數(shù)，得,注：,本題用到遞推公式。,怎么積？,如按上面講的步驟去積，,將非常繁。,注:,在求有理函數(shù)的積分時(shí),雖然按上面介紹的步驟,一定可以積出來(lái),但是,這種方法不一定是最佳的方法,有時(shí),甚至很繁.,所以,我們?cè)谇笥欣砗瘮?shù)的積分時(shí),如有更簡(jiǎn)單的方法,就不必用上面介紹的方法.,簡(jiǎn)言之,要靈活!,哪個(gè)方法簡(jiǎn)便,就用哪個(gè).,二. 三角函數(shù)有理式的積分,定義,將,及常數(shù)進(jìn)行有限次四則運(yùn)算,所得的函數(shù)稱為三角函數(shù)的有理式,記為,積分方法:,令,則,有理函數(shù),萬(wàn)能代換,例6,解,用萬(wàn)能代換.,令,怎樣求下列積分?,令,注意靈活!,規(guī)律：,求積分,（1）,若,用第一換元法，選,（2）,若,用第一換元法，選,（3）,若,用第一換元法，選,練習(xí)：求下列積分,三. 簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分,1.,困難:,含有根號(hào),積分方法:,作換元,令,例7,解,令,例8,解,令,2.,困難:,含有根號(hào),積分方法:,先配方,再換元,例9,解,先配方,小 結(jié),作