8.1 簡(jiǎn)單幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖和直觀圖,第八章 立體幾何與空間向量,基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí),課時(shí)作業(yè),題型分類 深度剖析,內(nèi)容索引,基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí),1.簡(jiǎn)單幾何體的結(jié)構(gòu)特征 (1)旋轉(zhuǎn)體 圓柱可以由 繞其一邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到. 圓錐可以由直角三角形繞其 所在直線旋轉(zhuǎn)得到. 圓臺(tái)可以由直角梯形繞 所在直線或等腰梯形繞上、下底中點(diǎn)連線所在直線旋轉(zhuǎn)得到，也可由平行于底面的平面截圓錐得到. 球可以由半圓或圓繞 所在直線旋轉(zhuǎn)得到.,知識(shí)梳理,矩形,直角邊,直角腰,直徑,(2)多面體 棱柱的側(cè)棱都 ，上、下底面是 的多邊形. 棱錐的底面是任意多邊形，側(cè)面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形. 棱臺(tái)可由平行于底面的平面截棱錐得到，其上、下底面是 多邊形.,平行且相等,全等,相似,2.直觀圖 畫直觀圖常用 畫法，其規(guī)則是： (1)在已知圖形中建立直角坐標(biāo)系xOy.畫直觀圖時(shí)，它們分別對(duì)應(yīng)x軸和y軸，兩軸交于點(diǎn)O，使xOy ，它們確定的平面表示水平平面； (2)已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于 和 的線段； (3)已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變；平 行于y軸的線段，長(zhǎng)度為原來的 .,斜二測(cè),45,x軸,y軸,3.三視圖 (1)主、俯視圖 ；主、左視圖 ；俯、左視圖 ，前后對(duì)應(yīng). (2)在三視圖中，需要畫出所有的輪廓線，其中，視線所見的輪廓線畫實(shí)線，看不見的輪廓線面虛線. (3)同一物體放置的位置不同，所畫的三視圖可能不同. (4)清楚簡(jiǎn)單組合體是由哪幾個(gè)基本幾何體組成的，并注意它們的組成方式，特別是它們的交線位置.,長(zhǎng)對(duì)正,高平齊,寬相等,1.常見旋轉(zhuǎn)體的三視圖 (1)球的三視圖都是半徑相等的圓. (2)水平放置的圓錐的主視圖和左視圖均為全等的等腰三角形. (3)水平放置的圓臺(tái)的主視圖和左視圖均為全等的等腰梯形. (4)水平放置的圓柱的主視圖和左視圖均為全等的矩形.,【知識(shí)拓展】,2.斜二測(cè)畫法中的“三變”與“三不變”,題組一 思考辨析 1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”) (1)有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱.( ) (2)有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐.( ) (3)夾在兩個(gè)平行的平面之間，其余的面都是梯形，這樣的幾何體一定是棱臺(tái).( ),基礎(chǔ)自測(cè),1,2,4,5,6,3,幾何畫板展示,幾何畫板展示,幾何畫板展示,(4)正方體、球、圓錐各自的三視圖中，三視圖均相同.( ) (5)用兩平行平面截圓柱，夾在兩平行平面間的部分仍是圓柱.( ) (6)菱形的直觀圖仍是菱形.( ),1,2,4,5,6,3,題組二 教材改編 2.下列說法正確的是 A.相等的角在直觀圖中仍然相等 B.相等的線段在直觀圖中仍然相等 C.正方形的直觀圖是正方形 D.若兩條線段平行，則在直觀圖中對(duì)應(yīng)的兩條線段仍然平行,1,2,4,5,6,解析,3,答案,解析 由直觀圖的畫法規(guī)則知，角度、長(zhǎng)度都有可能改變，而線段的平行性不變.,1,2,4,5,6,答案,3.在如圖所示的幾何體中，是棱柱的為_.(填寫所有正確的序號(hào)),3,題組三 易錯(cuò)自糾 4.某簡(jiǎn)單幾何體的主視圖是三角形，則該幾何體不可能是 A.圓柱 B.圓錐 C.四面體 D.三棱柱,解析,1,2,4,5,6,答案,3,解析 由三視圖知識(shí)知，圓錐、四面體、三棱柱(放倒看)都能使其主視圖為三角形，而圓柱的主視圖不可能為三角形.,解析 左視圖中能夠看到線段AD1，應(yīng)畫為實(shí)線，而看不到B1C，應(yīng)畫為虛線.由于AD1與B1C不平行，投影為相交線，故選B.,5.(2018珠海質(zhì)檢)將正方體(如圖1所示)截去兩個(gè)三棱錐，得到如圖2所示的幾何體，則該幾何體的左視圖為,1,2,4,5,6,答案,3,解析,6.正三角形AOB的邊長(zhǎng)為a，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系xOy，則它的直觀圖的面積是_.,解析,1,2,4,5,6,答案,3,解析 畫出坐標(biāo)系xOy，作出OAB的直觀圖OAB(如圖)，D為OA的中點(diǎn).,題型分類 深度剖析,1.給出下列命題： 在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線； 直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐； 棱臺(tái)的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長(zhǎng)一定相等. 其中正確命題的個(gè)數(shù)是 A.0 B.1 C.2 D.3,題型一 簡(jiǎn)單幾何體的結(jié)構(gòu)特征,自主演練,解析,答案,解析 不一定，只有當(dāng)這兩點(diǎn)的連線平行于軸時(shí)才是母線； 不一定，當(dāng)以斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸時(shí)，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體不是圓錐，如圖所示，它是由兩個(gè)同底圓錐組成的幾何體； 錯(cuò)誤，棱臺(tái)的上、下底面相似且是對(duì)應(yīng)邊平行的多邊形，各側(cè)棱延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，但是側(cè)棱長(zhǎng)不一定相等.,2.(2018青島模擬)以下命題： 以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)； 圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓面； 一個(gè)平面截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái). 其中正確命題的個(gè)數(shù)為 A.0 B.1 C.2 D.3,答案,解析,解析 由圓臺(tái)的定義可知錯(cuò)誤，正確. 對(duì)于命題，只有平行于圓錐底面的平面截圓錐，才能得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)，不正確.,(1)關(guān)于簡(jiǎn)單幾何體的結(jié)構(gòu)特征辨析關(guān)鍵是緊扣各種簡(jiǎn)單幾何體的概念，要善于通過舉反例對(duì)概念進(jìn)行辨析，即要說明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的，只需舉一反例即可. (2)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的有關(guān)元素都集中在軸截面上，解題時(shí)要注意用好軸截面中各元素的關(guān)系. (3)既然棱(圓)臺(tái)是由棱(圓)錐定義的，所以在解決棱(圓)臺(tái)問題時(shí)，要注意“還臺(tái)為錐”的解題策略.,A. B. C. D.,命題點(diǎn)1 已知幾何體，識(shí)別三視圖 典例 (2017貴州七校聯(lián)考)如圖所示，四面體ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)是長(zhǎng)方體的四個(gè)頂點(diǎn)(長(zhǎng)方體是虛擬圖形，起輔助作用)，則四面體ABCD的三視圖是(用代表圖形),解析,題型二 簡(jiǎn)單幾何體的三視圖,多維探究,答案,解析 主視圖應(yīng)該是邊長(zhǎng)為3和4的矩形，其對(duì)角線左下到右上是實(shí)線，左上到右下是虛線，因此主視圖是； 左視圖應(yīng)該是邊長(zhǎng)為5和4的矩形，其對(duì)角線左上到右下是實(shí)線，左下到右上是虛線，因此左視圖是； 俯視圖應(yīng)該是邊長(zhǎng)為3和5的矩形，其對(duì)角線左上到右下是實(shí)線，左下到右上是虛線，因此俯視圖是.,命題點(diǎn)2 已知三視圖，判斷幾何體的形狀 典例 (2017全國(guó))某多面體的三視圖如圖所示，其中主視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長(zhǎng)為2，俯視圖為等腰直角三角形，該多面體的各個(gè)面中有若干個(gè)是梯形，這些梯形的面積之和為 A.10 B.12 C.14 D.16,解析,答案,解析 觀察三視圖可知，該多面體是由直三棱柱和三棱錐組合而成的，且直三棱柱的底面是直角邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為2. 三棱錐的底面是直角邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，高為2，如圖所示. 因此該多面體各個(gè)面中有兩個(gè)梯形，且這兩個(gè)梯形全等，梯形的上底長(zhǎng)為2，下底長(zhǎng)為4，高為2，,解析 A，B，D選項(xiàng)滿足三視圖作法規(guī)則，C不滿足三視圖作法規(guī)則中的寬相等，故C不可能是該錐體的俯視圖.,命題點(diǎn)3 已知三視圖中的兩個(gè)視圖，判斷第三個(gè)視圖 典例 (2017汕頭模擬)一個(gè)錐體的主視圖和左視圖如圖所示，下列選項(xiàng)中，不可能是該錐體的俯視圖的是,答案,解析,三視圖問題的常見類型及解題策略 (1)由幾何體的直觀圖求三視圖.注意觀察方向，注意看到的部分用實(shí)線表示，不能看到的部分用虛線表示. (2)由幾何體的三視圖還原幾何體的形狀.要熟悉柱、錐、臺(tái)、球的三視圖，明確三視圖的形成原理，結(jié)合空間想象將三視圖還原為實(shí)物圖. (3)由幾何體的部分視圖畫出剩余的部分視圖.先根據(jù)已知的一部分三視圖，還原、推測(cè)直觀圖的可能形狀，然后再找其剩下部分三視圖的可能形狀.當(dāng)然作為選擇題，也可將選項(xiàng)逐項(xiàng)代入，再看看給出的部分三視圖是否符合.,跟蹤訓(xùn)練 (1)(2017全國(guó))如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為 A.90 B.63 C.42 D.36,解析,答案,方法二 (估值法)由題意知， V圓柱V幾何體V圓柱，又V圓柱321090，45V幾何體90.觀察選項(xiàng)可知只有63符合.故選B.,解析 方法一 (割補(bǔ)法)由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個(gè)圓柱截去上面虛線部分所得，如圖所示. 將圓柱補(bǔ)全，并將圓柱從點(diǎn)A處水平分成上下兩部分.由圖可知，該幾何體的體積等于下部分圓柱的體積加上上部分圓柱體積的 ，所以該幾何體的體積V32 4326 63.故選B.,解析 由俯視圖和左視圖可知原幾何體是四棱錐，底面是長(zhǎng)方形，內(nèi)側(cè)的側(cè)面垂直于底面，所以主視圖為A.,(2)如圖，網(wǎng)格紙的各小格都是正方形，粗實(shí)線畫出的是一個(gè)錐體的左視圖和俯視圖，則該錐體的主視圖可能是,答案,解析,題型三 簡(jiǎn)單幾何體的直觀圖,師生共研,典例 (2018福州調(diào)研)已知等腰梯形ABCD，上底CD1，腰ADCB ，下底AB3，以下底所在直線為x軸，則由斜二測(cè)畫法畫出的直觀圖 ABCD的面積為_.,答案,解析 如圖所示，作出等腰梯形ABCD的直觀圖.,解析,用斜二測(cè)畫法畫直觀圖的技巧 在原圖形中與x軸或y軸平行的線段在直觀圖中與x軸或y軸平行，原圖中不與坐標(biāo)軸平行的直線段可以先畫出線段的端點(diǎn)再連線，原圖中的曲線段可以通過取一些關(guān)鍵點(diǎn)，作出在直觀圖中的相應(yīng)點(diǎn)后，用平滑的曲線連接而畫出.,跟蹤訓(xùn)練 (2017貴陽聯(lián)考)有一塊多邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是直角梯形(如圖所示)，ABC45，AB AD1，DCBC，則這塊菜地的面積為_.,答案,解析,解析 如圖1，在直觀圖中，過點(diǎn)A作AEBC，垂足為E.,又四邊形AECD為矩形，ADEC1，,由此還原為原圖形如圖2所示，是直角梯形ABCD.,課時(shí)作業(yè),1.一個(gè)幾何體的三視圖形狀都相同、大小均相等，那么這個(gè)幾何體不可以是 A.球 B.三棱錐 C.正方體 D.圓柱,基礎(chǔ)保分練,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 球、正方體的三視圖形狀都相同、大小均相等.當(dāng)三棱錐的三條側(cè)棱相等且兩兩垂直時(shí)，其三視圖的形狀都相同、大小均相等.不論圓柱如何放置，其三視圖的形狀都不會(huì)完全相同，故選D.,解析,答案,A.圓錐 B.三棱錐 C.三棱柱 D.三棱臺(tái),2.如圖為幾何體的三視圖，根據(jù)三視圖可以判斷這個(gè)幾何體為,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3.“牟合方蓋”(如圖1)是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在研究球的體積的過程中構(gòu)造的一個(gè)和諧優(yōu)美的幾何體.它由完全相同的四個(gè)曲面構(gòu)成，相對(duì)的兩個(gè)曲面在同一個(gè)圓柱的側(cè)面上，好似兩個(gè)扣合(牟合)在一起的方形傘(方蓋).其直觀圖如圖,答案,解析,A.a，b B.a，c C.c，b D.b，d,2所示，圖中四邊形是為體現(xiàn)其直觀性所作的輔助線，其實(shí)際直觀圖中四邊形不存在，當(dāng)其主視圖和左視圖完全相同時(shí)，它的主視圖和俯視圖分別可能是,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 當(dāng)主視圖和左視圖完全相同時(shí)，“牟合方蓋”相對(duì)的兩個(gè)曲面正對(duì)前方，主視圖為一個(gè)圓，俯視圖為一個(gè)正方形，且兩條對(duì)角線為實(shí)線，故選A.,4.(2018成都質(zhì)檢)如圖，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)P是棱CD上一點(diǎn)，則三棱錐PA1B1A的左視圖是,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，從左側(cè)看三棱錐PA1B1A，B1，A1，A的射影分別是C1，D1，D；AB1的射影為C1D，且為實(shí)線，PA1的射影為PD1，且為虛線.故選D.,5.(2018武漢調(diào)研)一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)分別是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，畫該四面體三視圖中的主視圖時(shí)，以zOx平面為投影面，則得到的主視圖可以為,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 設(shè)O(0,0,0)，A(1,0,1)，B(1,1,0)，C(0,1,1)，將以O(shè)，A，B，C為頂點(diǎn)的四面體補(bǔ)成一正方體后，由于OABC，所以該幾何體以zOx平面為投影面的主視圖為A.,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,6.(2017黃山質(zhì)檢)一個(gè)正方體截去兩個(gè)角后所得幾何體的主視圖、俯視圖如圖所示，則其左視圖為,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 根據(jù)一個(gè)正方體截去兩個(gè)角后所得幾何體的主視圖、俯視圖可得幾何體的直觀圖如圖所示.,所以左視圖如圖所示.,故選C.,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,7.(2017東北師大附中、吉林市一中等五校聯(lián)考)如圖所示，在三棱錐DABC中，已知ACBCCD2，CD平面ABC，ACB90.若其主視圖、俯視圖如圖所示，則其左視圖的面積為,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,8.如圖，在一個(gè)正方體內(nèi)放入兩個(gè)半徑不相等的球O1，O2，這兩個(gè)球外切，且球O1與正方體共頂點(diǎn)A的三個(gè)面相切，球O2與正方體共頂點(diǎn)B1的三個(gè)面相切，則兩球在正方體的面AA1C1C上的正投影是,解析,解析 由題意可以判斷出兩球在正方體的面上的正投影與正方形相切.由于兩球球心連線AB1與面ACC1A1不平行，故兩球球心射影所連線段的長(zhǎng)度小于兩球半徑的和，即兩個(gè)投影圓相交，即為圖B.,答案,9.(2017福建龍巖聯(lián)考)一水平放置的平面四邊形OABC，用斜二測(cè)畫法畫出它的直觀圖OABC如圖所示，此直觀圖恰好是一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，則原平面四邊形OABC的面積為_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,答案,解析,10.(2017南昌一模)如圖，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)P是平面A1B1C1D1內(nèi)一點(diǎn)，則三棱錐PBCD的主視圖與左視圖的面積之比為_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,答案,11,解析,解析 根據(jù)題意，三棱錐PBCD的主視圖是三角形，且底邊為正四棱柱的底面邊長(zhǎng)、高為正四棱柱的高；左視圖是三角形，且底邊為正四棱柱的底面邊長(zhǎng)、高為正四棱柱的高，故三棱錐PBCD的主視圖與左視圖的面積之比為11.,11.如圖，點(diǎn)O為正方體ABCDABCD的中心，點(diǎn)E為平面BBCC的中心，點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，則空間四邊形DOEF在該正方體的各個(gè)面上的射影可能是_.(填出所有可能的序號(hào)),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 空間四邊形DOEF在正方體的平面DCCD上的射影是； 在平面BCCB上的射影是； 在平面ABCD上的射影是，而不可能出現(xiàn)的射影為中的情況.,12.(2018長(zhǎng)沙調(diào)研)某四面體的三視圖如圖所示，則該四面體的六條棱的長(zhǎng)度中，最大的是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 由三視圖可知該四面體為三棱錐VABC，如圖，,所以VA2AC2VC2162220，,13.用若干塊相同的小正方體搭成一個(gè)幾何體，該幾何體的三視圖如圖所示，則搭成該幾何體需要的小正方體的塊數(shù)是 A.8 B.7 C.6 D.5,技能提升練,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,答案,解析,解析 畫出直觀圖，共六塊.,14.(2017湖南省東部六校聯(lián)考)某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的四個(gè)面的面積中，最大的面積是,解析